调节分数阶狂犬病动力学与深度神经代理建模：分析、计算与预测

《Neural Networks》：Tempered Fractional Rabies Dynamics with Deep Neural Surrogate Modeling: Analysis, Computation, and Prediction

　　

摘要

狂犬病是一种致命的野生动物源性传染病，家犬是其主要宿主。其漫长且多变的潜伏期促使研究者建立能考虑记忆效应的传播模型。本文提出了一种 tempered（调温）分数阶狂犬病模型，其中以阶数 ξ ∈ (0, 1] 和调温参数 λ ≥ 0 的左 tempered Caputo 导数替换经典时间导数，使动力学保持非局部性，同时历史状态的影响呈指数衰减。我们首先建立了模型的定性性质：对于非负初始数据，解保持非负；有限时间区间上总人口有界；通过指数变换与压缩论证相结合，证明了唯一连续解的存在。我们进一步利用下一代矩阵方法导出了基本再生数 R0，并证明当 R0 < 1 时，无病平衡点是局部渐近稳定的，该结论对分数阶阶数和调温参数均统一成立。随后，我们为 tempered 系统开发了一种预测-校正积分方案，并通过网格细化研究验证了经验收敛阶接近一阶。为加速重复模拟，我们训练了一个深度神经网络代理模型，将短时间历史窗口的对数变换状态映射为对数状态增量，采用两步训练策略：先进行单步预训练，再进行可微 rollout 微调。消融实验表明，对数状态表示和基于增量的目标量是决定性的设计选择，而 rollout 微调进一步改善了自由运行预测的最坏情况鲁棒性。选定的代理模型在单步预测上取得了高精度（RMSE 0.4121，MAE 0.1303，R2 = 0.999998），在完全自由运行的闭环模式下，在基准用例上以平均 R2 = 0.9990（平均 RMSE 3.32）重现了未见的 tempered 测试场景，在 18 个未见 tempered 场景的随机评测套件上取得 R2 = 0.9973 ± 0.0031；仅在接近无调温长记忆极限 λ → 0 时精度退化，我们对这一退化区域进行了明确刻画。在相同协议下训练的参数量匹配的 LSTM 和 GRU 基线模型未能超越所提出的前馈代理模型，且在批量运算中，代理模型的速度比数值求解器快约两个数量级。所建立的框架提供了一种快速、精确且稳定的 tempered 分数阶狂犬病模型代理，支持快速的参数扫描和面向预测的情景分析。

引言

狂犬病仍被认为是其中最危险的野生动物源性传染病之一，一旦出现临床症状，病死率接近 100%。尽管该病可通过疫苗接种预防，但据估计每年仍造成数万人死亡，病例主要发生在亚洲和非洲，在这些地区犬类是主要的宿主物种和人类感染的主要来源。漫长而多变的潜伏期、涉及人和动物群体的复杂传播途径以及显著的空间异质性是该病的特征。这些特征使狂犬病的数学建模变得复杂，特别是因为经典的整数阶室模型可能无法解决疾病病理中固有的记忆效应和非局部相互作用。

分数阶微积分为在流行病学框架中引入记忆和遗传特性提供了一种自然的方式。用分数阶导数替换普通时间导数，可以捕捉亚扩散行为、长程依赖性以及整个疫情历史对当前状态的影响。大量近期研究将分数阶导数——最常用的 Caputo 导数——应用于狂犬病、结核病、COVID-19 及其他传染病的室模型。对于狂犬病而言，研究表明分数阶模型比整数阶模型更忠实地再现了漫长的潜伏期和疫情的缓慢衰减。然而，大多数这些工作使用的是经典的（未调温的）分数阶算子，这意味着幂律记忆核衰减过慢，不适用于某些现实场景。在许多生物系统中，过去的影响应以指数方式消退，而 tempered 分数阶微积分能更好地捕捉这种行为。调温算子保持非局部性，同时引入指数阻尼因子，从而在纯幂律记忆与经典短记忆动力学之间进行插值。这一特性使其特别适用于流行病学建模，当历史效应相关但不应无限持续时尤为适用。

除流行病学外，神经网络与分数阶算子的结合已成为科学机器学习中的活跃研究方向。代表性示例包括：针对时空变阶非线性分数阶对流-扩散方程的神经网络求解器、带有深度神经网络干预的腐败动力学 Caputo 分数阶模型、利用 Caputo 导数处理无线传感器网络中恶意代码传播的人工神经网络方法、分形-分数阶非线性 Kawahara 方程的理论与计算综述、利用深度神经网络对饱和发病率疫情模型的数据驱动研究，以及带有感染移民的分形-分数阶疟疾模型。这些研究展示了神经方法在非局部动力系统中的应用灵活性，并强化了本文狂犬病框架的动机。

与此同时，数据的日益丰富和快速情景分析的需求推动了深度学习代理在微分方程模型中的应用。不必反复求解计算成本高昂的数值求解器，而是可以训练神经网络来近似解算子，从而加速参数扫描、不确定性和实时预测。在分数阶流行病学领域，近期多项研究利用人工神经网络或深度神经网络模拟狂犬病、乙型肝炎及其他传染病的动力学，通常取得令人印象深刻的单步精度。与之密切相关的工作在非流行病学领域为分数阶非线性动力系统开发神经计算代理和混合智能框架，包括毒物胁迫下水生动物-浮游动物时空动力学、局部有源忆阻神经元模型、分数阶 Hindmarsh-Rose 神经元模型、FitzHugh-Nagumo 生物电模型的贝叶斯正则化深度级联 NARX 结构，以及面向分数阶流行病学和生物系统的预测性神经架构。表 1 将本文贡献与最密切相关的研究进行了对比。然而，许多代理模型仅在单步预测上进行训练，在长时间范围递归使用时可能积累显著漂移——这对预测而言是一个关键问题。

为克服递归漂移的限制，少数研究提出了 rollout 感知训练策略，在其中网络在短多步轨迹上进行微调。在动力系统重建文献中，人们已充分记录：纯教师强制训练和评估可以严重高估学习模型的质量，而自由运行（闭环）模型的行为才是决定性判据。基于这一原则，本文报告的所有多步结果均完全在自由运行模式下获得：网络仅在初始历史窗口接受真实状态，此后所有输入均由网络自身生成。

本文相对于现有分数阶狂犬病文献的新颖性可以精确陈述。首先，此前的狂犬病模型依赖于经典 Caputo、Caputo-Fabrizio、奇异/非奇异或分形-分数阶算子，其记忆为纯幂律或固定核，而本文提出的模型据我们所知是首个采用 tempered Caputo 导数构建的狂犬病传播模型，其中显式的调温参数 λ 控制疫情记忆的指数衰减，并将经典 Caputo 模型包含为 λ = 0 的特例。其次，早期的基于 ANN 的狂犬病研究在教师强制或单步设置下评估网络精度，而本文开发的代理模型显式地在自由运行闭环模式下进行训练和评估，量化了多时间范围退化，对每项设计选择提供了消融证据，并刻画了 (ξ, λ) 参数空间中的有效区域。

本文开发了一个综合框架，将 tempered 分数阶狂犬病模型与深度神经网络代理相结合，并提供了彻底的理论、数值和优化导向分析。我们的主要贡献如下：

1. 我们构建了一个八室人-犬 SEIR-SEIV 模型，其中经典时间导数被阶数 ξ ∈ (0, 1] 和调温参数 λ ≥ 0 的左 tempered Caputo 导数替换。室结构采用自已建立的人-犬狂犬病框架，而 tempered 记忆表述在此首次提出；该模型推广了整数阶和未调温分数阶狂犬病模型，并通过指数阻尼因子纳入了衰减记忆。

2. 我们建立了模型在生物学相关状态空间上是适定的：对于非负初始数据，解保持非负；有限时间区间上总人口有界；初值问题存在唯一连续解。正性通过指数变换结合 Caputo 系统的比较原理证明，而有界性和存在-唯一性则来自等价的 Volterra 积分形式与压缩论证。此外，我们计算了无病平衡点，利用下一代矩阵方法导出了基本再生数 R0，并证明当 R0 < 1 时，对任意分数阶阶数 ξ ∈ (0, 1] 和调温参数 λ ≥ 0，无病平衡点局部渐近稳定。

3. 我们通过一阶预测-校正积分方案在均匀网格上离散化模型，该方案适配 tempered Caputo 算子，并通过网格细化研究验证，其经验收敛阶接近一阶，符合该类方案的预期。我们明确陈述了该方案的 O(N2) 计算复杂度，并将求解器在运行分辨率下的精度与学习代理模型的精度下限相关联，以此论证选择一阶方法而非更快或高阶 tempered 预测-校正替代方案的理由。

4. 为消除流行病学室之间的尺度不平衡，代理模型被训练以预测对数变换状态 log(1+X) 的增量。网络接收短时间历史窗口（8 步）以及当前时间、网格大小、分数阶阶数、调温参数和一组流行病学参数。训练分两阶段进行：标准单步监督预训练，随后在短时间范围（5 步）上进行可微 rollout 损失微调。配置选择过程完全指定：在有序的候选配置阶梯上进行分阶段搜索，对单步精度和自由运行精度设置明确的接受阈值。

5. 我们对代理模型的评估远超单条轨迹：消融实验分离了对数变换、增量目标和 rollout 微调的贡献；自由运行精度以扩展的未见测试场景套件上的均值 ± 标准差报告，附带分室误差指标和多时间范围退化曲线；并探测了训练范围 (ξ, λ) 之外和训练时间范围之外的泛化能力。我们还将代理模型与在相同两步协议下训练的参数量匹配的 LSTM 和 GRU 基线进行了比较，并量化了代理模型相对于数值求解器在顺序和批量运算中的运行时间优势。

本文其余部分结构如下。第 2 节回顾 tempered 分数阶微积分的必要定义和性质。第 3 节介绍 tempered 分数阶狂犬病模型及其流行病学假设。第 4 节呈现定性分析（正性、有界性、存在-唯一性，以及基于 R0 的阈值分析）。第 5 节描述并验证预测-校正方案。第 6 节开发深度神经网络代理框架，包括对数状态变换、输入架构、两步训练和配置选择过程。第 7 节报告数值结果：网格细化、对 ξ 和 λ 的敏感性、单步和自由运行代理性能、消融实验、基线比较、泛化研究、运行时间测量和参数敏感性。

第8节进行总结并指出未来的工作方向。各节摘要 调温分数阶微积分基础 调温分数阶微积分通过对经典分数阶算子的幂律核进行指数调制而获得。调温分数阶导数（或类似的调温分数阶积分）的构造方式是：将标准的分数阶核乘以一个指数因子，该因子会抑制遥远过去的贡献，同时保持分数阶微积分的非局部结构。这一修改在纯幂律记忆和更快速的衰减之间实现插值。 调温分数阶狂犬病模型 本节建立了人与狗之间狂犬病传播的调温分数阶模型。模型的区室骨架并非从零开始提出，而是直接采用近期狂犬病研究中使用的标准八区室人-狗 SEIR–SEIV 狂犬病框架 Addo (2012)；Meetei 等人 (2025)；Shafqat 等人 (2026)，以便调温模型与现有文献保持直接可比性。新元素在于用调温分数阶导数替代传统的整阶导数。 调温狂犬病系统的定性分析 本节建立了系统(1)的基本定性性质：解的正性、有限时间区间内总人口的有界性、解的存在唯一性，以及感染的阈值行为。这些结果保证了所提出的调温狂犬病模型在数学上是适定的，在流行病学上是有意义的。这些结果应被理解为对所研究模型的支持性分析结果，而非调温分数阶理论中的新的一般性理论。 调温狂犬病模型的数值方案 调温 Caputo 狂犬病模型(1)是一个非局部 Volterra 型方程的非线性系统。对于此类问题，预测-校正离散化是调温分数阶文献中最广泛使用的数值策略之一，包括专门为调温分数阶常微分方程发展的 Jacobi 预测-校正方法和快速预测-校正方法 Deng 等人 (2017)；Li 等人 (2019)。受这些方法的启发，我们在此采用一阶预测-校正格式。 深度神经代理框架 除第5节中开发的参考数值求解器外，我们还引入了一种深度神经代理，以获得调温狂犬病动力学的快速近似。该代理的目的在于两个方面：首先，当需要在不同的分数阶和调温参数下重复进行模拟时，它提供了预测-校正求解器的计算高效模拟器；其次，一旦求解器生成的数据可用，它就能实现面向预测的情景分析。 数值结果与讨论 本节报告了调温狂犬病模型及相关神经代理的数值发现。分析沿以下维度展开：预测-校正求解器的数值验证、分数阶 ξ 和调温参数 λ 的影响、单步和自由运行代理性能、消融研究、各区室误差分析、与循环基线方法的比较、超出训练域的泛化能力、计算效率。 结论 本文基于调温分数阶微分系统开发了一个完整的狂犬病传播建模框架：分析了模型的数学性质，设计并验证了一个高效的数值求解器，并构建了一个深度神经代理，该代理在单步和自由运行多步预测中都能准确地模拟求解器。从建模角度来看，阶数为 ξ、调温参数为 λ 的调温 Caputo 导数提供了一种…… 作者贡献 概念化：M.N. Sallami 和 O. Naifar；方法论：M.N. Sallami、O. Ben Fredj 和 O. Naifar；软件：M.N. Sallami 和 O. Ben Fredj；验证：M.N. Sallami、O. Ben Fredj、P. Agarwal 和 O. Naifar；形式分析：M.N. Sallami 和 O. Naifar；调查研究：M.N. Sallami、O. Ben Fredj 和 O. Naifar；资源：P. Agarwal 和 O. Naifar；数据整理：M.N. Sallami 和 O. Ben Fredj；撰写——初稿准备：M.N. Sallami 和 O. Naifar；撰写——审阅与编辑：M.N.…… 数据可用性声明 本研究使用的完整实现（包括数值求解器和神经代理框架）已在专用 GitHub 仓库中公开可用：https://github.com/vegaws1/Rabies 。该仓库按可复现性原则组织：包含有文档记录的求解器和训练代码、固定版本的依赖项、固定的随机种子、训练好的模型检查点、可重新生成本文所报告所有表格和图表的脚本，以及完整的生成数据集。 CRediT 作者贡献声明 Mohamed Nidhal Sallami：撰写——初稿、方法论、资金获取、形式分析、数据整理、概念化。Ouissem Ben Fredj：撰写——审阅与编辑、软件、资源、调查研究、形式分析、概念化。Praveen Agarwal：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、监督。Omar Naifar：撰写——审阅与编辑、可视化、监督、调查研究、形式分析、数据整理、概念化。 利益冲突声明 作者声明他们不存在任何可能影响本文所报告工作的已知财务利益冲突或个人关系。 Mohamed Nidhal Sallami | Ouissem Ben Fredj | Praveen Agarwal | Omar Naifar