时间半离散稳定积分因子Runge–Kutta方法用于矩阵值Allen–Cahn方程

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Time-semidiscrete stabilized integrating factor Runge–Kutta methods for matrix-valued Allen–Cahn equations

　　摘要
在本文中，我们研究了时间半离散稳定的积分因子龙格-库塔（sIFRK）方法，用于具有 ??∈???1×??2 的广义矩阵值Allen–Cahn方程，其中 m1 ≥ m2。我们建立了足够的系数条件，以确保这些方法在任意的时间步长下都能保持Frobenius范数最大界限原理（MBP）。在相同的结构系数条件、更强的稳定化条件以及所述的局部缺陷假设下，我们进一步在任何固定时间区间内建立了p阶误差估计。在这个框架内，我们提出了从一阶到三阶的sIFRK方案，以及形式上的四阶和五阶候选方案。一阶、二阶和三阶方案满足足够的系数条件，因此能够保持MBP，适用于任意的时间步长。尽管四阶和五阶候选方案不满足这些充分条件，但在报告的测试中它们的节点值仍然保持在规定的范围内。最后，针对标量、向量值和矩阵值Allen–Cahn方程的数值实验证实了设计的时间阶数，并检查了节点界限保持、内部阶段行为和离散能量演化。

引言
Allen–Cahn方程 [1],[2],[3],[4],[5],[6] 是分析和模拟界面动力学最重要的耗散相场模型之一。在其经典的标量形式 [7] 中，它描述了一个由扩散和非线性势能之间的竞争驱动的序参量的松弛过程。非局部修改的Allen–Cahn模型也被用于形状变换 [8]。在许多应用中，未知量不再是标量值的。涉及正交框架场、矩阵值序参量、向近似正交状态的扩散以及具有多个耦合组分的几何数据 [9] 的问题自然会导致矩阵值Allen–Cahn方程 [10],[11]，其中未知量的取值范围是 ???1×??2，且 m1 ≥ m2 ≥ 1。一个代表性的广义矩阵值Allen–Cahn模型由 [12] 给出：
{?????(??,??)=?????(??,??)+???(???(??,??)), (??,??)∈(0,??]×Ω, ???(0,??)=??0?(??), (??,??)∈{??=0}×?????Ω，
并配备了周期性边界条件，其中 ?=??2?Δ 是按 ε2 缩放的扩散算子，Δ 表示拉普拉斯算子，参数 ε > 0 代表界面宽度，控制着转变的锐利程度。初始条件由 U0 表示，Ω=∏???=1(???,???)???? 是一个开放、连通且有界的域，d 表示空间维度。非线性项由 ???(??)=???????????? 给出。
模型 (1.1) 是以下能量泛函 ???(??)=∫Ω(??22?∥????∥2F+14?∥???????????2∥2F)???? 的L2梯度流，其中 ????2∈???2×??2 是单位矩阵，‖·‖F 表示Frobenius范数。势能项倾向于使 ??????≈????2，从而使解朝着列几乎正交的状态演化 [13],[14],[15]。这种结构使得该模型特别适用于矩阵值序参量、正交性约束的松弛过程以及耦合的几何和物理系统的离散界面描述。
广义矩阵值Allen–Cahn模型的表达式 (1.1) 考虑了矩形矩阵值未知量 ??：Ω→???1×??2，其中 m1 ≥ m2。它包含了当 m1=??2=1 时的经典标量Allen–Cahn方程，当 m2=1 时的向量值Allen–Cahn系统，以及当 m1=??2 时的矩阵值正交性约束模型。该框架还包括 m1 > m2 的矩形矩阵值问题，例如 3×2 的情况，其中关系 ??????≈????2 描述了 U 的列形成近似正交框架的趋势。这种观点对于数值分析特别方便，因为时间离散化可以针对一般情况 (m1, m2) 进行设计，然后统一应用于标量、向量值、矩阵值和矩形矩阵值情况。在本文中，我们为广义矩形矩阵值Allen–Cahn方程开发了时间半离散稳定的积分因子龙格-库塔（sIFRK）方法。针对几个代表性的 (m1, m2) 选择进行了数值实验，展示了所提方法的性能和相应的界面动力学。

从数值角度来看，(1.1) 的难点在于刚性扩散算子与非线性矩阵反应之间的耦合。对于较小的 ε 值，扩散项 ε2ΔU 需要稳定的处理。UU?U 不仅仅是一个逐元素标量非线性项，因为它与能量中的矩阵量 U?U 相关联。因此，合适的离散化应该同时考虑线性部分的刚性和非线性部分的矩阵值结构。除了稳定性和准确性外，该方案还应保持连续流的性质。其中一个性质是Frobenius范数最大界限原理（MBP）：如果 sup??∈Ω?∥??0?(??)∥F≤√??2，则对于 t > 0，平滑解满足 sup??∈Ω?∥???(??,??)∥F≤√??2。这个估计可以被视为标量最大原理的矩阵值对应物。此外，由于方程 (1.1) 是能量 (1.2) 的梯度流，相应的能量会随着连续演化而耗散。这些结构性质为数值方法的设计和分析提供了自然的标准。最近的发展包括用于梯度流的更高阶能量递减指数时间差分龙格-库塔方法 [16] 以及显式扩展积分因子龙格-库塔方案，这些方案对于标量Allen–Cahn方程能够无条件保持最大原理 [17]。对于矩阵值方程，Liu 等人 [18] 证明了第一和第二阶ETDRK方案的无条件MBP保持和能量耗散。Quan 等人 [19] 证明了第二阶Strang分裂方案的无条件MBP保持和无条件能量耗散。对于广义矩形模型，Liu 等人 [12] 开发了任意阶的重新缩放的ETDRK方案，这些方案在时间步长限制下无条件保持MBP和原始能量的耗散。
本文研究了广义矩阵值Allen–Cahn方程的sIFRK方案。在显式指数积分器用于刚性半线性问题 [20],[21],[22],[23],[24] 的背景下，sIFRK方法提供了一个有用的框架。在标量情况下，Li 等人 [25] 将积分因子龙格-库塔（IFRK）方法与线性稳定技术结合，为半线性抛物线方程开发了一组sIFRK方法。关键思想是添加和减去一个稳定项，将方程重写为稳定形式，然后将刚性线性部分吸收到积分因子中。通过这种方式，主要的线性刚性通过矩阵指数得到处理，而稳定的非线性部分则通过龙格-库塔程序显式处理。这种策略的一个主要优点是它导致了对于刚性扩散问题仍然有效的高阶显式时间离散化。更重要的是，标量sIFRK理论提供了足够的条件，使得时间步进方案无条件保持MBP，并且在 [25] 中构建了满足这些条件的一阶、二阶和三阶具体方法。下面使用的一般系数标准和低阶龙格-库塔系数选择是从标量sIFRK框架 [25] 继承的。然而，将其应用于广义矩阵值问题需要额外的矩阵特定估计。在标量分析中，非线性估计和MBP是以绝对值逐点表达的 [25]。然而，矩阵值情况需要相应的Frobenius范数界限，非线性项涉及矩阵乘积。因此，必须重新组织稳定性论证和阶段结构保持分析。特别是，必须保证时间步进方法的每个阶段值都保持在由 √??2 定义的Frobenius球内。后续的证明需要相应的矩阵值非线性界限、Lipschitz估计和半群收缩论证。

在本文中，我们首先建立了一个通用定理，表明在一组足够的系数条件下，广义矩阵值Allen–Cahn方程的s阶段sIFRK方法在时间半离散层面上对于任意时间步长都能保持MBP。与标量情况不同，矩阵值分析需要对数值解在Frobenius球内进行阶段控制，其中非线性项 UU?U 必须通过矩阵值范数界限来估计。使用 [25] 中引入的一阶、二阶和三阶系数集，我们提出了相应的矩阵值sIFRK方案，并验证它们满足定理 2.2 的充分条件。因此，这些低阶方案被证明无条件保持MBP。我们还制定了四阶和五阶sIFRK方案。尽管这些更高阶公式不满足足够的系数条件，因此不受无条件MBP定理的覆盖，但它们的节点值在所有报告的数值测试中都保持在Frobenius范数界限内。此外，在所述的局部缺陷假设下，我们在任何固定时间区间内推导出了p阶收敛估计。最后，数值实验确认了设计的时间阶数，检查了MBP、内部阶段行为和离散能量耗散，并将二阶sIFRK方法与代表性的ETDRK和Strang分裂方法在时间精度和计算成本方面进行了比较。
本文的其余部分组织如下。第2节介绍了通用矩阵值sIFRK框架。介绍了稳定积分因子的公式，并给出了无条件保持MBP的足够系数条件。还证明了在 sup 范数中的收敛估计。第3节给出了几个低阶sIFRK方案，包括一阶、二阶和三阶方法。对于这些方案，我们验证了MBP的系数条件，并澄清了MBP结果并不意味着一般的离散能量定律。第4节考虑了几种基于经典龙格-库塔方法的更高阶sIFRK方案。我们展示了这些方案不受无条件MBP证明中使用的充分条件的覆盖。第5节报告了数值实验，包括标量、向量值、矩阵值、矩形矩阵值和三维情况，以验证理论结果并展示所提方案的有效性。最后，第6节给出了一些结论性意见。

### 通用矩阵值sIFRK框架、最大界限原理和收敛性
我们引入了一个人工稳定常数 κ > 0，并将 (1.1) 重写为 ????=???????+?????(??)，其中 ????=??2?Δ?????? 是稳定的线性算子，?????(??)=?????+???(??) 是相应的非线性算子。这里 I 表示底层函数空间上的单位算子。我们从 [12],[18] 中回顾了以下两个用于稳定非线性 Nκ 的基本估计。这些估计将用于阶段MBP和收敛性分析。证明可以在 [12] 中找到，κ 的界限是...

### 低阶矩阵值sIFRK方案
在本节中，我们将通用sIFRK框架专门化到几个低阶矩阵值方案。我们将 [25] 中的低阶系数选择应用到矩阵值设置中，并验证定理 2.2 中的MBP条件。
一阶矩阵值sIFRK(1,1) 方案是 ????+1=??????????(????+????????(????))。
这里 ??=(0,1)?，相应的放大函数是 ??1?(??)=?????+??3?????=?????3(1+??)。由于 ??′1?(??)=???3?????≤0 对于 x ≥ 0，g1 在 [0, ∞) 上是非递增的。因此，sIFRK(1,1) 方案满足...

### 超出无条件MBP框架的高阶sIFRK候选方案
在本节中，我们通过将积分因子公式与经典的更高阶龙格-库塔方法结合，研究了三个更高阶的候选方案。尽管这些公式具有期望的形式时间阶数，但它们不满足MBP证明中使用的充分结构条件。阻碍已经出现在阶段系数和相关放大函数的层面上。
我们从一个经典的四阶候选sIFRK(4,4)-RK4开始：??(1)=????2??????(????...

### 数值实验
在本节中，我们检验了本工作中考虑的sIFRK方法的时间精度和数值行为。我们首先验证了一个平滑的 3×2 矩阵值Allen–Cahn问题的时间阶数，并研究了稳定参数的效果。然后，我们比较了sIFRK与代表性的ETDRK和Strang分裂方法在时间精度和计算成本方面的表现。另外四个示例说明了标量值、向量值、矩阵值的界面动力学...

### 结论
在本文中，我们为具有矩形矩阵值未知量的广义矩阵值Allen–Cahn方程开发了一个sIFRK框架。通过引入线性稳定项并应用积分因子变换，刚性扩散部分被纳入指数算子中，而非线性矩阵反应被显式处理。对于得到的通用s阶段sIFRK公式，我们建立了足够的系数条件，以确保时间...

### 作者贡献声明
Chengxin Pan：写作 – 原始草稿、软件、方法论、数据管理、概念化。Yaru Liu：写作 – 审查与编辑、可视化、验证、调查、形式分析。Yiqi Gu：监督、资金获取、概念化。
### 利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。