求解可压缩等熵欧拉方程的无网格配置方法

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：A meshfree collocation method for solving compressible isentropic Euler equations

　　

**摘要**

可压缩等熵Euler方程是一类非线性双曲守恒律方程组。本文提出了一种基于紧支撑径向基函数的无网格配置方法，用于求解以守恒变量及其导数形式直接表示的可压缩等熵Euler方程。该方法通过对径向基函数求导来近似空间导数，将方程转化为常微分方程组。时间离散采用经典显式Runge–Kutta方法进行。本文讨论了径向基无网格配置方法中周期边界条件的施加方式。数值算例验证了该方法在求解不同边界条件下等熵涡旋对流问题的有效性。该方法对所测试的平滑流问题展现出良好的数值精度，为使用径向基函数求解双曲方程组提供了一种可行途径。

**引言**

本文主要研究众所周知的可压缩等熵Euler方程，该方程描述绝热流体动力学过程。基于无粘性和无热传导的假设，该方程主要用于分析平滑流动中的流体行为，在气体动力学和工程领域应用广泛。可压缩等熵Euler方程可以写成如下守恒形式：

$$\frac{\partial U}{\partial t}+\frac{\partial f(U)}{\partial x}+\frac{\partial g(U)}{\partial y}=0 \quad \text{in} \ \Omega_T=\Omega\times[0,T],$$

其中 $U$ 为守恒状态向量，$f(U)$ 和 $g(U)$ 为无粘通量向量。这是一个非线性双曲方程组。对于一维严格双曲守恒律，在有界变差框架下熵弱解的存在性和唯一性已被严格建立（见文献[1]、[2]、[3]）。然而，将该理论框架推广到多维问题仍然是一个悬而未决的问题。文献[4]中的数值实验表明弱解的非唯一性，说明该方程组解的适定性问题仍未解决，有待进一步研究。因此，该问题数值解法的发展已成为学术界和工程界关注的焦点。

可压缩Euler方程允许非光滑解，如激波。即使初始条件光滑，其解也可能发展出间断。可压缩等熵Euler方程忽略了粘性效应和热传导效应，满足无粘流中的涡量守恒律，因此适用于涡旋扰动现象的数值模拟。等熵Euler涡旋问题由于其易于实施且有已知的解析解，常被用作基准来验证数值方法的精度（见文献[5]、[6]、[7]、[8]、[9]）。该问题对高阶数值方法具有重要价值，因为其理论上的高精度预期使得涡旋可以在长时间尺度上以最小的熵增进行传播。涡旋作为流体中的典型非线性流动结构，是能量输运、流动不稳定性和混合过程的关键载体。流体保持涡旋结构的完整性、强度和空间稳定性的能力称为涡旋保持能力，这是揭示流动本质特征和评估数值方法可靠性的重要准则。文献[10]中，Shu使用高阶本质无振荡（ENO）有限差分格式计算了二维和三维可压缩Euler方程在等熵条件下的涡旋问题。文献[11]的数值实验中，使用通量重构方法构建了高阶格式来计算涡旋问题。文献[12]和[13]中，通过应用通量分裂技术计算了低马赫数等熵Euler方程。然而，这些方法仍然依赖于网格划分。近年来，无网格方法越来越受到关注。本文尝试使用径向基函数（RBFs）无网格方法求解可压缩等熵Euler方程，以避免网格生成的困难和复杂计算域的处理问题。

文献[14]首次提出了使用整体径向基函数对散乱数据上各种二维函数的插值和偏导数估计，展示了优秀的近似性能。文献[15]为径向基函数配置方法求解偏微分方程提供了理论基础。文献[16]、[17]引入了基于整体径向基函数导数的无网格线方法，通过空间导数近似求解KdV方程和Kuramoto–Sivashinsky方程。然而，整体径向基函数配置方法会产生全稠密离散化矩阵，随着配置点数量增加，计算效率显著下降。与整体径向基函数相比，紧支撑径向基函数（CSRBFs）（见文献[18]）的插值矩阵是稀疏的，从而缓解了插值矩阵条件数过大导致的不适定性问题。近年来，利用CSRBFs的无网格配置方法已成功应用于计算流体力学中的各种基本方程，在一系列测试算例中表现出良好的数值性能。文献[19]中使用紧支撑径向基无网格配置方法求解了分数阶N-S方程。文献[20]中通过结合CSRBFs与多尺度无网格方法计算了不可压缩N-S方程。文献[21]中使用CSRBFs求解了可压缩N-S方程。这两篇文章均采用前向Euler公式进行时间半离散，以全隐式格式实现高精度，但时间步长不能太大，导致计算成本较高。在提高精度的同时，也有必要降低计算成本。

本文基于Runge–Kutta时间离散格式，使用紧支撑径向基函数无网格配置方法求解可压缩等熵Euler方程，重点关注存在涡旋扰动情况下的数值解。通过模拟不同边界条件下的涡旋对流问题验证了方法的有效性。需要指出的是，本文工作聚焦于平滑流动问题，所有数值测试均不涉及激波或间断。本文结构如下：第1节为引言；第2节介绍方法的空间离散化和时间推进；第3节展示五个数值算例的结果与分析；第4节总结全文并得出结论。

**可压缩等熵Euler方程的无网格配置方法**

对于可压缩等熵Euler方程（公式(1)）的二维情形，守恒状态向量 $U$ 及无粘通量向量 $f(U)$ 和 $g(U)$ 分别为：

$$U=\begin{pmatrix}\rho\\\rho u\\\rho v\end{pmatrix}, \quad f(U)=\begin{pmatrix}\rho u\\\rho u^2+p\\\rho uv\end{pmatrix}, \quad g(U)=\begin{pmatrix}\rho v\\\rho uv\\\rho v^2+p\end{pmatrix},$$

其中未知变量 $\rho$、$(\rho u, \rho v)$ 分别表示质量密度和动量向量。压力可以表示为：

$$p(\rho)=K\rho^\gamma, \quad K>0, \ \gamma>1, \ \rho>0.$$

$(u,v)$ 为速度向量。为简化记号，令 $\rho u = m_1$，$\rho v = m_2$。通过计算各通量项关于各变量的偏导数……

**数值算例**

本节通过五个不同的数值算例验证所提方法的有效性。我们考虑方程具有光滑解的情形，即此处不考虑激波的生成。我们采用等熵涡旋解来数值验证所提方法，并通过计算RMS和 $L^\infty$ 误差来定量评估其计算精度。两种误差定义如下。

一组评估点 $\chi_k$ $(k=$……

**结论**

本文提出了一种基于CSRBFs的无网格配置方法，用于求解可压缩等熵Euler方程的涡旋对流问题。该方法主要通过CSRBFs插值计算计算域内各配置点处物理量的空间导数，将可压缩等熵Euler方程转化为一组常微分方程。时间推进采用经典四阶显式Runge–Kutta方法。

**CRediT作者贡献声明**

Yan Wang：方法论、概念化。Zhiyong Liu：写作——初稿、监督、方法论、调查、概念化。Qiuyan Xu：软件、方法论、调查。Jiye Yang：监督、软件、资源。

**利益冲突声明**

作者声明不存在已知的可能影响本文工作的竞争性经济利益或个人关系。

Yan Wang | Zhiyong Liu | Qiuyan Xu | Jiye Yang