具有网络诱导时延的离散时间模糊随机神经网络在基于随机状态控制器设计下的鲁棒稳定性分析与有限时间镇定

《Knowledge-Based Systems》：Robust stability analysis and finite-time stabilization for discrete-time fuzzy stochastic neural networks with network induced delay under stochastic state-based controller design

　　

摘要
本文针对一类具有Lebesgue加性不确定性、网络诱导时延和不匹配网络噪声的随机T-S模糊忆阻神经网络，研究了随机T-S模糊不确定性相关状态反馈控制以及严格的(Q,S,R)-γ耗散性能分析。首先，采用T-S模糊模型和随机伯努利理论来近似神经网络对象。其次，通过不确定性相关参数设计具有时变时延的随机T-S模糊不确定性相关状态反馈控制器。第三，采用伯努利概率分布来描述多径数据包丢失的随机发生特性。与以往工作相比，推导了三类以线性矩阵不等式(LMI)表示的隶属度函数相关和时延相关的稳定性条件。设计了多个时延相关的Lyapunov-Krasovskii泛函和增广状态向量，闭环系统关于(c1,c2,?,?,?ω)具有有限时间有界稳定性，系统灵敏度得到增强。通过引入隶属度函数相关的矩阵和严格耗散性能泛函，保证了严格的(Q,S,R)-γ耗散性能。采用谱范数缩放技术和Schur补，简化了证明过程，降低了求解LMI的计算复杂度。最后，通过仿真算例展示了所提方法的有效性和优势。

引言
在过去几十年中，神经网络引起了广泛关注，并在模式识别、信号图像处理和控制领域等多个领域成功应用[1]。作为神经网络面临的具有挑战性的问题，神经网络的动态行为在化学和安全通信等许多领域得到了研究[2]。忆阻器被定义为一种具有独特操作特征的二端电路元件。与传统电阻器不同，忆阻器可以提供显著优势，包括记忆功能、纳米级尺寸、快速切换速度和低功耗[3]。忆阻器的独特特性催生了忆阻神经网络的出现，忆阻器有效地替代了神经网络中的传统电阻器。因此，研究学者投入了大量资源来研究忆阻神经网络的动态特性[2,3]。

由于神经网络中突触互连权重和状态相关的切换特性，神经网络参数中经常出现不确定性。此外，神经元的当前状态反映了完整的历史输入，这意味着产生的效应可能在幅度上是无界的[4]。不确定性可能导致神经网络的不良动态行为，如过冲、振荡、不稳定等。由于实际中信息处理速度有限，网络诱导时延经常存在于动态系统中[5]。事实上，网络诱导时延可以更准确地描述神经网络的演化，例如描述捕食行为对捕食者种群增长的影响[6]。此外，神经元的历史信息将影响神经网络的当前状态[7,8]。由于网络诱导时延和网络噪声，神经网络可能变得不稳定，神经网络性能可能下降[9,10]。因此，为了减少不利影响，需要考虑具有不确定性、网络诱导时延和网络噪声的忆阻神经网络的动态行为。

Takagi和Sugeno提出了T-S模糊模型和模糊隶属度函数，IF-THEN模糊规则可以通过处理复杂的数学模型将复杂的非线性系统简化为局部线性系统[[11],[12],[13],[14]]。T-S模糊模型在许多研究领域具有一定的有效性，如绝缘子故障检测、最优控制、稳定性分析和同步控制[[15],[16],[17]]。在[18]中，通过设计微分包含控制律并引入Hindmarsh-Rose模型，解决了耦合不连续神经网络的有限时间和固定时间同步问题。由于神经网络和T-S模糊模型的显著优势，许多研究者研究了T-S模糊神经网络的动态特性[[19],[20],[21]]。在[22]中，通过设计时间依赖的多个Lyapunov-Krasovskii泛函和驻留时间切换策略，建立了一种创新且保守性较低的有限时间抗干扰控制框架。在[23]中，通过设计时延积分不等式和微分包含理论，保证了具有混合脉冲的脉冲时延反应扩散随机神经网络的有限时间有界性和有限时间收缩有界性。特别是，T-S模糊神经网络的动态行为研究非常重要[24,25]，并提出了一些重要理论来研究T-S模糊神经网络的有限时间和预定时间镇定。

如果状态变量在测量过程中可用，则状态反馈可以应用于系统设计[[26],[27],[28]]。因此，对于具有可访问状态测量的控制系统，状态反馈控制策略得到了广泛研究。状态反馈控制比其他方法更有效，因为状态反馈可以直接控制系统状态变量，特别是对于可测量的状态变量[29,30]。状态反馈控制可以有效地处理不确定性和外部噪声，具有更好的鲁棒性和适应性。基于脉冲输入相关的Lyapunov-Krasovskii泛函和自由加权矩阵技术设计了间歇混合状态反馈控制器，从而可以实现时滞描述子脉冲系统的正规化和H∞镇定[31]。另一方面，不确定性相关状态反馈控制器的反馈增益可以根据实时不确定性水平进行调整，可以改善具有噪声和时变时延的系统的鲁棒性能。此外，通过调整控制器设计中的不确定性相关参数，可以放松控制设计条件。基于上述动机，本文针对具有Lebesgue加性不确定性、网络诱导时延和不匹配网络噪声的随机T-S模糊忆阻神经网络设计了具有时变时延的不确定性相关状态反馈控制器。

此外，为解决一些复杂问题，神经网络设计通常需要大量的神经元互连[32,33]。基于上述原因，人们投入了大量努力来研究神经网络的稳定性判据和稳定性分析。有限时间有界稳定性判据的研究具有重要的实际应用，因为有限时间有界收敛率通常用于确定神经计算的速度[34]。因此，有限时间有界稳定性的研究不仅在理论上有趣，而且在估计动态忆阻神经网络收敛率方面也很重要。基于上述研究，本文设计了新的多个时延相关的Lyapunov泛函和增广状态向量来简化证明过程并增强神经网络灵敏度。

网络噪声会影响现实世界中神经网络的稳定性，通常由环境变化、参数突然变化和意外外部力引起[35]。此外，网络噪声可能使系统偏离平衡，可能导致发散、振荡和不稳定[36]。为了处理网络噪声的影响并提高神经网络性能，已研究了多种性能指标，如H∞、L2-L∞、无源性和(Q,S,R)-γ-耗散性[37,38]。特别是，(Q,S,R)-γ耗散性能非常重要，因为它具有通过调整权重矩阵在单一框架中分析神经网络性能的能力。耗散分析是一个重要的性能指标，因为它可以反映忆阻神经网络稳定性的动态特性，如果保证了耗散性能，就可以解决稳定性分析问题。基于上述分析，本文研究了具有Lebesgue加性不确定性、网络诱导时延和不匹配网络噪声的随机T-S模糊忆阻神经网络的随机T-S模糊不确定性相关状态反馈控制和(Q,S,R)-γ耗散性能分析。

本文的贡献如下所示。
(1) 在忆阻神经网络中考虑了Lebesgue加性不确定性、网络诱导时延和不匹配网络噪声，并通过前馈变量和T-S模糊集对对象进行近似。采用T-S模糊推理和隶属度函数将对象描述为半线性子系统的平均加权和。采用伯努利概率分布来描述输出，清晰描述了从传感器到控制器数据包丢失的随机发生特性。
(2) 采用T-S模糊模型和随机伯努利理论设计了具有时变时延的随机T-S模糊不确定性相关状态反馈控制器，通过设计不同的隶属度函数放松了控制设计条件。采用伯努利概率分布来描述控制输入，清晰描述了从控制器到执行器数据包丢失的随机发生特性。通过应用所提出的控制器，闭环系统关于(c1,c2,?,?,?ω)具有有限时间有界稳定性，并且可以保证严格的(Q,S,R)-γ耗散性能。
(3) 通过设计多个时延相关的Lyapunov泛函和增广状态向量，简化了证明过程并增强了神经网络的灵敏度/可观测性。通过引入隶属度函数相关的矩阵和严格耗散性能泛函，放松了稳定性条件并简化了LMI的求解过程。通过采用谱范数缩放技术降低了计算复杂度并节省了计算机存储空间。

组织如下所示。在第2节中，通过T-S模糊模型和随机伯努利理论近似忆阻神经网络(n个神经元)对象。在第3节中，设计了具有时变时延的随机T-S模糊不确定性相关状态反馈控制器。在第4节中，推导了闭环系统的主要结果。在第5节中，给出了仿真算例以展示所提方法的有效性和优势。在第6节中总结结论。

符号说明：??表示n维欧几里得空间，0表示适当维度的零矩阵，I表示适当维度的单位矩阵，A?表示矩阵A的转置，A?1表示A的逆，A>0(A≥0)表示适当维度的正定(半正定)矩阵，A<0(A≤0)表示适当维度的负定(半负定)矩阵，*表示对称矩阵主对角线以下的元素，∥·∥表示"·"的欧几里得范数，max(·)表示"·"的最大值，min(·)表示"·"的最小值，λmax(·)表示"·"的最大特征值，λmin(·)表示"·"的最小特征值，∑??????(·)表示h?(·)对m=1,2,…,r的求和，∏????M?(·)表示M?(·)对ν=1,2,…,p的乘积，E{·}表示"·"的数学期望，Prob{·}表示"·"的伯努利概率分布，diag{r?r?…r?}表示对角元素为r?,r?,…和r?的分块对角矩阵。

系统描述
在本节中，采用T-S模糊模型和随机伯努利理论来近似一类具有Lebesgue加性不确定性、网络诱导时延和不匹配网络噪声的忆阻神经网络(n个神经元)。

考虑一类具有Lebesgue加性不确定性、网络诱导时延和不匹配网络噪声的忆阻神经网络(n个神经元)如下：
?x(k+1) = D(x(k))x(k) + A(x(k))f(x(k)) + B(x(k))f(x(k-τ(k))) + (C+ΔC(k))u(k) + (H+ΔH(k))ω(k)
?y(k) = Nx(k)
?x(k) = φ(k), k∈[-τ,0]

控制器设计
在本节中，采用T-S模糊模型和随机伯努利理论来设计具有时变时延的随机T-S模糊不确定性相关状态反馈控制器。

设计具有时变时延的不确定性相关状态反馈控制器：
u(k) = (K+ΔK(k))x(k) + (K_d+ΔK_d(k))x(k-τ(k))
其中K(k) = K+ΔK(k), K_d(k) = K_d+ΔK_d(k)。

通过应用T-S模糊模型于(30)，设计了具有时变时延的T-S模糊不确定性相关状态反馈控制器。

控制器规则

稳定性条件
在本节中，通过采用多个时延相关的Lyapunov-Krasovskii泛函和增广状态向量，推导了随机T-S模糊忆阻神经网络的时延相关稳定性条件，以线性矩阵不等式表示。

定理1. 对于给定的标量τ?≥τ?>0, c?>c?>0, ?>0, ?ω>0, γ>0, β>0和矩阵R=R?>0, P=P?>0, Q?=Q??>0, Q?=Q??>0, Q?=Q??>0, F??, F?? (i=1,2,…,n)具有适当的维度，如果存在对角矩阵Λ??>0和Λ??>0 (m=1,2,…,r)满足Φ=[Φ??…

例1
例1用于展示闭环系统关于(c1,c2,?,?,?ω)具有有限时间有界稳定性，并保证严格的(Q,S,R)-γ耗散性能。

考虑一类具有Lebesgue加性不确定性、网络诱导时延和不匹配网络噪声的忆阻神经网络(2个神经元)如下：
?x(k+1) = D(x(k))x(k) + A(x(k))f(x(k)) + B(x(k))f(x(k-τ(k))) + (C+ΔC(k))u(k) + (H+ΔH(k))ω(k)
?y(k) = Nx(k)
?x(k) = φ(k), k∈[-τ,0]
其中{D(x(k)) = diag{??(x?(k)) ??(x?(k))}, A(x(k)) = [a??(x?(k))]?×

结论
本文针对一类随机T-S模糊忆阻神经网络，研究了随机T-S模糊不确定性相关状态反馈控制和严格耗散性能分析。采用T-S模糊模型和随机伯努利理论来近似神经网络对象，从而对不确定性进行近似。

一种基于不确定参数相关的随机T-S模糊状态反馈控制器，具有时变延迟，通过不确定相关参数进行设计。贡献声明：Wei Zheng：撰写初稿、软件、方法论、数据整理；Zhiming Zhang：撰写审阅与编辑、监督、方法论、数据整理；Hak-Keung Lam：撰写初稿、方法论、形式化分析、概念构思；Fuchun Sun：撰写审阅与编辑、软件、资源、方法论。利益冲突声明：所有作者声明，关于本文的发表不存在利益冲突。致谢：所有作者感谢编辑和匿名审稿人提供的宝贵意见和建议，这些意见和帮助改善了本文的表述。本文得到国家自然科学基金（91848206，62203379）、国家自然科学基金和英国皇家学会联合资助（62111530148）、以及燕山大学-企业合作基金基础研究培育项目（2024LGQL006）的经费支持。Wei Zheng | Zhiming Zhang | Hak-Keung Lam | Fuchun Sun