一种统一的自适应样条技术，用于准确模拟混凝土和金属的强度下降及疲劳效应

《International Journal of Solids and Structures》：A unified self-adaptive spline technique for accurately simulating strength-degrading and fatiguing effects of concretes and metals

　　摘要：尽管现有的多种方法可以模拟金属和混凝土材料的复杂强度退化和疲劳效应，但其模拟范围和模拟难度都存在局限性。为克服这一限制，本文提出了一种新的、扩展的Drucker-Prager型模型，该模型能够统一地处理金属和混凝土的材料特性。通过引入全程耗散效应，并为加载和卸载情况提供了一个新的、统一的演化方程，同时利用应力模量不变量来表征混凝土的拉压不对称性。此外，利用自适应样条技术可以准确描述硬化和软化过程中的突变但平滑的过渡现象，强度退化和疲劳效应也被自动纳入新模型的固有响应特性中。这种方法无需处理众多未知参数和多种特定标准，仅用少于四个可调参数即可准确模拟强度退化和循环疲劳效应。通过多个数据集的数值示例验证了该新方法的有效性，这些数据集包括混凝土杆的拉伸和压缩强度退化及疲劳破坏、合金管在循环拉扭载荷下的多轴疲劳破坏、混凝土梁的均匀弯曲以及具有多轴应力效应的复合层压梁的三点弯曲。

引言：由金属和混凝土材料制成的各种结构构件（如梁、柱、板和壳等）应用广泛。然而，不同类型的混凝土在拉伸和压缩下的应力-应变响应特性存在显著差异（参见Karson和Jirsa 1969年、Graybeal 2007年、Thomas和Ramaswamy 2007年以及Graybeal 2013年的研究）。这些复杂现象主要体现在非线性弹性塑性特征上，包括明显的拉压不对称性、硬化和软化过程之间的突变但平滑的过渡、与二次软化相关的残余强度，以及卸载应力-应变曲线斜率显著降低的强度退化效应。这些特性在疲劳破坏过程中尤为明显。为了近似模拟上述复杂现象，人们在弹性塑性变形的本构框架内建立了多种建模方法，这些方法考虑了宏观裂纹引起的断裂效应或微观裂纹引起的损伤效应。

介绍：基于断裂的方法提出了多种模型来模拟宏观裂纹的发展，例如双参数断裂模型（Shah 1990年）、等效断裂模型（Ba?ant和Kazemi 1990年）、尺寸效应模型（Karihaloo和Nallathambi 1989年）、完整断裂模型（Xu和Reinhardt 1998年）、相场断裂模型（Kuhn等2015年、Schr?der等2022年、Sadighi等2023年）以及用于三维断裂的E-FM方法（Sun等2021年）。基于损伤的方法则引入了多种损伤变量，从初始微观缺陷计算到宏观裂纹的形成，例如弹性塑性损伤模型（Lubliner等1989年、Carol等1994年、Salari等2004年、Cicekli等2007年）、多尺度失效模型（Nguyen等2012年）、具有尺寸效应的模型（Zhang等2023年）、耦合塑性-损伤模型（Wu等2006年、Zhang等2016年、Sarikaya和Erkmen 2019年）以及基于多表面塑性的模型（Zarkovic和Jovanovic 2025年）。关于断裂和损伤方法的详细信息可参考Murakami 2012年、Gross和Seelig 2018年以及Voyiadjis 2022年的研究。这些弹性塑性模型已被用于分析混凝土构件的响应，例如钢筋混凝土I型梁（Graybeal 2008年、El-Helou和Graybeal 2022年）和钢筋混凝土矩形梁（Yoo等2016年、Jin等2022年、Solhmirzaei等2022年、Accornero等2022年、Liu等2023年）的弯曲行为、混凝土柱的压缩行为（Ye等2022年）、预制钢筋混凝土梁-柱接头的渐进性破坏（Wang等2025年）、混凝土梁的失效和断裂行为（Liu等2023年、Slowik 2019年、Mukhtar 2024年）等。

另一方面，在颗粒微观力学框架内研究了非对称的拉伸和压缩非弹性行为，相关成果发表在Jia等2017年、Poorsolhjouy和Misra 2017年、Misra和Poorsolhjouy 2020年等研究中。最近的一项研究（Poorsolhjouy等2025年）表明，拉压不对称性的应力-应变演化会导致加载路径依赖性。在颗粒微观力学框架内，最近提出了一个简单的连续介质模型（Misra和Placidi 2025年），发现拉压不对称性会导致各向异性弹性响应。

为了模拟各种情况下的应力-应变响应，需要处理以下复杂效应：首先，需要处理硬化过程中的单轴应力-应变响应，其中应力上升到峰值；其次，需要处理软化过程中的单轴应力-应变响应，其中应力从峰值开始下降；第三，需要同时处理硬化和软化过程中的单轴应力-应变响应；第四，需要处理卸载过程中的应力-应变响应，其中应力显著降低，即强度退化效应；最后，需要模拟循环加载条件下的疲劳破坏效应。这些效应在拉伸和压缩过程中有显著差异，这种拉压不对称性具有强烈的非线性特性，并且彼此紧密耦合。通常，这些效应需要基于具有一组大量未知参数的复杂结构本构模型来近似处理，因此需要通过繁琐的数值算法进行复杂的分析才能得到近似模拟结果。特别是在模拟卸载过程中斜率降低的强度退化效应以及不同裂纹阶段的拉伸和压缩行为时。

本文提出了一种新方法，能够高效、全面且解耦地准确模拟上述复杂效应。为此，建立了一种新的、扩展的Drucker-Prager型模型，该模型能够统一地处理金属和混凝土的材料特性，通过引入全程耗散效应和统一的加载/卸载演化方程，并利用应力模量不变量来表征混凝土的拉压不对称性。利用自适应样条技术可以准确描述硬化和软化过程中的突变但平滑的过渡现象，强度退化和疲劳效应也被自动纳入新模型的固有响应特性中。这种方法无需处理众多未知参数和多种特定标准，仅用少于四个可调参数即可准确模拟强度退化和循环疲劳效应。通过多个数据集的数值示例验证了该新方法的有效性，这些数据集包括混凝土杆的拉伸和压缩强度退化及疲劳破坏、合金管在循环拉扭载荷下的多轴疲劳破坏、混凝土梁的均匀弯曲以及具有多轴应力效应的复合层压梁的三点弯曲。

主要内容分为五个部分：第2节建立了包含全程耗散效应的新弹性塑性方程，并引入了应力张量的模量不变量，以实现拉压不对称性的解耦处理；第3节利用自适应样条函数准确描述了硬化和软化过程中的非对称拉伸和压缩行为；第4节分析了卸载过程中的显著强度退化现象；第5节从新的角度研究了具有多轴应力效应的梁的非均匀弯曲响应；第6节提供了验证新方法的数值示例；第7节总结了主要结果及未来研究方向。

**Drucker-Prager型模型的扩展形式**：在本节中，我们提出了一种新的、扩展的Drucker-Prager函数形式，并建立了统一的、平滑形式的Prandtl-Reuss型弹性塑性方程。关于现代发展的常用Prandtl-Reuss方程的详细信息可参考Bruhns 2014年和Bruhns 2020年的研究。这些新方程在公式和结构上更为简单，无需假设任何特定的简化条件。

**拉伸和压缩强度函数**：方程（15）-（16）中的拉伸和压缩强度函数qt(κ)和qc(κ)在表征所有加载条件下的塑性效应中起着关键作用。确定它们的形式是弹性塑性建模的核心任务。这一任务涉及两个方面的耦合非线性复杂性：首先，需要处理两个未知函数qt(κ)和qc(κ)，特别是与每个加载路径相关的未知变量κ。

**卸载过程中的强度退化效应**：对于拉伸和压缩状态下的梁样品，卸载过程中的强度退化表现为卸载应力-应变曲线斜率的显著降低，这种现象也被称为应力软化、弹性退化、弹性损伤和Mullins效应等。根据传统的流动规则方程（5）和方程（11），这些效应通常被忽略，因为它假设了具有杨氏模量的弹性卸载响应。然而，在具有多轴应力效应的弹性塑性弯曲过程中，强度退化现象更为明显。在弯曲过程中，随着曲率的增加直至破坏，梁的弯曲刚度逐渐降低，这涉及到具有明显拉压不对称性的非均匀弹性塑性问题。需要处理中性轴不断变化的非对称拉伸和压缩应力分布。

**模型验证的数值示例**：提供了多个数据集的数值示例，包括铝的单轴拉伸应力-应变响应和铝板的弯曲响应、普通混凝土和高性能混凝土（HPC）的单轴应力-应变响应、普通混凝土和超高性能混凝土（UHPC）在拉伸和压缩条件下的强度退化效应、UHPC的单轴疲劳破坏、合金管的多轴疲劳破坏、具有多轴应力效应的介观尺度弯曲。

**结论**：在前几节中，建立了包含全程耗散和非弹性恢复的Prandtl-Reuss型弹性塑性方程。这些新方程在概念和结构形式上比传统简化条件更加简单，为模拟混凝土的复杂强度退化和疲劳效应提供了一种新的、高效的方法。

**作者贡献声明**：刘全普负责写作、审稿与编辑、验证、方法论研究、数据分析、概念化；崔晨伟负责写作、审稿与编辑、验证、方法论研究、数据分析；李洪宇负责写作、审稿与编辑、验证、方法论研究、数据分析；何豪南负责写作、审稿与编辑、验证、方法论研究、数据分析、概念化；王思宇负责写作、审稿与编辑、验证。

**利益冲突声明**：作者声明没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文的研究结果。

**致谢**：本研究得到了中国国家自然科学基金（项目编号12172149、12202378、12172151）、教育部未来智能制造技术高精尖设备重点实验室（项目编号FIMFFYUST-2025B07）、广州市科学技术局（项目编号SL2023A04J01461）以及中国科学技术部（项目编号G20221990122）的共同支持。