一种用于非光滑域中非齐次双调和方程的边界元方法

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：A boundary element method for non-homogeneous biharmonic equations in non-smooth domains

　　• Nystr?m方法在分段光滑轮廓上对Sherman–Lauricella方程的稳定性。
• 使用齐次双调和问题来近似解决非齐次双调和问题。
• 具有角点的域中双调和问题近似解的收敛性。

引言
设 ?????2 是一个具有分段光滑边界 ?? 的单连通域，??=(??,??)∈??2，???? 和 ???? 分别是关于 ?? 和 ?? 的偏导数，??=?????+????? 是拉普拉斯算子，?? 是边界 ?? 的外向单位法向量，???? 是相应的法向导数。边界值问题 ??2??(??)=??(??),??∈??,??+(??)=??(??),??∈??,(??????)+(??)=?(??),??∈??，其中 ??+(??) 表示函数 ??:??→?? 在边界 ?? 上的迹，在物理学、数学和工程学的各个领域都有应用，包括弹性理论、流体动力学、图像处理等。在弹性理论中，这类问题用于描述薄弹性板的变形、应力场以及各种结构和材料中的裂纹传播 [1], [2], [3]。在流体动力学中，它们用于模拟低雷诺数下的流体流动、生物体的运动以及无粘性液滴的变形 [4], [5]。在图像处理中，双调和方程与图像平滑、修复、计算机图形学和可视化相关。这类问题的解析解只能在特殊情况下获得。因此，数值方法被广泛使用，有多种方法可以找到近似解，包括有限差分法、有限元法和边界元法。其中一些方法（例如有限差分法和有限元法）更适合解决多边形域中的双调和问题 [6], [7]，但如果边界包含弯曲弧线，则效率较低。这类域通常被称为不规则或复杂域，上述方法的实现会遇到与网格构建、有限元空间和边界条件扩展到辅助边界相关的各种困难 — 参见 [7], [8], [9], [10], [11]。后者的过程取决于边界条件的光滑性，并可能显著影响方法的准确性。此外，对于大多数这类方法，证明其稳定性需要对域的凸性有特定要求。相比之下，边界元法可以成功处理不规则域。实际上，任何具有复杂几何形状的域都可以成功处理。此外，对于光滑边界，边界积分方程中的积分算子是紧凑的。因此，对于具有光滑边界的域，大多数流行的数值方法不需要任何特殊的稳定性条件。如果与相应边界积分方程相关的算子是可逆的，所使用的数值方法通常是稳定的，其收敛性仅取决于数据的光滑性 — 参见 [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19]。请注意，这些方法主要用于齐次双调和问题，即形式为 ??2??(??)=0,??∈??,??+(??)=??(??),??∈??,(??????)+(??)=?(??),??∈?? 的问题。然而，如果域的边界有角点，数值方法的稳定性还取决于角点开口角度的大小。研究表明，对于某些数值方法，存在所谓的临界角度，如果边界至少包含一个这样的角点，相应的方法就不稳定，且边界的具体形状无关紧要。同时，关于非光滑域中双调和问题的边界元方法的研究较少。特别是基于Sherman–Lauricella方程的Nystr?m方法 [20] 和基于Muskhelishvili方程的样条Galerkin方法 [21] 已被用来获得齐次问题 (2) 的近似解。此外，论文 [20] 仅考虑了与所研究的双调和问题相关的近似速度和涡度场，而 [21] 描述了基于Muskhelishvili方程的计算方案，但没有提供任何数值结果。基于Sherman–Lauricella方程的样条Galerkin方法也用于解决分段光滑域中的非齐次双调和问题 [22]。这些方法总是稳定的 [23]，它们适用于具有复杂几何形状的域，并且足够准确，但由于计算大量内积，实现过程中计算时间较长。另一方面，许多数值实验表明，配置型方法本质上更快。因此，在这里我们使用Nystr?m方法解决Sherman–Lauricella方程，并利用相应结果来寻找齐次和非齐次双调和问题的近似解。在 [24], [25] 中推导出了这些方法在简单分段光滑轮廓上对于Sherman–Lauricella和Muskhelishvili方程稳定性的必要和充分条件。在 [26] 中发现了不稳定性角度，数值实验表明，对于不同方法的参数，Nystr?m方法的临界角度不同，但这些角度的集合很小 — 即在区间 [0.1??,1.99??] 内只有八个这样的角度。因此，基于Sherman–Lauricella的Nystr?m方法可以应用于几乎任何分段光滑域中的双调和问题。我们还注意到，上述论文没有考虑非齐次问题 (1) 的任何近似解。据作者所知，也没有将这种方法应用于分段光滑域中的非齐次问题 (1) 的研究。在这项工作中，我们将问题 (1) 视为齐次双调和问题来解决相关的Sherman–Lauricella方程，并使用相应的数值解以及Goursat表示来确定域 ?? 中问题 (1) 的近似解。此外，我们还提供了恢复解的误差的理论估计，并通过数值示例展示了该方法的效率。值得一提的是，引言中提到的数学和工程问题还有其他解决方法。例如，在 [27], [28], [29], [30] 中讨论了在具有复杂几何形状的2D和3D域中各种弹性问题的近似解。然而，这些工作基于不同的方程，与本研究没有直接关系。

本文的结构如下。第2节讨论了在具有分段光滑边界的域中解决具有非齐次边界条件的齐次双调和问题。我们提供了必要的定义，描述了求解Sherman–Lauricella方程的数值方法及其稳定性条件。第3节讨论了将非齐次双调和问题简化为第2节中考虑的问题，并在构建原始非齐次问题的解时使用辅助齐次问题的解。第4节展示了在具有角点且包含弯曲弧线的非凸域中问题的数值实验结果。

**齐次问题 (2) 的解**
确定点 (??,??)∈??2 和 ??=??+????∈??，并使用相同的符号表示 ??2 和 ?? 的相关子集，我们考虑以下边界值问题：??(??)+?????????????????????′(??)+?????????????(??)=??0(??),??∈??，其中 ??(??) 和 ??(??) 是在域 ?? 中解析的函数。这里及以下内容中的横线表示复共轭运算。众所周知，问题 (3) 与齐次双调和问题 (2) 密切相关。更准确地说，设 ??“(??)=(cos??(??),sin??(??))?,??∈??” 是外向法向量。

**非齐次问题 (1) 的近似解**
可以看出，双调和问题 (1) 的解 ?? 可以表示为 ??(??)=??(??)+??(??),??∈??，其中 ??(??) 是问题 (2) 的解，??(??) 是双调和问题 ??2??(??)=??(??),??∈??,??+(??)=0,??∈??,(??????)+(??)=0,??∈?? 的解。上一节已经讨论了使用Nystr?m方法解决问题 (2) 的方法。至于问题 (21)，我们首先观察到非齐次双调和方程 (21a) 有解 ??0(??)=18??∫??|?????|2log|?????|?。

**数值示例**
我们考虑在两种类型的分段光滑非凸域中具有相同解 ??(??,??)=cos(??2)?cos(??2) 的双调和问题 (1)。在示例1中，边界 ??1 的所有光滑子弧都是曲线，而示例2中的域 ??2 的边界同时包含直线段和曲线弧。在任何域 ?????2 中，函数 (30) 满足双调和方程 ??2??(??,??)=??(??,??)，其中右侧为 ??(??,??)=4(4????3)cos(??2)?4(4????3)cos(??2)+48(??2sin(??2)???2sin(??2))。

**作者贡献声明**
Anh My Vu：写作 – 审稿与编辑、软件、调查、形式分析。Viktor D. Didenko：写作 – 审稿与编辑、方法论、调查、形式分析、概念化。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有任何已知的财务利益或个人关系可能会影响本文中报告的工作。

**致谢**
作者感谢匿名审稿人的宝贵意见和建议。第一作者还要感谢北京师范大学-香港浸会大学在其访问期间的支持和款待。

**资金支持**
本研究部分得到了中国国家自然科学基金（项目编号11731006, K20911001）和广东省数据科学与应用跨学科研究重点实验室（BNBU项目编号2022B1212010006）的资助。