基于神经变形场的工业NURBS几何体约束驱动优化与参数化

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Constraint-driven optimization and parametrization of industrial NURBS geometries via neural deformation field

　　

•基于神经参数化的可微分CAD原生流程，通过积分约束优化NURBS几何。
•从损失到控制点的端到端梯度传播——无需伴随方程。
•与CAD兼容的输出（IGES），保持光滑性和拓扑结构以支持工业下游流程。

引言

工业几何形状通常在产品生命周期管理（PLM）[1]、[2]和计算机辅助制造（CAM）[3]中通过计算机辅助设计（CAD）模型进行管理。在实践所使用的几何表示方法中，除日益普及的隐式表述外，自由曲面通常通过基于非均匀有理B样条（NURBS）[4]的边界表示（B-Rep）模型来描述，后者通过控制点、权重、节点向量和多项式次数提供曲线和曲面的解析参数化。在变形过程中保持该表示的几何和拓扑有效性对于下游分析和制造至关重要。

传统的形状优化工作流程[5]、[6]、[7]需要定义一组缩减的设计参数，使其能够在保持底层形状表示有效性的同时产生有意义的几何变化。经典的基于变形的参数化方法，如自由变形（FFD）[8]和径向基函数（RBF）变形，在这些流程中广泛应用，因为它们无需从头重建CAD模型即可修改复杂几何。它们可以作用于不同的表示，包括CAD控制实体、曲面离散化、点云和体网格，并已通过几何、网格和自适应网格变形策略在工业和船舶形状优化中成功应用[7]、[9]、[10]、[11]。然而，它们的有效性强烈依赖于变形结构的定义，如FFD晶格、RBF控制点、支撑半径或传播策略。粗糙的变形模型可能无法捕捉局部特征，而更精细的参数化会增加设计变量数量并可能引入虚假的高频模式[12]。此外，由于这些变形映射通常是外在于原生CAD参数化的，保持几何正则性、导数信息和全局CAD级约束并非自动实现，尤其是在关注量为积分属性而非逐点位移或基于网格的度量时。

在船舶水动力学领域，几项工作已通过作用于几何或直接在计算网格上的先进变形策略来解决船型优化问题。[9]提出了一种用于船型优化的三维变形策略，而[7]介绍了一种基于CAD一致几何修改和体积网格传播的有效网格变形方法，用于船型设计优化。类似地，[10]中提出了结合自适应细化的网格变形用于船型设计，而[11]提出了一种在静水中使用自适应网格变形的CFD优化框架。这些贡献表明基于变形的参数化在船舶应用中的实际相关性。

除了经典的网格和几何变形技术外，数据驱动和生成式方法最近作为构建复杂工业形状紧凑设计空间的有前景工具而涌现。[13]的作者认为，传统CAD参数可能限制了对大形状变化和拓扑变化的探索，而生成网络可以为设计优化提供低维流形。在船舶领域，[14]提出了一种用于参数化船型设计的深度卷积生成模型，展示了生成网络如何学习可允许船型的紧凑表示。[15]介绍了一种基于扩散的模型，用于在多目标和约束下参数化船舶船型生成，而更一般地，[16]专注于受线性几何约束约束的工业形状变形的生成模型，重点在于模型降阶和参数空间缩减。这些方法凸显了对用降维隐变量或生成表示替代高维手工定义形状参数的日益增长的兴趣。然而，隐式和生成式描述可能会减少对外部CAD实体的直接控制，并可能需要额外机制来保证严格的几何有效性。

深度学习和物理信息神经网络的出现也促进了自动微分作为微分方程求解机制的使用[17]。这使得无需推导问题特定的伴随代码[18]即可计算灵敏度成为可能，而伴随代码传统上是常规基于梯度的形状优化工作流程所需的[19]、[20]。可微分编程进一步允许将几何内核直接嵌入基于梯度的循环中。[21]提出了THB-Diff，利用GPU上的自动微分进行截断层次B样条拟合和细化，主要目标是样条求值中的计算效率。当前的基于PINN的形状优化框架[22]、[23]通常依赖于坐标投影策略或问题特定参数化，这与直接优化标准CAD控制变量不同。

在此背景下，本工作遵循一条互补路径。它不依赖于专门的网格依赖变形流程[7]、[10]、[11]、随机或生成式设计流形[14]、[15]、[16]，也不依赖于软约束PINN表述[22]、[23]，而是定义了从NURBS控制点到全局几何指标的解析且可微的映射。自动微分与数值求积相结合，直接在CAD参数化级别强制执行积分几何性质，而不是纯粹最小化拟合误差或在生成网格上评估约束。这使得在保持对工业形状变形的显式控制的同时实现基于梯度的优化成为可能，并在约束评估阶段绕过显式网格生成。

本工作提出了一个参数化曲面的形状设计与优化流程（图1），在PINA框架[24]内实现。所提方法专注于简化的物理设置，其中关注量为全局几何和水静态度量，如体积、表面积和质心相关属性，通过解析B样条导数和数值求积评估。虽然对于许多工程应用而言，完整的偏微分方程约束形状优化仍是标准方法，但将其集成到可微分CAD原生框架中引入了显著复杂性，超出了本工作的范围，代表着未来扩展的自然方向。相反，本文介绍了一种约束驱动的变形范式，其中几何根据物理上有意义的积分目标进行优化，避免显式场方程求解同时保持清晰的物理解释。在此背景下，该框架可在更广泛的PINN类别中解释，其中物理一致性通过嵌入损失函数中的可微分约束而非通过数据来强制执行。变形通过神经位移场建模，实现为多层感知机（MLP），它将原始CAD控制点映射到其变形后的构型，从而实现设计空间的紧凑且灵活的参数化。与现有神经形状优化方法的主要区别不在于网络架构，而在于其CAD原生的角色。该网络既不是预训练替代模型也不是生成模型：它是针对特定设计问题优化的，并直接参数化原始NURBS控制点的位移。几何约束因此通过多面片CAD表示上的可微分积分算子进行评估，无需中间网格生成。

本文的主要贡献总结如下：
•几何变形的神经参数化：采用多层感知机（MLP）参数化NURBS控制点位移场的方法。与逐点优化相比，这提供了更灵活和紧凑的设计空间表示，并建立了保持界面连续性[25]、[26]的全局变形律。
•端到端可微分映射：通过将B样条映射直接集成到计算图中，该框架实现了从目标函数到控制点的精确梯度传播。这消除了手动推导伴随方程的需要。
•积分几何约束的强制：制定可微分损失项以满足如目标体积等全局积分约束。这确保优化后的几何遵循功能全局要求，在PINA框架内实现。
•CAD兼容性：该流程直接操作标准NURBS面片参数，保持工业下游流程所需的拓扑有效性和光滑性。输出为标准CAD文件（如IGES）。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍主要理论概念和符号。第3节详细说明在PINA框架内的实现和变形的神经参数化。第4节展示数值实验，在多样片船舶几何上验证所提方法。最后，第5节总结发现并概述未来可能的研究方向。

初步符号和概念

图2描绘了本工作考虑的KVLCC2船体形状。从数学角度看，船体几何由一组参数化NURBS曲面——或称面片——描述，这些面片包围了船舶的体积。图中还显示了重力作用点——船体的重心——以及对应的重力W。流体静压力作用点以及对应的浮力FB也予以展示。静水

方法框架

本节中，我们将描述和形式化本工作解决的数学问题。本质上，我们尝试识别初始船体形状的特定变体，该形状由第2.1节介绍的NURBS曲面描述，且具有所需的水静力学特性。正如我们将展示的，曲面将通过神经变形算子进行变形，该算子改变NURBS控制点的位置。形状变形神经网络开发的损失，将

积分收敛分析

准确评估全局几何约束需要数值积分方案。高斯-勒让德[29]求积法则应用于参数域Ω?=[0,1]2，以近似面积分和体积积分。

如图4所示，体积计算表现出收敛行为。尽管存在这些初始误差，该方案实现了稳定。

对于优化框架，每个维度Nq=18个点的分辨率被确定为权衡方案。

实验设置和初始基准

结论

本工作建立了一个参数化曲面形状优化的端到端可微分框架，在PINA生态系统内实现。通过利用解析B样条导数计算雅可比行列式，所提方法为积分约束问题实现了快速步骤。该优化表述避免了传统基于网格的分析流程固有的几何离散化开销和梯度不一致性，并且更

CRediT作者贡献声明

Federico Tamburlin：原始稿件撰写，方法论，调查。
Giovanni Canali：原始稿件撰写，软件，形式分析，概念化。
Giuseppe Alessio D'Inverno：原始稿件撰写，验证，调查。
Nicola Demo：审阅与编辑，验证，监督。
Andrea Mola：审阅与编辑，软件。
Gianluigi Rozza：审阅与编辑，监督，项目管理，资金获取。

利益冲突声明

作者声明他们不知道有任何可能影响本论文报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

致谢

F.T.、G.A.D.、N.D.和G.R.感谢欧盟——下一代欧盟（iNEST – Interconnected Nord-Est Innovation Ecosystem，iNEST ECS00000043 – CUP G93C22000610007）项目及其CC5青年研究人员计划提供的支持。
G.C.感谢欧盟——下一代欧盟（PNRR国家恢复与韧性计划）第4任务、第2组成部分、第3.3投资提供的支持，通过奖学金于

Federico Tamburlin | Giovanni Canali | Giuseppe Alessio D'Inverno | Nicola Demo | Andrea Mola | Gianluigi Rozza