基于神经网络、主动学习和NSGA-II的低温离心压缩机多目标性能优化与数值仿真

《International Journal of Refrigeration》：Multi-objective performance optimization and numerical simulation of a cryogenic centrifugal compressor using neural network, active learning, and NSGA-II

　　

• 一个融合神经网络、主动学习和NSGA-II的CFD框架。
• 经过22轮主动学习迭代，CFD验证的超体积提升了10.45%。
• 质量流量从3.63 g/s增加到4.26 g/s，压比从3.49提高到3.82。
• 性能图范围达到3.48–4.76 g/s，同时保留了高效区域。

1. 引言
低温离心压缩机用于大规模氦液化和制冷系统。通过抽空前游容器并对下游气体进行压缩，它们使系统能够在低于大气压的条件下运行（Sam等，2023年）。此类压缩机已应用于托马克超导装置、Tevatron、LHC和CEBAF等设施（Dutta等，2013年）。近期研究考察了离心压缩机在亚大气压下的性能（Howard等，2025年）。本研究考虑了更低入口压力的情况，此时叶轮设计需要精确的低温氦气输送物性和非设计工况流量预测。

叶轮优化方法已从经验调谐转向数值模拟和代理辅助搜索。Kim等（2010a）使用径向基函数网络（RBFN）和非支配排序遗传算法II（NSGA-II）优化了描述离心压缩机叶轮轮盘和轮盖子午线轮廓的四个变量。代表性帕累托前沿设计在验证工况中优于参考叶轮。同一研究组还使用响应面方法（RSM）优化了子午线和叶角控制点。RSM相比遗传算法（GA）降低了计算成本，但其预测精度较低（Kim等，2010b）。

Chu等（2014年）将人工神经网络（ANN）与改进的机理模型相结合，以提高小样本量下的预测精度。机理模型描述了已知的物理过程，而ANN则对难以显式表达的部分进行修正。

Jiang等（2019年）提出了一种基于损失分析的回归模型，将曲线拟合与离心压缩机的热力学和内部损失分析相结合。对于小数据集，该模型比神经网络和克里金模型能更准确地预测压缩机性能。Ekradi和Madadi（2020年）通过定义主叶和分流叶流道的28个控制变量，训练三个独立的神经网络，并将训练好的模型与GA耦合，优化了跨音速离心压缩机叶轮。

Li等（b）将自组织映射（SOM）、自回归喘振检测和NSGA-II结合，提出了一种用于高压比叶轮的多点多目标优化方法。

在几开尔文的温度下，氦气的粘度和热导率随温度显著变化。因此，计算采用了低温物性关联式，而非恒定物性或外推的常温关联式（Huang等，2012a；Huang等，2012b）。在本研究中，使用神经网络代理模型与NSGA-II耦合，对一个帕斯卡级低温离心压缩机叶轮进行了设计和优化。采用13个几何变量来描述叶轮。由于径向基网络对维度灾难的敏感度高于多层感知器（MLP）（Carse和Fogarty，2005年），采用了MLP代理模型。主动学习用于在优化过程中添加信息量大的CFD样本（Settles，2009年）。

2. 基准模型与数值验证
2.1 基准构型
初始帕斯卡级低温离心压缩机叶轮如图1所示，基本设计参数列于表1中（赵张昊，2026年）。其几何形状和子午线轮廓与传统低温离心压缩机叶轮不同（Guy M. Gistau等，1990年），因此需要对主要几何参数进行优化。

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图1. 离心压缩机叶轮初始模型

表1. 压缩机叶轮基本设计参数

| 参数 | 数值 |
|------|------|
| m˙des | 3.60 g/s |
| nBl | 10 |
| pin | 5 Pa |
| Tin | 5 K |
| N | 10000 rpm |
| 工作流体 | 氦气 |
| D2 | 500 mm |
| DH | 50 mm |

2.2 数值分析
2.2.1 计算域与基准设置

周向周期性使得计算域可以缩减至一个叶轮流道。三维RANS方程在旋转坐标系中求解。采用SST k–ω模型作为全湍流参考湍流封闭模型，因为它能分辨近壁面流动且对来流条件不敏感。先前的与离心压缩机实验的对比也发现该模型在一系列工况下具有足够的准确性和鲁棒性（Balasubramanian等，2008年；Gibson等，2017年）。

热力学和输运物性通过He3Pak获取，并以温度和压力的函数形式列表（Huang等，2006年；Huang等，2012a；Huang等，2012b）。这些表格在局部热力学状态下向CFD求解器提供密度、焓、比热容、声速、粘度和热导率。在所考虑的低压力下，压缩因子偏离1的程度不大。这些表格主要用于建模低温物性的温度依赖性。

入口静压和静温分别设为5 Pa和5 K。出口采用ANSYS CFX中的平均静压条件，通过改变pout来定义工况点。周向界面处施加周期性条件。固体壁面设为无滑移且绝热，除非另有说明。

性能、网格敏感性和湍流模型分析中使用的所有入口和出口量均为对应截面上的质量流量加权平均值。由质量流量加权平均静压计算的静压比用于识别工况。总压比和等熵效率由质量流量加权平均总压状态计算。采用总压量是因为计算域在叶轮出口处终止且不包含扩压器，因此叶轮出口处的动能未被回收。

2.2.2 网格无关性验证

叶轮流道在ANSYS TurboGrid中使用结构化网格离散化，并在叶片、轮盘、轮盖和叶尖间隙（BTC）表面附近加密。在设计工况点测试了0.10至1.00百万节点之间的七个目标尺寸。实际网格包含0.253至1.039百万节点。各工况的物理模型、边界条件、数值格式和收敛控制保持不变。图2展示了网格拓扑结构。

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图2. 离心压缩机叶轮流道的计算网格

表2和图3总结了网格分辨率和敏感性检查。近壁面分辨率由第一层高度y1、壁面法向层数NBL和面积加权叶片表面y?描述。叶尖间隙分辨率由第一个间距h_tip和层数N_tip给出。表中的误差为相对于1.00百万目标工况的绝对相对偏差。涡卷体积敏感性通过Q > Qi（Jeong和Hussain，1995年）在Qi = 1×10?、2×10?和4×10? s?1下评估；εV_Q,max表示这些阈值下的最大误差。质量加权平均熵升作为损失度量。

表2. 网格无关性汇总

| 网格目标/百万（实际） | y1/NBL (mm/–) | h_tip/N_tip (mm/–) | y?_叶片 | ε_η /% | ε_pout /% | ε_m˙ /% | ε_Pshaft /% | ε_Δs /% | εV_Q,max /% |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.10 (0.253) | 0.100/12 | 0.060/6 | 0.330 | 1.320 | 0.049 | 1.068 | 0.303 | 4.594 | 29.947 |
| 0.25 (0.401) | 0.075/16 | 0.045/8 | 0.250 | 0.895 | 0.008 | 0.356 | 1.256 | 3.440 | 13.909 |
| 0.50 (0.590) | 0.050/20 | 0.030/10 | 0.168 | 0.589 | 0.005 | 0.133 | 0.954 | 2.345 | 7.949 |
| 0.75 (0.776) | 0.040/24 | 0.024/12 | 0.135 | 0.372 | 0.006 | 0.011 | 0.655 | 1.429 | 1.238 |
| 0.80 (0.832) | 0.038/25 | 0.023/13 | 0.129 | 0.032 | 0.003 | 0.006 | 0.089 | 0.152 | 0.855 |
| 0.90 (0.907) | 0.034/27 | 0.020/13 | 0.115 | 0.014 | 0.002 | 0.002 | 0.075 | 0.136 | 0.753 |
| 1.00 (1.039) | 0.030/28 | 0.018/14 | 0.102 | – | – | – | – | – | – |

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图3. 网格无关性验证

对于所有七个网格，最终均方根连续性残差不大于2.9×10??，入口-出口质量流量不平衡低于0.0027%。在最后100次迭代中，叶轮扭矩和轴功率的相对变化范围均低于0.15%。随着网格加密，叶片面积平均y?从0.330降至0.102，且每个工况下的最大值均保持在1.30以下。在选定的0.80百万目标网格上，叶片平均值和最大值分别为0.129和0.677。

相对于1.00百万目标网格，0.80百万工况在总压等熵效率上偏差0.032%，出口压力上偏差0.003%，质量流量上偏差0.006%，轴功率上偏差0.089%，熵升上偏差0.152%。其最大固定阈值涡卷体积偏差为0.855%。这是所有报告误差均低于1%的最粗网格，因此用于后续的性能和优化计算。

2.2.3 连续介质适用性与气-壁非平衡处理

使用局部克努森数评估连续介质假设，

(1) Kn = λ/L_c

主流道中使用水力直径作为L_c，叶尖间隙区域使用间隙高度。如表3所示，主流道中Kn为10??量级，叶尖间隙中达到0.0704。主流道流动处于连续介质区域，但气-壁非平衡可能影响间隙流动。对于Kn < 0.1，如果施加速度滑移和温度跳跃边界条件，Navier-Stokes方程仍可作为工程近似使用（Ali Beskok，1999年）。

表3. 叶轮流道中的代表性格努森数

| 区域 | L_c/m | T/K | p/Pa | λ/m | Kn |
|------|------|-----|------|-----|-----|
| 入口 | 9.33×10?2 | 5 | 5 | 7.04×10?? | 7.55×10?? |
| 出口 | 7.52×10?2 | 81 | 15 | 1.2×10?? | 6.81×10?? |
| BTC | 1.00×10?3 | 5 | 5 | 7.04×10?? | 7.04×10?2 |

因此，保留连续介质RANS框架，仅在叶尖间隙壁面施加气-壁修正。动量滑移通过带有麦克斯韦热爬行项的Beskok-Karniadakis模型描述（Gad-el-Hak，1999年；Maxwell，1879年）：

(2) u_slip = (2-σ_v)/σ_v × λ/(1-b·Kn) × ?u/?n + C_tc × μ/ρT × ?T/??

采用经典的麦克斯韦值C_tc = 3/4。在ANSYS CFX中，该关系以等效壁面剪切形式实现，允许气体与壁面之间存在有限的切向速度。

热非平衡由以下壁面条件表示（von Smoluchowski，1898年）：

(3) T_{g,w} - T_w = (2-σ_T)/σ_T × 2/(γ+1) × λ/Pr × ?T/?n|_w

该条件以等效界面热阻的形式实现。其他壁面保留传统的无滑移和绝热条件。这些壁面处理是滑移流区域的工程近似，其准确性取决于适应系数、表面状态、低温物性和克努森层效应。定量验证需要专门的低温实验或动力学模拟。

2.2.4 湍流/转捩模型敏感性

克努森数涉及连续介质假设，但并不能说明边界层是否完全湍流。因此在选择湍流封闭模型之前进行了雷诺数评估。基于站点的雷诺数定义为

(4) Re_L = ρU_ref L_c / μ

其中ρ和μ分别为氦气物性表中给出的当地密度和动力粘度，U_ref为质量流量加权平均相对速度，L_c为当地水力直径。由于速度和流体物性在叶轮中发生变化，雷诺数在入口和出口处均进行了评估。

入口和出口雷诺数分别为3552.2和4996.7。在这些值下无法假设边界层完全湍流，因此考察了对转捩建模的敏感性。ANSYS CFX提供了两种可以耦合SST的相关式转捩模型（Ansys, Inc., 2025a；Ansys, Inc., 2025b）。两方程Gamma-Theta模型输运间歇性和转捩起始雷诺数。一方程间歇性模型是伽利略不变的，并考虑了横向流动转捩，这对于旋转机械和相对运动的表面是相关的。

在设计工况点评估了三种处理方法：全湍流SST、带有Gamma-Theta转捩的SST，以及带有间歇性转捩的SST。三种工况的网格、氦气物性表、边界条件、壁面修正、数值格式和收敛控制完全相同。表4比较了所得的等熵效率、出口熵升和单流道出口质量流量。

表4. 预测叶轮性能对湍流和转捩处理的敏感性

| 湍流/转捩处理 | η_is /% | ε_η /% | Δs_out /Jkg?1K?1 | ε_Δs /% | |m˙_{out,pass}| /gs?1 | ε_m˙ /% |
|---|---|---|---|---|---|---|
| SST k–ω（全湍流） | 78.749 | – | 775.121 | – | 0.3690 | – |
| SST + Gamma-Theta转捩 | 79.114 | 0.463 | 763.430 | 1.508 | 0.3687 | 0.080 |
| SST + 间歇性转捩 | 79.270 | 0.662 | 760.699 | 1.861 | 0.3686 | 0.126 |

与全湍流SST相比，Gamma-Theta使效率提高了0.365%，出口熵升降低了1.51%，流道质量流量变化了0.080%。使用间歇性模型，这些变化分别为0.52%、1.86%和0.126%。两种转捩模型在效率上相差约0.16个百分点，熵升相差0.36%，质量流量相差0.046%。这些差异表明转捩处理对该工况点预测的积分性能影响很小。保留全湍流SST作为优化数据集的参考模型，转捩模型结果用于估计模型形式敏感性。

随后对原始叶轮在9000至11000 rpm范围内、不同出口压力下进行评估，获得了图4所示的稳态单流道CFD性能图。在每个转速下，收敛的静压比最高的点用于定义计算性能图的估计极限边界（Yoon，2011年）。单个转速线直接连接CFD工况点，拟合到五个极限点的二次多项式表示该边界（R2=0.988）。这是基于稳态单流道CFD收敛的性能图估计，而非动态解析或实验测量的喘振线。采样的转速线覆盖约2.7–3.82 g/s，高效区域位于每条线的高压侧。绘图前排除了五条错误的9000 rpm记录：不连续的p_out=12和13.75 Pa记录，以及三条质量流量和静压比对与10500 rpm结果重复的记录。所有排除操作和边界拟合诊断均保留在存档的审计表中。这些结果构成了与优化后叶轮进行比较的基准。

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图4. 初始叶轮的稳态单流道CFD性能图

3. 优化
3.1 优化框架

为了在不进行大量CFD计算的情况下提高叶轮性能，采用了一种基于CFD的多目标优化工作流程。

设计变量包括13个几何参数：进口和轮毂直径、轮毂和轮箍侧的进口和出口叶片角、出口宽度、轴向长度、叶片厚度、叶顶间隙、叶片数量和尾缘后掠角。最终选定的几何构型通过性能特性图计算进行评估，并在相同的进口条件和转速调度下与初始叶轮进行了对比。该优化问题被表述为归一化设计空间中的约束多目标搜索：(5) max F(x) = [ηis(x), πtt(x)], xL ≤ x ≤ xU, g(x) = 1。约束条件 g(x) = 1 要求几何生成、网格划分和CFD收敛均成功。优化目标是在保持压比和数值可行性的同时提高气动效率。

拉丁超立方抽样（LHS）(McKay等, 1979) 用于在13个变量的规定范围内生成270个初始设计。最小可接受质量流量为 m˙min = 3.60 g/s。当 m˙ < m˙min 时，收敛的CFD样本被标记为"低于目标"；其他收敛样本被标记为"质量流量合规"。该标记仅指示是否满足质量流量要求，不指示气动稳定性或CFD堵塞情况。低于目标的算例被保留，以在优化数据库中代表较低流量能力边界。

3.1.1 代理模型与主动学习工作流

随后采用主动学习来限制额外的CFD计算数量。一个神经网络代理模型预测叶轮效率、总压比和质量流量，并对提交给CFD的候选几何构型进行排序。低于目标的样本被赋予更高的训练权重，以使回归不被已经满足质量流量要求的设计所主导。

代理模型用于评估搜索过程中生成的庞大候选群体，而非替代CFD。在每次主动学习迭代中，MLP使用所有可用的CFD样本重新训练，并预测归一化设计空间中候选体的三个性能量。

表5列出了代理模型的配置。模型将13个几何变量作为原始输入。等熵效率和总压比是优化目标，质量流量用于检查流量能力要求。推理过程中Dropout保持激活状态，以便重复预测可用于估计EHVI抽样的不确定性。

表5. 主动学习工作流中代理模型的配置与作用。

| 项目 | 描述 |
|------|------|
| 模型类型 | 多层感知器（MLP） |
| 数据来源 | 累积CFD数据库 |
| 网络架构 | 17-128-64-32-3 |
| 激活函数 | ReLU |
| Dropout率 | 0.12, 0.12, 0.08 |
| 优化器 | Adam |
| 学习率 | 0.0015 |

代理模型为NSGA-II提供目标值以及EHVI使用的预测分布。选定的候选体随后通过CFD进行评估，新结果被添加到训练数据库中。因此，MLP负责候选体排序，而CFD决定哪些方案被保留。不确定性抽样、距离准则和在线CFD误差监测被保留下来，因为候选体选择仍然依赖于局部预测质量。最终的Pareto前沿、选定的叶轮以及稳态单通道性能特性图对比均使用CFD结果。

候选体筛选还使用了两个分类器。一个随机森林可行性分类器（Breiman, 2001）估计几何生成和CFD评估是否可能成功。另一个质量流量分类器使用收敛样本来估计候选体是否满足3.60 g/s的要求。两个概率值均为筛选量，而非最终CFD结果。

LHS和随机抽样提供了初始设计空间覆盖，但对于高维叶轮代理模型可能不够充分（Garai等, 2025）。如果样本未能解析性能极限和可行性边界附近的非线性响应，预测精度仍然较低（Mang等, 2025）。

在每次主动学习迭代中，代理模型在新CFD结果添加后重新训练。候选体选择同时考虑了预测的气动性能和预测不确定性。Monte Carlo dropout（Gal和Ghahramani, 2016）通过相同的网络进行重复随机前向传递来估计该不确定性：(6) ?(x) = (1/NMC) Σr=1^NMC fr(x), σ2(x) = (1/(NMC-1)) Σr=1^NMC [fr(x) - ?(x)]2。在所有NMC次前向传递中Dropout保持启用状态。

一个单独的随机森林分类器用于根据估计的CFD堵塞风险对优化候选体进行排序。此处的CFD堵塞是指CFD评估被采用的持续堵塞准则所终止，而非意味着已通过实验验证气动阻塞。CFD堵塞分类器使用12个连续几何变量和类别型叶片数量。预测的堵塞概率作为连续的候选体筛选分数使用，而非确定性的CFD可行性判定。

NSGA-II（Deb等, 2002）在代理模型上运行，以在几何和可行性约束下识别效率与总压比之间的权衡。其基于种群的搜索返回一组非支配设计而非单一解。

期望超体积改善（EHVI）（Emmerich等, 2011）用于选择新的CFD样本。它结合了代理模型预测及其MC-dropout不确定性，并倾向于期望能扩展当前高性能区域的候选体：(7) α_EHVI(x) = E[max(HV(P∪{?(x)}) - HV(P), 0)]。样本 ?(x) 从MC-dropout预测分布中抽取。当候选体的预测性能能够扩展当前CFD验证的Pareto前沿，或当预测不确定性使得此类改善成为可能时，该候选体获得较高的EHVI值。此准则将大部分新评估引导向权衡区域，同时在不确定性区域保留了一些抽样。

归一化设计空间中的最小距离准则防止选定候选体聚集。

图5显示了完整的循环过程。代理模型和分类器基于当前CFD数据库训练，NSGA-II生成候选Pareto解，EHVI与距离准则共同选择下一个CFD算例。它们的CFD结果随后被添加到数据库中用于下一轮迭代。

图5. 优化流程图。

穷尽抽样所需评估次数随设计变量数量的增加而迅速增长（Borisut和Nuchitprasittichai, 2023）。因此，穷尽抽样对于本13变量问题是不可行的。代理模型引导搜索过程，但结论基于数据库中的CFD结果。

3.1.2 代理模型验证

初始数据库被划分为231个训练案例和39个固定测试案例。在主动学习过程中，测试案例不被添加到训练池中。在第22次迭代时，使用了可用的282个训练案例。表6报告了282案例模型的固定测试和五折交叉验证指标。效率误差以百分点表示。图6对比了代理模型预测值与固定测试CFD值。

表6. 最终代理模型验证指标。

| | | 固定测试集 | | | 五折交叉验证 | | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 输出 | 误差单位 | RMSE | MAE | R2 | RMSE | MAE | R2 |
| 等熵效率 | 百分点 | 0.833 | 0.717 | 0.916 | 0.930 ± 0.216 | 0.689 ± 0.156 | 0.874 ± 0.05 |
| 总压比 | — | 0.044 | 0.030 | 0.927 | 0.039 ± 0.003 | 0.030 ± 0.002 | 0.974 ± 0.004 |
| 质量流量 | g/s | 0.083 | 0.067 | 0.953 | 0.078 ± 0.007 | 0.057 ± 0.003 | 0.971 ± 0.016 |

图6. 最终代理模型预测值与固定CFD测试集对比。

最终MLP模型在独立固定测试集上表现出持续较高的预测精度，三个输出的R2值均超过0.91。五折交叉验证提供了模型鲁棒性的补充评估，并显示出在训练池内一般一致的预测性能。等熵效率观察到的较大折间变异表明该响应量对训练和验证子集的组成较为敏感。独立固定测试与交叉验证结果之间的一致性支持了代理模型的泛化能力。

3.2 Sobol分析

代理模型使用累积CFD数据库训练后，采用Sobol灵敏度分析来量化每个设计变量对预测等熵效率方差的贡献。在基于方差的全球灵敏度分析中，一阶Sobol指数衡量单个变量的直接影响，而总效应指数还包括与其他变量的交互效应（Saltelli等, 2010; Sobol', 2001）。这些指数表示为(8) Si = VarXi[E(Y|Xi)] / Var(Y)，以及(9) STi = 1 - VarX?i[E(Y|X?i)] / Var(Y)。此处，Y = ηis。

图7对比了主动学习前初始十叶片配置的等熵效率灵敏度与主动学习后选定九叶片配置的等熵效率灵敏度。在主动学习前，最大的总效应指数对应于轮毂侧出口叶片角β2hb，其次是β2sb、D1s和b2。在最终九叶片配置中，β2sb变为主导，其次是尾缘后掠角γte,s、β1sb和D1s。总效应与一阶指数之间的差距表明交互效应在两种配置中仍然相关。由于对比改变了代理模型训练状态和叶片数量，该比较被解释为基线配置与选定配置之间的定性比较，而非主动学习本身效果的因果度量。

图7. 等熵效率的Sobol灵敏度指数。

3.3 优化结果

3.3.1 Pareto前沿演化

优化前沿在图8中进行了对比。两种工作流均从相同的231案例CFD训练库初始化。仅使用代理模型的NSGA-II计算产生了6个预测的非支配解，而主动学习工作流经过迭代样本扩充后产生了11个CFD验证的非支配解。效率-质量流量投影显示，主动学习和CFD反馈将解向更高质量流量方向推移，同时保持了可比的最高效率范围。图中绘制的点对应使用效率和总压比构建的原始Pareto集，尽管压比在此投影中未显示。用于后续几何和稳态单通道特性图对比的设计在图中进行了标注。

图8. 仅LHS与主动学习结果的对比。

主动学习阶段的超体积历史在图9中展示。从第1次迭代到第22次迭代，CFD验证的超体积相对增加了10.45%。代理模型超体积波动较大，因为它由预测模型计算得到，并对模型重新训练和不确定性做出响应。因此，优化讨论基于CFD验证的超体积和Pareto前沿。

图9. 主动学习期间的超体积历史。

3.3.2 代表性设计与特性图对比

获得Pareto前沿后，使用基于偏好的综合排名分数对非支配解进行排序并选择代表性叶轮设计。该分数仅在后期处理中使用；未用于构建Pareto前沿，也未改变解之间的支配关系。

该分数综合了效率、质量流量能力、拐点位置、预测几何可行性、在指定压比区间内的位置、在抽样设计空间内的数据支持程度以及局部输出波动的归一化指标。固定权重编码了本研究采用的决策偏好，效率和质量流量能力被赋予最大的正权重。

各组成指标使用的参考值和界限继承自指定的NSGA-II域和设计要求。它们作为评分阈值使用，而非额外的优化目标或经验证的安全限制。因此，综合分数是一种决策辅助工具，作为安全余量或可靠性度量不具有独立的物理解释。

对于第i个Pareto解，基于偏好的综合排名分数定义为(10) Φi = 0.28ēi + 0.26M?i + 0.20K?i + 0.16?i + 0.10B?i - 0.10D?i - 0.06R?i。每个非负指标qi通过(11) q?i = (qi - minj qj) / (maxj qj + εq) 进行归一化。稳定常数εq与qi具有相同单位，防止除以零。

效率超额指标定义为(12) Ei = max(0, ηis,i - ηis,ref)。参考效率为ηis,ref = 0.60；Ei在该值以下为零，以上则随效率增加而增大。

质量流量超额指标定义为(13) Mi = max(0, m˙i - m˙min)。最小可接受质量流量为m˙min = 3.60 g/s；Mi在该值以下为零，以上则随超额流量能力增加而增大。

压比内部性指标定义为(14) Bi = min[max(0, πtt,i - πtt,min), max(0, πtt,max - πtt,i)]。指定压比限制为πtt,min = 3.2和πtt,max = 3.9。指标Bi为远离任一指定边界的解分配更大的排名贡献；这些边界并非断言为物理安全或稳定极限。

拐点指标Ki（Li等, a）计算为Pareto解在效率和压比平面到连接Pareto前沿两端点的弦的垂直距离。较大的值对应于两个Pareto目标之间更为均衡的折中。几何可行性概率Gi从训练后的几何警告分类器获得，仅作为候选体筛选对排名分数的贡献使用。它不是安全物理运行的概率。如果没有可用分类器，该项对所有候选体设为一。

最近样本距离Di在归一化设计变量空间中计算。它作为数据支持惩罚使用，因为远离现有样本的候选体获得的可用CFD数据支持较少。局部输出波动指标Ri从邻近样本中效率、总压比和质量流量的标准差评估，并作为额外的排名惩罚使用，而非经验证的物理鲁棒性度量。

基于偏好的综合排名分数是问题特定的。其排序取决于所选指标、归一化方式、参考值和权重。

因此，该评分仅支持在当前决策偏好下对CFD验证的帕累托解进行比较，但并非一种通用的性能、安全性或可靠性指标。该评分用于在所选偏好下选取一个具有代表性的帕累托最优几何构型，该构型强调高效率、足够的质量流率容量以及更强的局部数据支撑。然而，该选择本身并未验证运行安全性或抗几何扰动的鲁棒性。

基于偏好排序，所选叶轮参数列于表7中：

**表7. 所选叶轮设计的几何参数**

| 参数 | 值 |
|------|------|
| D1s | 420.00 mm |
| DH | 45.84 mm |
| β1hb | 70.36° |
| β1sb | 20.21° |
| D25 | 25.07 m |
| b24 | 44 mm |
| β2hb | 53.46° |
| β2sb | 40.33° |
| Lz | 185.00 mm |
| t | 1.50 mm |
| δ | 0.700 mm |
| nBl | 9 |
| γte,s | ?15.00° |

优化叶轮与原始叶轮的稳态单通道CFD性能图对比见图10。优化后的叶轮将采样点移向更高的质量流率范围，同时保持了可比较高效率区域。在所绘制的9000–11000 rpm转速线上，初始叶轮的采样质量流率范围约为2.75–3.84 g/s，而优化叶轮的采样范围变为3.48–4.76 g/s。彩色连线直接连接对应的收敛CFD工作点；它们并不定义实验验证的稳定性边界。

**图10. 初始叶轮与优化叶轮稳态单通道CFD性能图对比**

在pout=12 Pa的优化条件下，所选CFD验证的帕累托解的性能值列于表8中。这些值对应于图8中的选定点；稳态单通道叶轮性能图提供了与初始几何构型在非设计工况下的对比。

**表8. 所选帕累托解在优化条件下的CFD性能**

| 参数 | 原始设计 | 优化后 |
|------|----------|--------|
| 质量流率, ? | 3.63 | 4.26 |
| 等熵效率, ηis | 80.54 | 81.20 |
| 总压比, πtt | 3.49 | 3.82 |

效率变化的数值不确定度通过网格、迭代收敛和湍流模型贡献进行估算。这三个分量均以效率的相对百分比表示。假设这些贡献相互独立，则通过平方和根法合并：

$$U_{\Delta\eta} = \sqrt{U_{\Delta\eta,g}^2 + U_{\Delta\eta,i}^2 + U_{\Delta\eta,m}^2} \quad (15)$$

网格贡献为0.032%，基于所选的0.80百万和1.00百万目标网格之间的差异。按照ITTC程序，迭代贡献取最后两个振荡周期内最大与最小效率之差的一半（International Towing Tank Conference, 2024），结果为0.0165%。三种湍流和转捩处理方法中最大的相对效率差异为0.662%，作为保守的模型形式贡献使用。因此合并后的不确定度为：

$$U_{\Delta\eta} = \sqrt{0.032^2 + 0.0165^2 + 0.662^2} = 0.663\% \quad (16)$$

效率从80.54%变化到81.20%，即0.66个百分点，相对于初始值为0.819%。在效率约为81%时，合并相对不确定度对应约0.54个百分点。由于名义差异仅略超不确定度估计，因此认为优化设计在增加质量流率的同时保持了可比的效率水平。该比较并未解决独立的效率提升问题。

### 3.3.3. 气动损失分析

图11中的Q判据轮廓显示，在相同工况下优化后叶片通道内的涡结构更少且更小。这表明分离涡活动减弱，但Q判据并不能量化气动损失。因此，该比较还使用了总压比、质量平均熵升和体积分黏性熵产生率。对于旋转叶轮而言，总压的绝对增加本身并不构成损失，因为轴功提高了总压。黏性熵产生率通过有效黏度（包括分子和涡黏度贡献）利用解析的应变率张量进行计算。

**图11. 基于Q判据的涡结构对比**

在该工况下，优化叶轮将全环形质量流率从3.63 g/s提高到4.26 g/s，总压比从3.49提高到3.82，而名义等熵效率保持在可水平，分别为80.54%和81.20%。以总焓升归一化的熵升降低了6.1%。然而，质量平均熵升从714.3增加到718.0 J·kg?1·K?1，全环形黏性熵产生率从1.992增加到3.015 W·K?1。由于优化案例承载了更高的质量流率和压升，因此这些绝对耗散率不应被解释为气动性能的同类恶化。结果表明相对损失指标改善的同时，绝对耗散有所增加。

速度三角数据与这一载荷变化一致。以攻角定义为i_inc = β_b ? β_f，轮毂和隔板的攻角从基线叶轮的?0.42°和?0.57°变为优化叶轮的?0.45°和?3.15°。展向平均绝对攻角从2.77°增加到4.86°。质量平均相对马赫数在进口处从0.976增加到1.008，在出口处从0.931增加到1.007。较大的攻角和接近于1的相对马赫数与更高的载荷一致，这可能通过剪切和混合增加不可逆耗散。

优化几何构型还具有更小的尖端间隙。其叶片尖端GGI界面处有符号的净质量交换从通道质量流率的2.77%降至1.52%，尖端区域占总黏性熵产生的比例从3.648%降至3.558%。然而，尖端区域的全环形绝对黏性熵产生率从0.0727增加到0.1073 W·K?1，尖端界面相对于进口的熵超额从2807增加到3928 J·kg?1·K?1。因此，尖端区域占总耗散的比例略有下降，但其绝对耗散并未减少。损失指标描述了优化叶轮的较高流量容量和压升与其较高载荷所对应的绝对损失之间的权衡关系。

### 4. 结论

本研究开发了一种基于神经网络代理模型的帕斯卡级低温离心压缩机叶轮多目标优化方法。该方法结合了主动学习、可行性分类、Sobol敏感性分析和NSGA-II。搜索涵盖了13个几何设计变量。

经过22次主动学习迭代，CFD验证的超体积相对增加了10.45%。最终的CFD验证帕累托前沿包含11个非支配叶轮设计方案。代理模型指导候选解的选择，而CFD则确定哪些设计方案被保留。

固定的39个用例测试集显示出有限的全局代理精度。低于3.60 g/s质量流率要求的子集中，效率和压比的RMSE分别比符合要求的子集高2.97倍和3.20倍。这些比值仅为描述性；经Holm校正后，相应的MAE和MSE对比并不显著。事后CFD阻塞概率与绝对效率误差相关，而最近训练样本距离则不相关。该关联并未确立CFD阻塞是代理误差的唯一原因。代理模型和分类器用于筛选，CFD评估确定分析中保留的帕累托解。

在优化条件下，代表性设计将质量流率从3.63提高到4.26 g/s，总压比从3.49提高到3.82，而名义等熵效率保持在可水平，分别为80.54%和81.20%。相对效率差异0.819%与合并数值不确定度0.663%处于同一量级，因此不声称有独立的效率提升。在9000–11000 rpm稳态单通道性能图中，采样质量流率范围从2.75–3.84 g/s变为3.48–4.76 g/s，同时高效率区域得以保留。优化后的通道内Q判据结构更少更小，以总焓升归一化的熵升降低了6.1%。然而，绝对质量平均熵升和黏性熵产生率仍然增加。在所模拟的叶轮通道内，所选几何构型改善了流量容量、压升和相对损失指标，但未降低所有绝对损失指标。

本结论仅限于叶轮的稳态单通道模拟。拟合的性能图边界是估计的稳态CFD限制边界，而非动态解析或实验测量的喘振线。计算域不包括扩散器、涡壳、进口管路或系统级相互作用，因此所报告的变化并未确立完整压缩机级性能的提升。尖端间隙中的滑移和温跃处理仍是工程近似。要评估组件相互作用、运行稳定性和系统级性能，需要进行全级非稳态模拟、间隙处理的动量评估以及低温实验。

**CRediT作者贡献声明**

赵张豪：撰写—初稿，软件，方法学，数据整理。
柯昌雷：撰写—审阅与编辑。
刘红敏：形式分析。
左健生：方法学。
李孔荣：项目管理。
熊连友：方法学。
彭南：监督。
刘强：监督。

赵张豪 | 柯昌雷 | 刘红敏 | 左健生 | 李孔荣 | 熊连友 | 彭南 | 刘强