复杂区域中声学逆柯西问题的基本解神经网络

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：Fundamental solution neural networks for inverse acoustic Cauchy problems in complex domains

　　

## 摘要

本文提出了一种由物理信息神经网络（PINNs）驱动的基本解神经网络（FSNNs）方法，用于求解二维和三维域中声学分析的逆Cauchy问题。此类问题旨在从部分给定的边界条件中重建未知的边界数据，通常具有病态性且对扰动高度敏感。对于逆问题，传统的基本解法（MFS）通常依赖于源点的经验性选择，这往往导致数值不稳定。尽管已提出多种策略来解决这一问题，但这些方法往往要么增加计算复杂度，要么牺牲整体效率。为了克服MFS的局限性，本文将PINNs引入MFS框架。在该方法中，未知量由神经网络参数化，并基于可测量的边界条件构建物理信息损失函数。在物理约束的指导下，模型可以自适应地调整源点分布，从而无需人工干预即可提高解的稳定性和准确性。所提出的方法保留了MFS的无网格特性、易实现性和半解析特征，同时显著增强了其求解逆问题的能力。数值结果表明，所提出的方法在复杂几何问题中实现了高精度、高稳定性和强鲁棒性。

## 引言

声学问题的数值模拟已成为众多工程应用中不可或缺的工具，涵盖噪声控制[1]、振动声学耦合[2]、[3]以及波传播分析[4]等领域。它们在阐明复杂系统中声场与结构响应之间的复杂关系方面具有特殊意义。对于具有完全给定边界条件的直接问题[5]、[6]，相关研究已达到相当成熟的水平。在实际工程应用中，测量限制和物理不可达性通常限制了完整边界数据的获取。问题由此转化为固有的病态逆Cauchy问题[7]、[8]、[9]、[10]。在声学应用中，边界压力数据通常仅部分可用，需要从有限的观测中重建未知的边界条件。逆问题本质上是病态的，其解对边界条件和观测数据高度敏感。微小的测量误差或噪声可能在数值重建过程中被逐步放大，导致重建的内部声场出现显著偏差[11]。这对数值方法的稳定性和物理一致性提出了更严格的要求。

有效地重建未知边界信息已成为一个关键的研究焦点。各种数值方法已被提出和开发，以充分利用数值方法在边界数据重建方面的优势，包括有限元方法（FEM）[12]、[13]和边界元方法（BEM）[14]、[15]。这些传统方法在许多应用中取得了显著进展，但在实际应用中仍存在一定局限性。FEM依赖于域离散化，需要精心生成的网格，不适当的网格分辨率或畸变单元可能影响数值解的准确性和稳定性。网格生成过程往往繁琐且计算代价高昂，尤其对于复杂几何和/或三维问题。BEM降低了问题维度并自然地施加了Sommerfeld辐射条件[16]。然而，其实现依赖于奇异积分的精确计算，且在某些特征波数下存在非唯一性问题，这可能影响方法的稳定性和适用性。在此背景下，无网格方法受到了越来越多的关注，它们降低了对网格生成的依赖，并为复杂几何提供了更大的灵活性。代表性的无网格方法包括基本解法（MFS）[17]、[18]、[19]、[20]、奇异边界法（SBM）[21]、[22]、边界节点法（BKM）[23]、[24]和局部边界节点法（LBKM）[25]。然而，由于逆问题的病态性质和对数值误差的敏感性，它们仍然具有挑战性。因此，改进数值方法（包括无网格技术和混合策略）仍是一个重要的研究方向。Hua等人[26]将广义有限差分法应用于求解三维Helmholtz逆Cauchy问题，并证明了其在准确性和稳定性方面的有效性。Shivanian和Jafarabadi[27]开发了一种基于谱径向点插值的改进无网格方法，提高了逆Cauchy问题的稳定性和准确性。Fardi等人[28]开发了一种混合无网格方法，结合径向基函数-紧支有限差分法（RBF-CFD）和Strang分裂来求解Allen-Cahn方程，改进了准确性和稳定性。这些改进的数值方法更适合涉及复杂几何和不完整边界数据的问题，为求解逆问题提供了有效的替代方案。

在众多无网格方法中，MFS因其无网格特性、实现简单和精度高而被广泛用于求解偏微分方程（PDEs）。MFS是一种边界型无网格方法，可归类于Trefftz方法族。该方法由Mathon和Johnston于20世纪70年代末提出。在早期应用中，源点位置被视为未知量，通过非线性最小二乘程序与基本解系数同时确定[29]。这一策略在多项早期研究中得到采用，并由Fairweather[30]进行了全面综述，表明自适应源点确定在MFS研究中已有悠久历史。由于基础边界值问题通常是线性的，最初使用非线性优化框架来确定源点位置被视为对MFS的一种潜在批评。然而，这种非线性形式也为具有内在非线性的问题提供了自然框架。Karageorghis等人[31]将MFS扩展到由Laplace方程支配的具有非线性辐射型边界条件的椭圆边界值问题。随后，该方法进一步发展为求解稳态自由边界问题[32]。因此，非线性源点优化不仅用于在线性问题中自适应调整源分布，还促进了真正非线性问题和自由边界问题的处理。

除了传统的边界值问题外，MFS在逆问题方面也得到了广泛研究。Karageorghis等人[33]全面综述了MFS在逆问题及相关问题中的应用，展示了其在各种逆识别问题中的有效性。最近，Cheng等人所著书籍的第11章[34]进一步综述了MFS在逆问题中的发展和应用。特别是，移动源公式也被研究用于逆几何问题。Karageorghis等人[35]开发了一种高效的移动源MFS，用于求解空腔检测这一具有挑战性的逆问题，其中源点位置在求解过程中动态调整。他们的工作为MFS逆问题中源点位置的自适应处理提供了有价值的见解。

机器学习的快速发展[36]为数据驱动方法解决病态逆问题提供了新途径。在这些方法中，物理信息神经网络（PINNs）[37]、[38]将控制方程和边界条件纳入训练过程。通过利用自动微分和强大的函数逼近能力，它们在正向和逆问题中均表现出令人瞩目的结果。近年来，越来越多的注意力集中在将神经网络或机器学习与传统数值技术相结合的学习型方法上。这些方法将基于物理模型的可解释性与数据驱动框架的灵活性相结合，从而提高了准确性和计算效率。Li等人[39]将MFS与PINNs结合来求解由Laplace方程和双调和方程支配的逆Cauchy问题，同时优化源点分布。Safari和Duan[40]提出了一种结合后向代入法（BSM）与径向基函数神经网络（RBFNN）及三角基函数（TBFs）的方法来近似具有部分未知边界条件的椭圆PDEs。Wang等人[41]首次将PINNs引入MFS的源点自适应选择，并提出了一种自适应基本解法（AMFS）来自动优化源分布。Li等人[42]将RBFs与PINNs整合，开发了一种物理信息RBF框架，用于源点分布和形状参数的自适应优化。相关的学习型策略也被开发用于局部RBF方法以解决局部支撑域的选取问题。特别是，提出了一种具有自适应支撑域的学习型局部RBF神经网络，通过可训练参数自适应确定有效支撑域，减少了对手动选择支撑域大小的依赖，使得在广泛的支撑域范围内都能获得准确稳定的解[43]。Duan等人[44]将BEM与PINNs结合来计算特解，并采用sinh变换来处理近奇异积分，从而能够高效分析薄壁结构中非齐次弹性问题。

基于上述研究背景，本研究提出了一种集成PINNs的基本解神经网络（FSNNs）方法，用于求解二维和三维域中的逆声学Cauchy问题。通过将物理约束嵌入神经网络训练过程，所提出的方法提供了一个统一范例，连接了数据驱动学习和基于物理的建模。这是因为PINNs消除了显式构建正则化项和手动调节正则化参数的需求。它们通过将控制方程、边界条件和观测数据嵌入损失函数来对解施加全局物理一致性。采用神经网络对源强度和相关参数进行端到端学习。因此，MFS中的关键参数，如源点位置、径向距离和加权系数（通常通过经验或迭代程序确定），可以在训练过程中自动调整和优化。这提高了逆声场重建的稳定性和准确性。

本文其余部分组织如下。第2节介绍控制方程以及可访问和不可访问的边界部分。第3节概述PINNs框架。第4节提出FSNNs，包括其公式化和示意图表示。第5节报告了五个数值算例，从简单的二维情况到更复杂的三维场景，以评估所提出方法的性能。第6节得出结论。

### 问题陈述

考虑一个有界域Ω???（n=2,3），具有充分光滑的边界Γ∈?Ω，其中充满均匀各向同性声介质。边界被分解为不重叠的两部分Γ=Γ?∪Γ?。Dirichlet和Neumann边界条件施加在边界部分Γ?上，而在Γ?上没有边界信息可用，如图1所示。Helmholtz方程的逆Cauchy问题[45]则具有以下形式：?2p(x)+k2p(x)=0，x∈Ω???；p(x)=p?(x)，x∈Γ?。

### 物理信息神经网络（PINNs）

随着计算资源的快速发展，包括深度神经网络[46]、卷积神经网络[47]和循环神经网络[48]在内的先进机器学习技术得到了广泛应用。在实际工程和科学问题中，数据获取的高成本往往导致信息不完整。这导致传统数据驱动方法在鲁棒性和收敛性方面存在明显缺陷[49]。针对这些局限性，……

### 基本解神经网络（FSNNs）

通过整合PINNs与MFS，开发了一个称为FSNNs的框架，旨在缓解上述局限性。图3展示了FSNNs的框架，说明了求解逆声学Cauchy问题中确定最优源点配置的过程。

在所提出的框架中，源点的角度坐标被作为神经网络的输入，其中θ和(θ,φ)分别对应二维和三维情况。网络……

### 数值实验

本节通过两个二维和三个三维逆声学Cauchy问题算例验证FSNNs的性能。为了定量评估数值准确性和稳定性，我们引入两个误差指标：绝对误差（AE）和相对均方根误差（RRMSE），定义如下：

AE = |p?(x?) - p?(x?)|

RRMSE = √(Σ???????? [p?(x?)-p?(x?)]2 / Σ???????? p?(x?)2)

其中解析值和数值解分别用p?和p?表示，N_test为测试点数。

### 结论

本研究从二维逆声学Cauchy问题开始，并将所提出的方法扩展到更具挑战性的三维情况。扩展旨在解决复杂几何问题并满足大规模计算的需求。在此基础上，开发了一个集成PINNs的FSNNs框架，以进一步增强解的灵活性和准确性。所提出的方法具有以下优势：（1）作为一种无网格方法，它消除了域离散化的需求……

### CRediT作者贡献声明

Zhanpeng Yan：撰写–审阅与编辑，验证，方法论。

王建杰：撰写—审阅与编辑、监督、方法论；李鑫：验证、监督；岳星星：撰写—审阅与编辑、监督；邱林：监督。可复现数据包链接：用于生成本研究发现结果的代码已在GitHub上公开可用：https://github.com/Fajie88/PINN/tree/main/FSNNs。利益冲突声明：作者声明不存在任何已知可能影响本文报告工作的竞争经济利益或个人关系。致谢：本文描述的工作得到了国家自然科学基金（编号：12472203, 12402239, 12302263）和山东省自然科学基金（项目编号：ZR2023YQ005, ZR2024QA009, ZR2023QA013）的支持。严战鹏 | 王建杰 | 李鑫 | 岳星星 | 邱林