基于自适应相场方法的岩石热 - 机械疲劳断裂建模

《Engineering Fracture Mechanics》：Modeling thermo-mechanical fatigue fracture in rocks via an adaptive phase-field method

　　

本文在COMSOL中建立了岩石热-机械疲劳断裂的相场模型；提出了一种自适应策略以提高计算效率；研究了岩石界面和初始裂纹对岩石疲劳断裂行为的影响。

## 引言

随着对低碳能源系统日益增长的关注，压缩空气储能（CAES）已成为大规模、长时储能的关键技术[1]、[2]。在这类系统中，地下储库周围的岩石受到由反复注采操作引起的持续热-机械循环载荷作用[3]、[4]、[5]。这些加载条件促进了热驱动裂纹的萌生和渐进扩展，对储库的密封性和结构完整性构成严重威胁。此外，岩石固有的非均匀性使问题进一步复杂化，其中层理面作为优先薄弱界面，对裂纹萌生、偏转和贯连具有强烈的影响。尽管该问题具有重要的实际意义，但在现有文献中，对非均匀岩石在热-机械耦合加载下疲劳驱动裂纹演变的预测性理解仍然匮乏。特别是，在统一且计算高效的框架内捕捉循环损伤累积、热应力与界面控制裂纹扩展之间的相互作用，仍然是一个开放性挑战。弥补这一空白对于可靠地评估和设计地下储能洞室至关重要，这激发了开发先进数值方法的需求，以高保真度地解决热-机械耦合疲劳断裂过程。

目前，岩石热致疲劳断裂的研究主要依赖于两种技术途径：实验测试[6]、[7]和数值模拟。物理实验直接表征了岩石在热致疲劳下的力学响应和断裂行为，常见的表征方法包括单轴循环加载-卸载疲劳试验[8]、[9]、[10]、[11]，花岗岩半圆形弯折试件的循环加载断裂试验[12]、[13]、[14]，以及低循环疲劳试验[15]、[16]。然而，对于涉及多场耦合且跨越复杂时空尺度的岩石热致疲劳断裂，物理实验测试存在明显的局限性。它们不仅难以实施且成本高昂，而且无法准确捕捉裂纹演化的全过程。在这种情况下，数值模拟成为解决这些复杂问题的有效途径，能够重现损伤演化的全过程，从而成为实验研究的重要补充[17]。从数值模拟中裂纹几何特征表征的角度来看，现有方法可大致分为不连续方案和连续方案。不连续方法（如扩展有限元方法[18]）通过引入不连续位移场来描述裂纹面，但其模拟结果往往强烈依赖于预设的断裂准则，并且在模拟多条裂纹的相互作用时相当复杂。相比之下，连续方法通过引入光滑演化的损伤场来实现 smeared crack 表征，其中相场方法（PFM）[19]、[20]、[21]受到了广泛关注。Li等人[22]系统地综述了断裂与疲劳的相场模型，全面总结了该领域的基本理论、各种退化函数和数值实现方法。Kalina等人[23]提出了一种无偏的相场疲劳建模框架，能够在统一系统中比较和评估不同的疲劳相场模型。在该方法中，损伤通过引入一个额外的变量——相场变量来建模，其演化由相场演化方程追踪。自其问世以来，相场框架已方便地与多物理过程耦合，包括热-机械耦合[24]、[25]、疲劳损伤[26]、[27]和界面效应[28]、[29]，使其更适合模拟岩石等非均匀材料在复杂工况下的断裂行为。此外，该方法无需预定义裂纹扩展路径；裂纹萌生、扩展、分叉和贯连均可按照最小势能原理自动演化。

近期，PFM在模拟岩石疲劳裂纹扩展方面取得了显著进展。例如，通过集成蠕变本构关系和疲劳退化函数，建立了岩盐的相场模型，可以重现CAES地下储气库中岩盐在循环内压下的蠕变-疲劳交互作用损伤并预测其长期服役稳定性[30]。文献[31]采用相场正则化内聚力区模型来模拟裂纹扩展和损伤行为。Carrara等人[32]发展了脆性材料疲劳断裂的经典变分框架，引入了一个疲劳退化函数，该函数随着历史变量的累积而逐步降低断裂韧性。更近期地，Yang等人[33]在统一的韧性退化框架内对多种疲劳退化函数进行了系统比较和标定，涵盖了阈值控制型和累积能量型公式。据作者所知，纳入热效应的研究在文献中仍然相当匮乏。温度变化引起的热胀冷缩会在围岩约束下产生额外的热应力。热应力与地应力和内压载荷叠加，改变了地下洞室周围的应力分布[3]。因此，有必要建立一种适用于承受循环内压的地下洞室岩石的热-机械耦合疲劳断裂模型。

在PFM框架内，缺乏能量分解的传统公式无法区分拉力和压力响应[34]。使用总应变能驱动损伤演化可能导致纯压缩区域出现非物理的裂纹扩展。因此，引入能量分解对于确保物理合理性和数值稳健性至关重要。通过分离应变能，裂纹被限制仅在拉应力主导的区域萌生和扩展，为混合模式断裂建模提供了一致的依据。谱分解和体积-偏量分解是最广泛使用的两种方法[35]。然而，上述常用的能量分解方法仍存在某些局限性。本研究采用的PFM集成了谱分解和体积-偏量分解方案的优势[36]，并严格满足Miehe等人[37]在谱分解中建立的正能量-负能量分布。其次，PFM在热力学驱动的框架内与温度场耦合，从而为后续的多物理场分析提供了统一的依据。最后，作为本工作的核心贡献，所提出的相场模型与疲劳退化函数无缝集成，将其适用范围扩展到岩石热-机械耦合疲劳断裂的数值模拟。该公式有效地克服了传统PFM在模拟疲劳诱导断裂方面的局限性。本工作关注热-机械耦合疲劳断裂及层理面之间的相互作用。相应地，本公式中不考虑裂纹闭合、接触、流体填充和对流。

本文使用COMSOL实现数值框架，得益于其在构建复杂几何形状方面的高效性和便捷性。此外，通过在COMSOL中引入适当的模块，问题可以方便地扩展到多物理场耦合场景，这进一步凸显了该软件的优势[38]。目前，在COMSOL中实现的PFM已成功应用于多种多物理场断裂问题，包括水-机械耦合断裂[39]、氢致开裂[40]和钢筋混凝土的腐蚀诱导开裂[41]。本研究聚焦于COMSOL中岩石的热-机械耦合疲劳断裂，填补了现有研究空白。

计算效率低下仍然是限制PFM在实际大规模疲劳模拟中应用的关键瓶颈。为解决这一问题，本研究在COMSOL多物理场平台[44]中引入了自适应网格细化策略[42]、[43]。通过利用该软件强大的内置网格划分模块和局部细化技术，该算法显著降低了计算成本，尤其是对于三维模型[45]。局部重新划分由相场变量的用户定义阈值触发。在COMSOL中实现空间自适应性消除了用户开发复杂重新划分代码的需要，从而使没有专业编程技能的工程师和研究人员能够轻松地进行高精度疲劳断裂模拟，并准确捕捉复杂的裂纹扩展路径。

本工作旨在开发一个准确且稳健的数值框架，专门用于模拟岩石在热-机械耦合疲劳下的断裂。主要贡献总结如下：

- 开发了一种用于岩石疲劳断裂的热-机械耦合PFM，该模型能够捕捉循环加载引起的累积损伤，并合理地表征温度变化对岩石疲劳性能的影响。
- 阐明了岩石界面对疲劳断裂行为的主导控制作用，补充了层状岩石的断裂理论，并支持了层状岩石的疲劳失效分析。
- 表明初始缺陷的空间分布在循环加载下对裂纹贯连和偏转模式具有关键调控作用。
- 利用COMSOL多物理场环境实现复杂几何的高效构建和多物理场无缝耦合，为高保真模拟提供了稳健且易用的平台。
- 引入了自适应网格细化策略，以平衡疲劳模拟中的计算精度和效率。

本文后续章节的结构如下。第2节概述了岩石热-机械耦合疲劳断裂PFM的理论框架和控制方程。第3节描述了模型在COMSOL多物理场中的实现步骤。第4节展示了四个代表性数值算例，从多个角度评估模型的数值性能和适用性。最后，第5节包含主要结论并概述了未来研究的潜在方向。

### 理论公式

本节在改进的体积-偏量能量分解框架[36]内建立了热-机械耦合相场疲劳断裂模型的控制方程。采用疲劳退化函数来降低临界能量释放率，有效地捕捉材料中疲劳损伤的演化。为考虑层状岩石的非均匀特性，引入了界面相场公式来表示层理面。

### COMSOL中的模块配置

为解决岩石热-机械耦合疲劳断裂这一复杂多物理场问题，本研究建立了相应的数值模拟框架。在COMSOL平台上，依次引入了四个物理场模块，即固体力学（以下所有加粗黑体标注的项目均对应COMSOL中的节点名称、具体设置和选择）、固体传热、断裂相场和界面相场[55]，通过模块配置实现。

### 数值算例

本节展示了四个数值算例，以评估所开发的岩石在热-机械耦合条件下疲劳断裂框架的性能。第一个算例采用单边切口试件来评估相场模型在机械疲劳加载下的适用性，并作为验证算例。其余算例为数值演示算例。第二个算例考察了含有中心裂纹的层状岩石试件中的断裂轨迹。

### 结论

本研究提出了一种自适应相场模型，用于模拟热-机械耦合循环加载下非均匀岩石材料的疲劳断裂行为。基于改进的体积-偏量能量分解准则，该模型引入了疲劳退化函数来表征累积疲劳损伤，并推导了适用于温度场耦合的损伤演化方程。该模型采用连续相场变量来表征……

### CRediT作者贡献声明

赵倩倩：撰写——初稿、可视化、软件、方法论、调查研究、形式分析、数据整理。何嘉南：撰写——审阅与编辑、验证、方法论、调查研究、形式分析。Sundararajan Natarajan：撰写——审阅与编辑、验证、监督、调查研究。于天堂：撰写——审阅与编辑、验证、监督、资源、项目管理、方法论、概念化。

### AI使用声明

在准备本作品过程中，作者使用了DeepSeek以改善句子结构。在使用DeepSeek之后，作者对内容进行了审阅和编辑，并按需修改，对出版内容承担全部责任。

### 利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

### 致谢

本研究得到国家自然科学基金的资助（批准号：12672254）。

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