《Scientific African》：A novel one-parameter unit distribution: Classical estimation methods, actuarial measures, and real data applications
编辑推荐：
寿命数据建模高度依赖于概率分布，且必须根据数据的特征进行分布选择。本文提出了一种新颖的分布——单位Juchez分布（Unit Juchez Distribution, UJD），用于对区间(0, 1)上的有界数据进行建模。该分布通过对Juchez分布（Juch
寿命数据建模高度依赖于概率分布，且必须根据数据的特征进行分布选择。本文提出了一种新颖的分布——单位Juchez分布（Unit Juchez Distribution, UJD），用于对区间(0, 1)上的有界数据进行建模。该分布通过对Juchez分布（Juchez Distribution, JD）施加适当的变换而导出。其密度函数展现出灵活的非对称特性，包括反J形和单峰形态。风险率函数（Hazard Rate Function, HRF）可呈现多种形式，如N形、U形、递增或递减。研究深入考察了该分布的关键性质，包括矩、不完全矩、分位数函数、应力-强度可靠性（Stress-Strength Reliability）、随机序（Stochastic Ordering）以及精算风险度量。参数估计采用了多种经典、基于距离和基于间距的估计程序。涵盖多种样本量的大规模蒙特卡洛（Monte Carlo）模拟表明，最大乘积间距法（Maximum Product of Spacings, MPS）和最大似然法（Maximum Likelihood, ML）优于其他备选估计策略。此外，两项真实数据应用展示了单位Juchez分布的实际效用，并将其与十一种现有模型进行了比较：alpha power Topp-Leone、power Topp-Leone、单位扩展指数（unit extended exponential）、单位Burr-XII、有界加权指数（bounded weighted exponential）、Marshall–Olkin reduced Kies、Kumaraswamy、Beta、Topp-Leone、单位Teissier以及Musa Type II。
研究背景与问题
概率分布在现代数据处理中扮演着至关重要的角色，其选择需基于数据本身的特征，以提升推断精度并减少信息损失。尽管目前已有大量无界分布模型，但对于比例、比率和百分比等分数形式的数据，有界分布的需求依然存在显著缺口。现有单位区间分布模型众多，但许多模型在刻画复杂风险率形态（如N形或浴盆形曲线）方面缺乏灵活性。为弥补这一不足，研究人员提出了单位Juchez分布（UJD），一种新颖的单参数模型，能够显式捕捉U形、递减和N形风险函数，从而为可靠性与生存数据分析提供更强的灵活性。UJD的关键创新在于其处理N形风险率的能力，这是诸如单位Weibull和单位Lindley等单参数分布所不具备的。此外，UJD的密度函数可呈现单峰、J形、反J形和右偏等多种形态，适用于多种非对称数据集。该分布还可显式获得多种统计性质与精算度量，并可通过多种经典估计方法进行参数推断。
研究内容与结论
研究人员通过将Juchez分布（JD）进行对数变换，构建了UJD，其累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）均以闭式表达给出。研究系统推导了UJD的统计性质，包括分位数函数、矩、不完全矩、应力-强度可靠性、随机序等。精算风险度量方面，给出了风险价值（VaR）、尾部风险价值（TVaR）、尾部方差（TV）和尾部方差保费（TVP）的定义与数值结果。参数估计部分，研究人员采用了包括最大似然（ML）、普通最小二乘（OLS）、Anderson–Darling（AD）、Cramér-von-Mises（CVM）、最大乘积间距（MPS）等在内的十五种估计方法。大规模蒙特卡洛模拟表明，MPS和ML方法在估计精度上优于其他方法。两项真实数据应用显示，UJD相较于十一种现有模型具有更优的拟合性能。
主要关键技术方法
研究人员采用了多种经典参数估计方法，包括最大似然（ML）、普通最小二乘（OLS）、加权最小二乘（WLS）、Anderson–Darling（AD）、右尾AD（RTAD）、左尾AD（LTAD）、AD左尾二阶（ADSO）、Cramér-von-Mises（CVM）、Kolmogorov、最大乘积间距（MPS），以及最小间距（MS）类方法，如MS绝对距离（MSAD）、MS绝对对数距离（MSALD）、MS平方距离（MSSD）、MS平方对数距离（MSSLD）和MS Linex距离（MSLD）。通过蒙特卡洛模拟评估了不同样本量下各估计方法的性能。真实数据应用使用了两个单位区间数据集，并与十一种竞争模型进行比较。
统计性质
分位数函数：UJD的分位数函数（QF）通过数值求解CDF的逆函数获得，可用于随机数生成、百分位数估计和分位数回归。数值结果表明，随着参数ρ的变化，偏度和峰度呈现不同的变化趋势。
矩度量：UJD的r阶原点矩以闭式表达给出，并可由此推导方差、偏度和峰度系数。不完全矩通过上不完全伽马函数表达，其应用包括Lorenz曲线和Bonferroni曲线。
应力-强度可靠性：在应力-强度（S-S）可靠性模型中，假设强度X和应力Y均服从UJD分布，研究人员推导了可靠性度量R = P(X > Y)的闭式表达式，通过积分变换得到解析解。
随机序：研究表明，当ρ? < ρ?时，UJD(ρ?)在似然比序下小于UJD(ρ?)，进而推出风险率序和通常随机序，建立了完整的随机序层级关系。
精算度量
研究人员给出了UJD的风险价值（VaR）、尾部风险价值（TVaR）、尾部方差（TV）和尾部方差保费（TVP）的定义。数值结果表明，对于固定的ρ，VaR和TVaR随置信水平q增加而增加；TVaR始终大于对应的VaR；TV非负且随ρ呈非单调变化；TVP始终大于对应的TVaR。
估计方法
研究人员详细介绍了十五种参数估计方法的目标函数，包括最大似然（ML）、Anderson–Darling（AD）、Cramér-von-Mises（CVM）、最大乘积间距（MPS）等，并给出了各方法的估计量定义。
数值模拟
通过蒙特卡洛模拟，研究人员比较了不同样本量下十五种估计方法的性能。结果表明，最大乘积间距（MPS）和最大似然（ML）方法在偏差和均方误差方面优于其他方法，推荐作为UJD参数估计的首选方法。
真实数据应用
研究人员将UJD应用于两个真实单位区间数据集，并与alpha power Topp-Leone、power Topp-Leone、单位扩展指数、单位Burr-XII、有界加权指数、Marshall–Olkin reduced Kies、Kumaraswamy、Beta、Topp-Leone、单位Teissier和Musa Type II等十一种模型进行比较。拟合优度指标显示，UJD在多数情况下优于竞争模型，验证了其实际应用价值。
结论
本文提出了单位Juchez分布（UJD），一种新颖的单参数单位区间分布，能够灵活刻画U形、N形和递减风险率函数。研究系统推导了该分布的统计性质与精算度量，并通过十五种估计方法进行了参数推断。蒙特卡洛模拟和真实数据应用均表明，UJD是一种有效且灵活的有界数据建模工具，尤其适用于风险率形态复杂的数据集。
