PENMN：用于统一连续-不连续断裂分析的物理编码数值流形网络

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：PENMN: A physics-encoded numerical manifold network for unified continuous-discontinuous fracture analysis

　　

# 摘要

本文提出了一种新颖的物理编码数值流形网络（PENMN）。该方法将数值流形方法（NMM）的双覆盖系统与物理编码数值网络的离散可微分求解架构深度集成，通过数学覆盖和物理覆盖构建形函数矩阵，建立了覆盖节点自由度（DOFs）之间的显式拓扑连接，有效缓解了经典基于坐标的物理信息神经网络（PINNs）无法将多组独立自由度分配给同一空间坐标的核心局限性。基于最小势能原理和加权残差格式构建了全局标量损失函数，并采用l-BFGS二阶优化器完成求解。通过双覆盖切割机制自然实现了位移场在裂纹面上的间断表示，无需额外的有符号距离函数、域分解或界面连续性约束。通过多组静态间断问题和准静态裂纹扩展的数值算例，系统地验证了所提方法的求解精度、收敛特性和适用性。结果表明，PENMN计算得到的位移和应力与NMM结果高度吻合，在不同网格尺寸、裂纹倾角和复杂裂纹构型下保持了优秀的数值稳定性。预测的整体裂纹扩展路径与参考结果吻合良好，无明显网格取向偏差。迁移学习策略可有效优化裂纹扩展增量分析中的初始损失。

# 引言

间断结构行为的求解一直是计算力学领域的核心研究课题之一[1]。在传统数值方法中，有限元方法（FEM）要求计算网格严格贴合间断面，裂纹扩展分析中的频繁网格重建引入了巨大的计算开销和算法复杂性[2]。扩展有限元方法（XFEM）通过富集函数扩展解空间，实现了独立于网格的间断面非协调求解。然而，在涉及复杂多裂纹或相交裂纹的场景中，富集函数的设计难度和相关计算成本急剧上升，限制了其工程应用[3,4]。数值流形方法（NMM）凭借其由数学覆盖和物理覆盖组成的双覆盖系统，仅通过物理覆盖的切割即可自然表征位移场的强间断性，实现了连续和间断问题的统一求解，已成为断裂力学问题分析的有力工具[5,6]。

近年来，物理信息神经网络（PINNs）为偏微分方程（PDEs）的求解提供了一种新颖的无网格范式[7]。PINNs利用神经网络作为试验函数近似物理场，通过以控制方程和边界条件的残差作为监督信号来构建损失函数，通过最小化损失函数实现PDEs的求解，消除了传统数值方法中网格生成和刚度矩阵组装的需求。它在正向建模、参数反演和代理建模中展现出了巨大的潜力[8]。迄今为止，PINNs已成功应用于材料科学[9]和流体力学[10]等多个领域，并逐渐扩展到求解固体力学中的复合材料[11]、弹塑性[12]和结构动力学[13]等问题。

然而，PINNs在求解断裂力学和间断固体力学问题时面临根本性瓶颈。经典PINNs以欧几里得空间坐标作为网络输入，神经网络的平滑激活函数本质上隐含了"空间邻近等于物理连接"的假设。该假设在间断问题中完全失效：裂纹面两侧的点空间坐标高度接近，却属于运动学上解耦的材料区域，位移场存在强间断。神经网络的平滑近似属性与间断力学行为之间这一固有矛盾，使得经典PINNs难以准确捕捉裂纹面上的位移跳跃，极大地限制了其在间断问题中的应用。

为应对这一核心挑战，现有研究主要发展了两类改进的PINNs方法。第一类是域分解技术。该方法沿间断面将全局计算域划分为若干独立子域，为每个子域部署独立的神经网络进行求解，并通过界面连续性损失约束实现子域间的耦合，从而表征间断面两侧力学行为的差异[[14], [15], [16]]。尽管该方法可以直接实现位移间断的描述，但它引入了大量额外的界面损失项，导致了超参数敏感性问题以及多个损失项权重平衡的困难[16]。在多裂纹和相交裂纹等复杂场景中，子域数量和界面损失项数量呈指数级增长，导致计算成本和算法复杂性急剧上升。此外，在裂纹扩展过程中需要频繁调整子域划分，进一步限制了其工程适用性。

第二类改进方法受XFEM启发，基于有符号距离函数（SDF）构建增强型PINNs（间断嵌入神经网络，DENNs）[17]。这类方法将表征间断面几何特征的SDF嵌入神经网络作为额外输入，使网络能够自主学习间断面两侧力学响应的差异，而无需显式划分计算域。它在一定程度上规避了域分解技术的某些局限性。然而，此类方法高度依赖SDF的定制化设计。在复杂多裂纹和相交裂纹场景中，需要构建多组有符号距离场，大大增加了网络结构的复杂性和参数调优的成本[18]。更重要的是，它未能解决经典PINNs的底层缺陷：孤立的配点之间没有拓扑连接，无法将多组独立的求解自由度分配给同一空间坐标。

此外，一些研究将相场模型[[19], [20], [21]]和近场动力学[[22], [23], [24]]与PINNs相结合，通过弥散损伤区近似裂纹行为。尽管该方法避免了显式的间断建模，但它偏离了经典断裂力学中理想尖锐裂纹的建模框架。一些研究进一步将相场模型和XFEM都引入PINNs[25]，在不同求解策略之间切换以满足特定计算需求。同时，其他工作将非协调Galerkin有限元方法与PINNs集成，但该框架尚未应用于断裂问题[26]。

值得注意的是，Wang等人[27,28]提出的物理编码数值网络（PENN）为PINNs建立了一种新颖的计算范式。它通过有限元形函数在节点之间建立显式的拓扑连接，自然地复制了数值方法中单元的连接特性。在离散架构层面，它解决了经典PINNs中孤立配点缺乏拓扑连接的核心问题。这为集成NMM的间断表示理论并突破现有间断PINNs方法的瓶颈提供了可行的理论和技术框架。

在此基础上，本文首次将NMM的双覆盖系统与PENN的离散可微分求解架构深度集成，提出了一种新颖的物理编码数值流形网络（PENMN），实现了固体力学中连续和间断问题的统一、高效和精确求解。以NMM的双覆盖系统为核心，PENMN通过数学覆盖构建形函数和权函数，通过间断面对物理覆盖进行切割，在数学覆盖下为分离区域分配相互独立的求解自由度。该方法基于最小势能原理和加权残差格式构建全局标量损失函数，并采用l-BFGS二阶优化器完成求解，无需组装大规模全局刚度矩阵。同时，它可以通过直接赋值覆盖节点自由度来实现狄利克雷边界条件的硬编码，有效避免了经典PINNs中多个损失项权重调优和梯度病态的固有问题。

本文的主要研究工作及贡献如下：

1. 构建了PENMN的完整理论框架和求解流程，首次实现了NMM双覆盖理论与物理编码可微分网络的深度集成。它具体缓解了经典基于坐标的PINNs无法自然表征间断力学行为的核心矛盾。通过双覆盖机制，建立了连续和间断问题的统一求解框架，无需额外的有符号距离函数或域分解。

2. 系统阐述了PENMN的形函数构建、场变量插值映射、损失函数设计及边界条件施加方法，并阐明了方法的物理可解释性。该方法的唯一可训练参数是具有明确力学含义的覆盖节点位移自由度，取代了经典PINNs中神经网络的物理不可解释的权重和偏置。

3. 通过含圆孔板的连续问题和含单裂纹及相交双裂纹板的静态间断问题，全面验证了PENMN的求解精度、收敛特性和数值稳定性。此外，将PENMN扩展到准静态裂纹扩展分析中，实现了对单裂纹和多裂纹扩展路径的合理预测。

本文其余部分组织如下：第2节简要介绍了PINNs和数值流形方法的基本理论。第3节详细阐述了所提PENMN方法的核心架构、理论基础和完整求解流程。第4节通过多组静态数值算例验证了所提方法在连续和间断问题中的求解精度和适应性。第5节对单裂纹和多裂纹的准静态扩展进行数值分析，验证了该方法在动态断裂问题中的适用性。第6节总结了本文的主要研究结论，分析了当前方法的局限性，并展望了未来的研究方向。

# 章节片段

## PINNs的简要介绍

PINNs通过在计算域内采样的配点，利用神经网络拟合未知的物理场u(x)。控制物理方程和边界条件作为监督信号训练网络参数，使输出同时符合数据和物理规律，无需传统数值方法中的网格生成。对于表示为u(x; θ)的神经网络近似的物理场，控制方程的残差和边界条件的残差构成损失函数的组成部分。

## 面向间断问题的改进PINNs

针对固体力学间断问题求解中的核心挑战，现有的主流改进PINNs主要围绕在原几何域上构建能够表征间断计算空间的映射机制这一核心思想展开。其中，最具代表性的两种方法是域分解技术和基于有符号距离函数（SDF）的增强方法。从经典有限元的角度来看……

## 数值算例

本节研究了PENMN在裂纹结构中的性能，随后在下一节中分析PENMN用于裂纹扩展的情况。所有数值算例均在平面应变假设下建立。这两节中定义了三类误差指标：

(1) 物理量的绝对误差，主要用于云图中的误差可视化：
$$\text{AbsoluteError} = V_{\text{PENMN}} - V_{\text{NMM}}$$
其中V表示计算得到的物理量。

(2) 相对L2范数误差……

## 裂纹扩展数值算例

本节全面考察了PENMN在裂纹扩展问题中的性能。首先介绍断裂准则。为简化起见，本文中仅考虑单元级断裂：计算每个单元的最大主应力σ?，当满足最大拉应力准则时，认为整个单元发生断裂。

该方法消除了对裂纹尖端应力强度因子进行考虑和计算的需要。

**结论**

本文通过将数值流形方法（NMM）的双重覆盖系统与物理编码数值网络（PENN）的离散可微分求解架构深度融合，提出了一种物理编码数值流形网络（PENMN），能够实现连续力学问题与不连续力学问题的统一求解。该方法能够借助NMM自然实现位移场在不连续面上的不连续表示。

**作者贡献声明**

张克勤：撰写—原稿撰写、软件、方法论、概念构思。
吴伟：撰写—审阅与编辑、项目管理、资金获取、概念构思。
张重雷：撰写—原稿撰写、可视化、指导、方法论、概念构思。
曹善鹏：可视化、指导、资金获取、数据处理。
朱华华：撰写—审阅与编辑、项目管理、方法论、资金获取、概念构思。

张克勤 | 吴伟 | 张重雷 | 曹善鹏 | 朱华华