一种构造具有霍普夫周边子群的非霍普夫相对双曲群的方法

《Journal of Algebra》：A recipe for constructing non-Hopfian relatively hyperbolic groups with Hopfian peripheral subgroups

　　

摘要

最近，Kim 和 Lee [9] 给出了一个非霍普夫（non-Hopfian）的相对双曲群，其周边子群是霍普夫群，从而对 Osin 著名的一个问题 [12, 问题 5.5] 提供了一个反例。在本文中，我们提供了一种通用的构造方法，利用所谓的像扩张定理来生成具有霍普夫周边子群的非霍普夫相对双曲群。此外，我们使用该构造方法提供了两个具体实例。

引言

1987 年，Gromov [7] 引入了双曲群的概念，并提出相对双曲群作为双曲群的推广。随后，多位作者提供了相对双曲群的其他刻画方法（参见 [3]、[5]、[8]、[12]）。当一个群 G 相对于一组子群 H = {H_λ}_{λ∈Λ} 是双曲的时，我们将 H 称为 G 的周边结构，H 中的任何元素称为 G 的周边子群。

回忆一下，如果一个群 G 的每一个满同态 G→G 都是自同构，则称 G 为霍普夫群。Sela 在其著作 [15] 中证明了每个无挠双曲群都是霍普夫群。后来，Reinfeldt 和 Weidmann [16] 将该结果扩展到任意双曲群。最近，Fujiwara 和 Sela [6] 给出了双曲群霍普夫性质的另一种证明。

关于相对双曲群的霍普夫性质，Osin [12] 提出了一个问题：当周边子群是霍普夫群时，所有相对双曲群是否仍然是霍普夫群？最近，Kim 和 Lee [9] 通过构造一个具有霍普夫周边子群的非霍普夫相对双曲群，对该问题给出了否定的回答，具体如下：

定理 1.1 [9, 定理 1.1] 令 H_0 为如下表示的群：
H_0 = ?b, c | b2 = c? = 1, b?1cb = c?1?，
并依次从 H_0 进行两次 HNN 扩张：
H_1 = ?H_0, s | s?1bs = bc?3, s?1cs = c?；
H_2 = ?H_1, t | t?1st = s3?。
接着，构造自由积 H = H_2 * ?e, f | ??。最后，令 ?a? 为一个无限循环群，并依次从 H * ?a? 进行两次多重 HNN 扩张：
K = ?H * ?a?, u, v | u?1(bacb?1)u = a, v?1av = tst?1?；
G = ?K, x, y | x?1ux = c3ec3e?1, y?1vy = c3fc3f?1?。
则 G 是一个非霍普夫群，并且相对于霍普夫子群 H 是双曲的。

这一构造看似没有特定框架，但实际上包含了隐藏的内在逻辑，我们在定理 1.2 中将其呈现出来。关于相对表示的定义，请参见文献 [2]。我们用记号 [a,b] 表示群中任意两个元素 a 和 b 的换位子 aba?1b?1。

定理 1.2 像扩张定理
设 ψ 为群 H = ?Y|S? 的一个内同态。假设 u 和 v 是 H 中的非平凡元素，使得 u ∈ ker ψ ∩ im ψ 且 v ∈ ker ψ \ im ψ。进一步假设在 H 中 u2 ≠ 1，且 v 具有无限阶。现在用相对表示定义一个群 G：
G = ?H, x, t | t?1vt = [u,x]?。
同时定义 G 的一个内同态 ψ?，使得：
ψ?|_H = ψ，ψ?(x) = x，ψ?(t) = t。
则以下结论成立：
(i) G 包含 H 作为子群。
(ii) G 相对于 H 是双曲的。
(iii) ψ? 是 ψ 的一个扩张，且 v ∈ im ψ?。

显然，ψ? 不是单射，因为非单位元素 u 属于 ψ? 的核。因此，可立即得出以下结论：

推论 1.3 在定理 1.2 的条件下，进一步假设 H 是霍普夫群且 ψ? 是满射。则 G 是相对于霍普夫子群 H 的非霍普夫相对双曲群。

我们将此推论作为生成相对于霍普夫子群的非霍普夫相对双曲群的一般方法。此外，我们提供了两个具体实例（证明见命题 4.1、命题 4.2）来说明推论 1.3 的应用。在这两个实例中，我们采用此前已证明为霍普夫群 [1]、[9] 的群作为周边子群。

例 1.4 令 H 为如下表示的群：
H = ?b, c, s, k | b2 = c? = 1, b?1cb = c?1, s?1bs = bc?3, s?1cs = c, k?1sk = s3?，
并设 G 为如下相对表示的群：
G = ?H, x, t | t?1{(ks?1k?1)b(ksk?1)cb?1}t = [c3, x]?。
则 G 是相对于霍普夫子群 H 的非霍普夫相对双曲群。

例 1.5 令 H 为如下表示的群：
H = ?a, b, s | [a,b] = 1, s?1a2s = a??，
并设 G 为如下相对表示的群：
G = ?H, x, t | t?1(s?1asa?2)t = [[sa2s?1, b], x]?。
则 G 是相对于霍普夫子群 H 的非霍普夫相对双曲群。

本文的结构如下。在第 2 节中，我们收集必要的定义和结果，并证明一个关键引理及其群论推论。第 3 节专门用于证明定理 1.2。在引理 3.1 中，我们建立了定理 1.2 部分 (i) 的证明。为了证明定理 1.2 的部分 (ii)，我们首先利用引理 3.2、引理 3.3 以及 Osin 关于双曲嵌入子群的定理，建立 H * ?x? 相对于子群集合 {H, ?[u,x]?} 是双曲的。然后我们运用 Osin 关于相对双曲群的组合定理，推出 G 相对于 H 是双曲的。定理 1.2 的部分 (iii) 则可从假设 u ∈ im ψ 轻易得出。最后，在第 4 节中，我们证明例 1.4 和例 1.5 中的结论。

第 2 节 预备知识

在本节中，我们收集必要的定义和结果，并证明一个关键引理及其群论推论。

第 3 节 定理 1.2 的证明

在本节中，H 和 G 表示定理 1.2 中出现的群。以下引理建立了定理 1.2 的部分 (i)。

引理 3.1 群 G 包含 H 作为子群。

证明：根据定理 1.2 的假设，H * ?x? 中的元素 v 具有无限阶。H * ?x? 中的元素 [u,x] 也具有无限阶，因为由自由积的正则形定理，对于任意 m ∈ ?\{0}，都有 [u,x]^m ≠ 1。因此，在 H * ?x? 的两个无限循环子群 ?v? 和 ?[u,x]? 之间存在一个同构 ι，使得 ι(v) = [u,x]。

第 4 节 例子

在本节中，我们提供两个相对于霍普夫子群的非霍普夫相对双曲群的例子，以展示推论 1.3 的应用。在这两个例子中，我们采用此前已证明为霍普夫群 [1]、[9] 的群作为周边子群。

命题 4.1 令 H 为如下表示的群：
H = ?b, c, s, k | b2 = c? = 1, b?1cb = c?1, s?1bs = bc?3, s?1cs = c, k?1sk = s3?，
并设 G 为如下相对表示的群：
G = ?H, x, t | t?1{(ks?1k?1)b(ksk?1)cb?1}t = [c3, x]?。

作者：Jan Kim、Tattybubu Arap Kyzy、Donghi Lee