基于自适应谱滤波的逆问题可解释算子学习：收敛性与分辨率传递

《Neural Networks》：Interpretable Operator Learning for Inverse Problems via Adaptive Spectral Filtering: Convergence and Resolution Transfer

　　

# 摘要

我们研究了一种用于紧线性反问题的学习式谱正则化方法。SC-Net（谱修正网络）为每个保留的伪逆系数施加一个有界神经网络阻尼因子，该因子以观测系数和奇异值为条件。在固定截断条件下，我们证明了局部稳定性及对连续阻尼曲线的逼近。在Hilbert尺度源条件和代数型奇异值衰减下，满足近似单位算子条件的均匀有界网络族可达到经典的截断谱收敛阶。该估计不需要噪声一致的网络Lipschitz常数。我们还建立了固定重建规则在相容谱和投影假设下的离散一致性。一维合成测试表现出与预测阶一致的缩放特性。以观测系数为条件相比仅以奇异值为条件的消融实验，平均误差降低了12.5%。SC-Net在低噪声和中噪声下优于所测试的经典基线；基于偏差原理的傅里叶神经算子（FNO-1D）在固定算子基准上具有可实现方法中最低的误差。Laplace噪声和关联高斯噪声测试评估了无需重新训练的迁移能力。对于二维高斯去模糊任务，Tikhonov锚定的SC-Net在所测试的范围内和留出的模糊宽度下，误差低于等算子条件的FNO。该对比展示了精度优势，但未能隔离对算子漂移的敏感性。固定模式实验显示跨分辨率偏差递减；其网格依赖的条件限制了与固定规则定理的对比。

# 引言

反问题从间接的含噪观测中恢复未知源或场。应用领域包括计算机断层扫描和磁共振成像（Kak, Slaney, 2001, Lustig, Donoho, Pauly, 2007）、地球物理勘探（Tarantola, 2005）、电磁散射（Colton and Kress, 2013）和光学显微镜（Mertz, 2019）。我们考虑如下形式的紧线性反问题：

$$y = \mathcal{K}f + \epsilon$$

其中 $\mathcal{K}$ 是紧线性算子，$f$ 是未知信号，$\epsilon$ 是测量噪声。随着 $\mathcal{K}$ 的奇异值趋近于零，反演会放大对应系数中的扰动。由此产生的对数据不连续依赖的缺失性，正是正则化所解决的稳定性问题（Engl, Hanke, Neubauer, 1996, Hadamard, 1902）。

Tikhonov正则化（Tikhonov, 1963）和全变分最小化（Rudin et al., 1992）通过对解的先验约束来稳定重建。谱方法，如截断奇异值分解（TSVD）（Hansen, 2010），抑制与小奇异值相关的分量。这些方法具有成熟的收敛理论（Natterer, 1986），但其实际精度取决于正则化参数和先验的适用性。参数选择规则，包括偏差原理（Morozov, 1966）和L曲线（Hansen, 1992），需要额外计算且可能对噪声估计敏感。基于 $L_2$ 或 $L_1$ 范数的固定罚项对于复杂信号类可能过于严格（Arridge et al., 2019）。

学习型重建方法利用训练数据捕捉固定先验可能遗漏的特征。卷积神经网络（CNN）已被用于对初步重建结果进行后处理（Jin, McCann, Froustey, Unser, 2017, Kang, Min, Ye, 2017）。展开方法，包括LISTA（Gregor and LeCun, 2010）、ADMM-Net（Yang et al., 2016）和ISTA-Net（Zhang and Ghanem, 2018），将迭代重建步骤纳入可训练架构中；相关方法还包括显式地纳入前向算子（Adler and ?ktem, 2017）。此类方法，包括基于U-Net的重建（Ronneberger et al., 2015），通常建立在特定有限维表示（$\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^N$）上。在测量网格之间迁移已训练模型时，需要关注其离散化依赖性（Ongie et al., 2020）。

算子学习将任务表述为函数空间之间的映射。DeepONet（Lu et al., 2021）和傅里叶神经算子（FNO）（Li et al., 2021）已被应用于跨离散化的参数偏微分方程（Kovachki et al., 2023）。然而，对于不适定反问题，无界逆算子仍需正则化。仅函数空间架构并不能说明重建偏差与噪声放大如何平衡，也不能建立噪声水平趋近于零时的收敛性（de Hoop, Kovachki, Nelsen, Stuart, 2023, Lanthaler, Mishra, Karniadakis, 2022）。非线性及学习型谱滤波器提供了对该正则化机制更明确的描述（Ebner, Haltmeier, 2024, Ebner, Schwab, Haltmeier, 2025）。SC-Net遵循此方法：一个共享神经网络为每个伪逆系数分配有界阻尼因子，同时使用奇异值和观测系数。第2.3节将该构造与对角框架和弱凸滤波分析进行了比较。

我们分析了系数依赖阻尼与谱截断的交互作用。均匀有界性和近似单位算子为噪声依赖网络族保持经典谱截断速率提供了充分条件，无需对网络Lipschitz常数施加噪声一致的界。这些是重建族的条件，而非训练算法的结果。该速率是经典的；学习的作用是调节有限噪声下的阻尼。另一个定理建立了固定重建规则在相容奇异系统和稳定投影下跨离散化的一致性。

实验涵盖了一维谱反问题和二维周期高斯去模糊。匹配的消融测试了以观测系数为条件的价值；进一步测试比较了经典和学习型重建，并评估了向未见噪声定律和模糊宽度的迁移能力。算子条件的FNO比较为两种方法提供了相同的算子和噪声信息。固定模式实验测量了跨分辨率的一致性，网格依赖条件的效应与一致性定理分开讨论。

第2节介绍算子及其谱正则化。然后我们在第3节定义SC-Net，并在第4节分析稳定性、逼近性、收敛性和离散一致性。第5节报告数值测试；第6节讨论结论和局限性。

## 第2节：问题表述与算子框架

我们使用椭圆逆源问题引入前向算子、其奇异系统和下文使用的谱正则化符号。

## 第3节：方法——可学习谱滤波

SC-Net在前向算子的奇异坐标中学习阻尼规则。网络接收一个奇异值及其含噪观测系数，并返回对应伪逆系数所乘的因子。

## 第4节：理论分析

我们分析了SC-Net表示的重建映射。结果给出了固定截断下的稳定性和逼近性质、噪声依赖族的收敛界以及跨离散化的一致性。

谱论证适用于具有正交标准奇异系统的Hilbert空间 $X$ 和 $Y$：

$$\{(\sigma_n, u_n, v_n)\}_{n \geq 1}, \quad \mathcal{K}v_n = \sigma_n u_n, \quad \mathcal{K}^*u_n = \sigma_n v_n$$

第2节中的边界测量算子是一个例子。代数衰减 $\sigma_n \asymp n^{-p}$（$p > 0$）仅在定理4.3的显式速率中需要。

## 第5节：数值实验

测试考察了收敛速率、重建精度、系数依赖的自适应性和跨噪声定律、算子和分辨率的迁移能力。除另有说明外，表格报告了五个独立随机种子的测试均值和标准差。数据生成器、参数网格和架构如下所述，并在随附代码中实现。

## 第6节：结论

SC-Net将学习型逆表示为前向算子奇异坐标中伪逆系数的有界阻尼。这使对算子和观测的依赖关系变得明确。

对于可辨识的最小范数解 $f^\dagger = \mathcal{K}^\dagger y$，我们建立了局部稳定性、阻尼曲线逼近和条件收敛界。均匀有界且以规定速率趋近于单位算子的阻尼保持了经典谱截断阶，而无需对网络Lipschitz常数施加噪声一致的界。

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**CRediT作者贡献声明**

- Hang-Cheng Dong：写作——审阅与编辑、写作——初稿、可视化、软件、方法论、形式分析、数据管理、概念化
- Pengcheng Cheng：写作——审阅与编辑、写作——初稿、可视化、验证、监督、软件、方法论、形式分析、数据管理、概念化
- Shuhuan Li：写作——初稿、软件、方法论、形式分析、数据管理、概念化

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