一种基于能量的、数据无关的厚板弯曲神经网络求解器，可跨越不同材料类型、边界条件和几何形状

《International Journal of Solids and Structures》：An energy-based, data-independent neural network solver for thick-plate bending across material types, boundary conditions, and irregular geometries

　　

深度Ritz神经网络在无需标注数据的情况下求解基于FSDT的厚板弯曲问题。
硬约束因子精确强制执行本质边界条件，超越矩形板的限制。
2×2比较：在每种边界条件下，仅"弱形式+硬约束"组合能将相对L2范数保持在1%以下或接近1%。
跨材料、边界条件、厚度、几何形状进行验证；挠度场误差≤3.59%。

**引言**

板弯曲分析是结构力学的核心课题，在航空航天（Zhu等，2016；Otsuka和Makihara，2018）、机械（Deng和Murakawa，2008；Cai，2016）和土木（Miller等，2001；Choi和Park，2009）工程中有广泛应用。经典板理论（CPT）（Kirchhoff，1850）长期以来一直是薄板的标准模型，但其可忽略横向剪切变形的假设使其不适用于厚板。为了克服这一局限，开发了一阶剪切变形理论（FSDT）（Mindlin，1951），也称为Reissner-Mindlin理论。与CPT将板的法线限制为保持垂直于中面不同，FSDT允许其独立于中面斜率旋转，从而捕捉横向剪切应变，并在忽略剪切效应时恢复为CPT的特殊情形。本文处理由FSDT控制的厚板弯曲，求解三个场变量（挠度和两个截面旋转）的完整耦合系统，而CPT公式仅有挠度作为其唯一场变量。

在FSDT下，板弯曲由一组三个耦合偏微分方程（PDEs）（Mindlin，1951；Reddy，2003）建模。传统数值求解器（包括有限元法（FEM）（Park和Kim，2002；Bhar等，2010）和其他离散化方案（Peng等，2006；Vu等，2017））已建立完善并交付准确结果，但需要针对每种几何形状定制网格。深度学习的最新进展导致了一种补充方法，即训练神经网络直接近似空间坐标上的解（Long等，2018；Beck等，2020），消除了网格划分步骤。纯粹数据驱动的深度学习应用需要大量的"真实值"解，但这些稀缺且成本高。物理信息神经网络（PINNs）（Raissi等，2019；Cuomo等，2022；Guo等，2025）通过将物理定律嵌入损失函数，消除了这种依赖性。PINNs已应用于多个领域，包括流体动力学（Raissi等，2019；Rao等，2020；Cai等，2021a；Zhao等，2024；Song等，2025）、固体和结构力学（Tao等，2020；Dong等，2023；Yan等，2023；He等，2024；L. Wang等，2024；Y. Wang等，2024；Li等，2024；Huang和Peng，2024a；J. Chen等，2025；Wang等，2025；Li等，2025）、声学（Liang和Huang，2024）、化学工程（Wu等，2023）、地球工程（Chen等，2024）、金融（Bai等，2022）、生物学（Farmer等，2024；Gültekin等，2025）和热传递（Cai等，2021b；Zobeiry和Humfeld，2021）。标准PINN公式的两个困难对于FSDT厚板弯曲更为突出：一是损失形式需要挠度和旋转变量场的二阶空间导数，易引发梯度异常（Basir和Senocak，2022；Song等，2024）；二是边界条件（BCs）的强制执行通过软惩罚项实现，权重需要调整（Meng等，2023；Harandi等，2024；Cao等，2025；Bischof和Kraus，2025；Lu等，2021）。

为了同时消除这两个困难，我们提出了一个深度Ritz神经网络（DRNN）求解器，结合基于能量的损失和用于本质边界条件的乘法硬约束因子。损失遵循深度Ritz（E和Yu，2018）/深度能量方法（Samaniego等，2020）范式：从总势能导出，仅涉及一阶导数，其极小值通过变分原理满足自然边界条件。硬约束因子精确强制执行本质边界条件，从而将它们从损失中移除。

**三个贡献**

第一个也是主要的贡献是硬约束构造扩展到不规则几何形状和固支-自由混合边。边界消失因子早于深度Ritz方法（Lagaris等，1998），现在从近似距离函数（Berg和Nystrom，2018；Sukumar和Srivastava，2022）和R-函数（Rvachev和Sheiko，1995）系统地构建。对于剪切变形板，乘法硬约束因子仅在矩形域上报告（Saurabh等，2026；Hoang等，2026）。通过四种基本构造——多项式乘积、隐域因子、基于ReLU的线段选择器和R-函数析取——扩展到光滑弯曲和非正交边界、凹角、多连通域和固支-自由混合边。

第二个贡献是验证的广泛性。框架在六种边界条件下验证了各向同性、正交各向异性和各向异性板。

第三个贡献是跨越损失形式（弱形式能量泛函或强形式残差）和边界处理（硬约束因子或软惩罚）的方案比较。

**运动学和本构关系**

遵循FSDT（Mindlin，1951；Reddy，2003），初始垂直于板中面的直线在变形后保持直线但不一定垂直于中面。位移场表达为u(x,y,z)=u?(x,y)+zψ?(x,y)，v(x,y,z)=v?(x,y)+zψ?(x,y)，w(x,y,z)=w?(x,y)，其中u?、v?和w?是中面位移，ψ?和ψ?是截面法线绕y轴和x轴的旋转。

**基于深度Ritz的神经网络求解器**

与标准PINNs不同，我们的DRNN最小化第2.3节的能量泛函，降低了所需导数阶数（Manav等，2024；Khodayi-Mehr和Zavlanos，2020；Li等，2021），其极小值通过变分原理满足自然边界条件，并通过乘法硬约束因子精确强制执行本质边界条件。

**应用与讨论**

本节在三种材料类型（各向同性、正交各向异性和各向异性）的厚板上验证了DRNN求解器。

**框架鲁棒性**

第4节建立了DRNN求解器在三种材料类型六种边界条件下的准确性。本节评估了求解器的鲁棒性：第5.1节介绍了三种替代方案，第5.2节比较了它们的准确性和训练成本，第5.3节将DRNN应用于扩展案例。

**结论**

本文介绍并验证了用于FSDT控制厚板弯曲分析的DRNN求解器。主要成果包括精确的边界条件强制执行：乘法硬约束因子精确强制执行本质边界条件，消除了对基于惩罚的损失项及其敏感超参数的需求。损失仅由物理能量泛函组成，自然边界条件在收敛时得到满足。

**作者贡献声明**

Zhaoyang Hu：写作-审阅与编辑、写作-原稿、可视化、验证、软件、资源、方法论、调查、形式化分析、数据整理、概念化。Rui Li：写作-审阅与编辑、验证、经费获取。

**利益冲突声明**

作者声明无已知可能影响本文工作的竞争性经济利益或个人关系。

**致谢**

作者感谢国家自然科学基金（资助号12372067）、辽宁省优秀青年科学基金项目（资助号2025JH6/101100005）和大连市优秀青年科技人才项目（资助号2024RJ005）的支持。

Zhaoyang Hu|Rui Li