已知重数多项式求根的十八阶预测校正方法BKM*及其收敛性分析

《Mathematics》：High-Order Predictor–Corrector Schemes for the Simultaneous Computation of Polynomial Roots with Known Multiplicities: Order Analysis and the Role of a Scalar-Derived Correction Factor

　　

摘要

我们研究了用于同时计算已知重数多项式根的高阶预测-校正格式。所提出的方法 BKM* 结合了四阶两步修正牛顿近似、针对重根的六阶Ehrlich型耦合预测器，以及最终的 Gargantini–Farmer–Loizou 校正。局部收敛性分析确立了向量 Q 阶至少为十八，并给出了明确的首项误差。该分析推广到应用于最终校正器的乘性校正因子：若该因子与一相差，则局部阶至少为。对于由五阶标量方法导出的校正因子，，因此所得到的加权变体阶至少为八，且该权重降低了而非提高了阶数。为隔离预测器的作用，我们还考察了一步PKM与相同校正器的组合，该组合同样具有至少十八的局部阶，且每次迭代所需的函数求值次数更少。在6000位算术下对12次、20次和21次多项式的实验证实观测阶接近18和8，并表明两种十八阶组合均不存在一致的速度优势：当两者需要相同迭代次数时，每次迭代函数求值次数更少的组合所需的计算时间更少，而BKM则因更远的初始配置下更优的预渐近阶段而受益。