新型柔性Lomax-X分布族及NFLx-Weibull模型：数学性质与辐射和能源系统实证

《Journal of Radiation Research and Applied Sciences》：A new modification of the Weibull distribution with mathematical characteristics: Its practical evidence from the radiation and energy system

　　

本文提出一类新的分布族，称为新型柔性Lomax-X（NFLx-X）分布族，其通过引入两个附加参数增强现有概率分布的建模灵活性。由新方法推导出四参数子模型，称为新型柔性Lomax-Weibull（NFLx-Weibull）分布。研究人员考察了NFLx-Weibull模型的若干统计特征，包括矩、概率加权矩、应力-强度模型和熵。所提分布的重要性在于其多能性：密度函数可呈左偏、右偏和对称形态，故障率行为可呈递减、递增、浴盆形和单峰模式。此外，针对NFLx-X分布族，研究人员还研究了矩、矩生成函数（MGF）、分位数函数、剩余寿命与反向剩余寿命以及次序统计量的一般形式。为估计所提分布族的模型参数，采用最大似然估计（MLE）方法。类似地，开展蒙特卡洛模拟研究，以考察所提估计量在不同样本量和参数设置下的表现。最后，基于辐射与能源系统领域的四个真实数据集进行比较分析，展示所提NFLx-Weibull分布的实用适用性和建模灵活性。

研究背景方面，概率分布用于预测和分析各类现实现象数据，但已有分布理论虽提出大量概率分布，仍没有一种分布能够有效处理特定应用中的所有复杂数据集。因此，研究人员持续构建更具一般性和灵活性的新分布，以更好刻画复杂数据特征；常见做法是在基线模型中引入一个或多个附加参数，使新模型较传统或经典分布具有更强解析灵活性。原文回顾了指数化分布族、Marshall-Olkin生成族、beta与gamma生成分布族、Kumaraswamy-G（Kumar-G）族、Lomax生成族、Weibull-G族、Weibull-X族、odd generalized exponential生成族、广义transmuted-G族、odd Lindley-G族、扩展Weibull-G族、Weibull Marshall–Olkin族、Xgamma族、连续分布新型柔性族（NFF）、Fréchet Topp Leone-G族、修正幂分布族以及加权余弦-G（WC-G）族等。基于上述背景，研究人员以Lomax分布为父模型提出NFLx-X分布族，目的是通过附加参数提升密度函数和风险函数的形状灵活性。研究所提模型的意义在于：NFLx-Weibull的密度可呈右偏、左偏和对称，风险函数可呈递增、递减、浴盆形和单峰，从而适用于复杂寿命与可靠性数据建模。

研究人员开展了理论推导、参数估计、模拟评估和实证比较。理论方面，构建NFLx-X族并推导NFLx-Weibull四参数子模型，给出生存函数（SF）、风险函数（HF）、累积风险函数（CHF）和反向风险函数（RHF）；推导NFLx-Weibull的矩、概率加权矩（PWM）、应力-强度模型和Shannon熵，并研究NFLx-X族的第_r阶矩（μ_r^′）、矩生成函数（MGF）、分位数函数（QF）、剩余寿命、反向剩余寿命和次序统计量。估计方面，采用最大似然估计（MLE）方法，并通过蒙特卡洛模拟分析（MCSA）考察估计量表现。实证方面，采用辐射与能源系统领域四个真实数据集，与八个知名分布比较拟合优度。研究结论表明，所提NFLx-Weibull模型在多类数据中具有更强建模灵活性和更优拟合表现，对复杂寿命与可靠性数据分析具有应用价值。

关键技术方法不超过250字：研究主要采用最大似然估计（MLE）估计NFLx-X族参数；采用蒙特卡洛模拟分析（MCSA），以NFLx-Weibull累积分布函数（CDF）的逆生成样本，样本量为25、50、100、200、300、400、600、800、900和1000，每个样本量重复1000次，设置六组初始参数，使用R统计软件、optim函数和L-BFGS-B优化方法，计算估计均值、偏差和均方误差（MSE）。实证数据来源包括：第一个辐射数据集为72个观察值，源于Bjerkedal（1960）并曾被Shah et al.（2023）使用；第二个辐射数据集为128个观察值，源于Lee & Wang（2003）并曾被Alkhairy et al.（2022）使用；第三个辐射数据集为36个观察值，源于Xin et al.（2022）；能源数据集为24个观察值，源于Alnssyan and Alomair（2023）。

研究结果如下。NFLx-X分布族：通过以Lomax分布为父分布并设定T-X族生成机制中的上限函数，研究人员构建NFLx-X族，给出其累积分布函数（CDF）、概率密度函数（PDF）、SF、HF、CHF和RHF；结论是该族可纳入附加参数并形成更灵活的分布构造框架。NFLx-Weibull分布：将Weibull分布的CDF和PDF代入NFLx-X族表达式，得到四参数NFLx-Weibull模型，并给出其SF、HF、CHF和RHF；当ρ=1时退化为New Flexible Lomax Exponential分布；通过密度和风险函数图形展示其可呈左偏、右偏、对称密度以及递增、递减、浴盆形和单峰风险率。NFLx-Weibull分布的性质：通过积分、级数展开和变换，推导第_r阶矩、均值、方差、偏度系数（CS）、峰度系数（CK）、PWM、应力-强度模型和Shannon熵；数值表用于说明均值、方差、CS和CK随参数变化的表现。NFLx-X分布族的分布性质：推导该族的矩、MGF、QF、剩余寿命、反向剩余寿命和次序统计量PDF；QF无闭式解，需数值求解。估计：采用MLE建立对数似然函数及Score方程，通过数值同时求解得到参数估计。模拟：通过MCSA发现，随着样本量增大，δ、ω、η、ρ的估计值趋近真值，MSE趋于零，偏差下降并趋近零。应用分析：第一个辐射数据集分析中，基于72个豚鼠生存时间数据，比较NFLx-Weibull与八个竞争模型，CvM、AD、KS及P值、AIC、BIC、CAIC、HQIC结果显示NFLx-Weibull指标更小且P值更高，拟合最优；第二个辐射数据集分析中，基于128个膀胱癌患者缓解时间数据，NFLx-Weibull同样在拟合优度和信息准则上优于竞争模型；第三个辐射数据集分析中，基于加拿大2020年4月10日至5月15日36天COVID-19死亡数据，NFLx-Weibull的拟合优度指标更小、P值更高，表现较优；能源数据集分析中，基于24个时间小时数据，NFLx-Weibull相较竞争模型具有更小分析指标和最高P值，图形拟合接近数据。总体上，四个实证数据均支持NFLx-Weibull优于八个竞争概率模型。

讨论部分总结：原文将模型优势归因于新增参数带来的密度函数与风险函数形状灵活性，并通过理论性质、MLE、模拟和四个真实数据集的比较分析予以支持；与八个竞争模型相比，NFLx-Weibull在辐射与能源系统数据中显示更优拟合，说明其适用于复杂寿命与可靠性数据。研究结论（据原文Conclusion翻译）：本研究引入一类新的寿命分布，称为新型柔性Lomax-X族，通过纳入Lomax分布作为父分布；作为该族的具体成员，研究人员建立四参数模型，称为新型柔性Lomax-Weibull分布。所提模型在描述不同分布和故障率行为方面表现出显著灵活性；其密度函数可容纳右偏、左偏和对称形状，风险函数可呈递增、递减、浴盆形和单峰形式。研究人员推导了NFLx-Weibull若干重要统计性质，也推导了所提族的若干分布性质，包括第_r阶矩、矩生成函数（MGF）、剩余与反向剩余寿命、分位数函数以及次序统计量的概率密度函数。此外，采用最大似然估计（MLE）方法估计所提族的未知参数；开展蒙特卡洛模拟研究，以评估所应用估计方法在不同样本量和初始参数配置下的表现。通过辐射与能源系统领域四个真实数据集展示所提族的有效性，结果表明新引入分布相较其他八个竞争概率模型提供更好的拟合。这些发现说明所提族适用于涉及复杂寿命与可靠性数据的应用。