斯梅尔均值猜想的动力学方法

《Journal of Complexity》：A dynamical approach to Smale's mean value conjecture

　　

# 摘要

Smale平均值猜想源于20世纪80年代初对牛顿迭代法的研究，在过去四十年间激发了广泛的研究工作。本文首次从复动力学的视角对Smale猜想进行系统研究，并提出等价的动力学猜想和密度猜想，为原问题提供了替代性方法。我们运用复动力学的关键结论与方法，证明了该猜想对若干重要类别成立，这些类别与μ_bif-几乎处处多项式、后临界有限（PCF）映射和移位轨迹相关。这些发现可能为解决该猜想提供新的视角。

## 1. 引言

1981年，在研究牛顿迭代法时，Steve Smale在其经典论文[56]中开创了多项式求根算法的概率分析，建立了一个比较算法效率的框架。这项工作也为Blum–Shub–Smale（BSS）模型[12]的发展奠定了基础。后续进展和相关研究可参见[1]、[13]、[17]、[41]、[52]。关于Smale在计算领域的历史背景及其后来提出的开放问题列表，见[53]、[57]、[58]。

Smale在[56]中考虑了差商

$S_p(\theta, z) = \frac{p(\theta) - p(z)}{(\theta - z)} p'(z)$

其中$p'(\theta) = 0$且$p'(z) \neq 0$，$p \in \mathbb{C}[z]$，并提出如下猜想。

**平均值猜想。** 设$p \in \mathbb{C}[z]$的次数为$d \geq 2$。则对每个非临界点$z \in \mathbb{C}$，

$\min_\theta \{|S_p(\theta, z)| : p'(\theta) = 0\} \leq L$

其中$L = 1$（甚至可能为$(d-1)/d$）。

该猜想在通过逼近$p$的逆分支的幂级数表示来寻找$p$的根时产生。我们希望对$p$的图像上从$(z, p(z))$到驻点$(\theta, p(\theta))$的割线梯度，相对于$p$在非临界点$z$处的导数，进行精确估计。如果遇到驻点，牛顿迭代法的迭代过程将终止。此类估计可用于牛顿迭代法中避免驻点。

Smale [56]首先证明了$L \leq 4$，并指出如果猜想成立，上界1将是最佳的全局界（而$(d-1)/d$将是每个$d$的最佳界）。

该猜想可以等价地重新表述为一个极小极大问题。定义奇异映射$\Phi: \mathbb{C}^{d-1} \to \mathbb{C}^{d-1}$为

$\Phi: (z_1, z_2, \cdots, z_{d-1}) \mapsto (w_1, w_2, \cdots, w_{d-1})$

其中

$w_m = z_m \int_0^{d-1} \prod_{j=1}^{d-1} (z - z_j) \, dz$，对$m = 1, 2, \cdots, d-1$。

令$\mathbb{M}_{d-1} = \{(z_1, z_2, \cdots, z_{d-1}) \in \mathbb{C}^{d-1} : \prod_{j=1}^{d-1} z_j \neq 0\}$。

我们定义Smale映射$T: \mathbb{M}_{d-1} \to \mathbb{C}^{d-1}$为

$T: (z_1, z_2, \cdots, z_{d-1}) \mapsto (S_1, S_2, \cdots, S_{d-1})$

其中

$S_k = \frac{w_k}{z_k \prod_{j=1}^{d-1} z_j}$，对$k = 1, 2, \cdots, d-1$。

**Smale平均值猜想。**

$\sup_{\mathbb{M}_{d-1}} \min_{1 \leq k \leq d-1} |S_k| \leq 1$

（甚至可能为$(d-1)/d$）。

该问题在[57]（Smale 1985）、[54]（Shub-Smale 1986）中再次被提及，特别是出现在Smale的问题列表中[58]（Smale 2000）。

## 2. 关于该猜想的已知结果

注意$S_p(\theta, z)$在仿射映射的左复合和右复合下是不变量。因此只需考虑$z = 0$、$p(0) = 0$且$p'(0) \neq 0$的情形。

我们记$S(p)$为非负实数

$S(p) = \min_\theta \{|S_p(\theta, 0)| : p'(\theta) = 0\}$

令$L(d)$为所有此类多项式$p$上$S(p)$的上确界。对于多项式$p(z) = z^d + cz$，其中$c \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$，我们有$S(p) = (d-1)/d$。Smale的结果[56]和此例子给出

$\frac{d-1}{d} \leq L(d) \leq 4$

**(I) 该猜想已对次数不超过10的多项式得到验证。**

- Schmeisser ([48]) 得到了精确估计$L(2) = 1/2$和$L(3) = 2/3$。
- $L(4) = 3/4$归功于J.-C. Sikorav，此结果由Tischler ([61])通过一个初等而巧妙的论证加以加强；另见[46]。
- Crane [23]利用可验证的区间算术证明了$L(5) = 4/5$。
- 迄今为止，Sendov和Marinov [51]利用强力的计算机数值估算了一个特定的复变量多元函数，将该猜想验证到了次数$n \leq 10$。

**(II) 在Smale的结果[56]之后，对一般次数的多项式得到了以下估计。**

- Beardon、Minda和Ng ([8] 2002)通过双曲度量证明了$L(d) \leq \frac{4(d-2)}{d-1}$；另见[28]。
- Conte、Fujikawa和Lakic ([18] 2007)通过对Bieberbach定理关于单叶映射第二系数的结果的巧妙反复应用，证明了$L(d) \leq \frac{4(d-1)}{d+1}$。
- Fujikawa和Sugawa ([33] 2006)通过结合上述两种方法，将界进一步改进为$L(d) \leq 4\left(1 + \frac{(d-2) \cdot 4^{1/(d-1)}}{d+1}\right)$。
- Crane ([22] 2007)通过对极值多项式的精巧估计，证明了当$d \geq 8$时，$L(d) < 4 - \frac{2.263}{\sqrt{d}}$。

到目前为止，Crane的结果是关于一般次数多项式的最佳已知界。然而，当$d$充分大时，$L(d)$的所有这些上界都渐近趋近于4。

**(III) 在许多特殊情形下获得了更好的界。** 例如，我们有以下结果。

- 如果$p$的所有临界点位于过原点的一条直线上，则$S(p) \leq e - 2$；见[46]、[52]。
- 如果$p$的所有临界点位于扇形$\{re^{i\xi} : r > 0, |\xi| \leq \pi/6\}$中，则$S(p) \leq 1/2$；见Hinkkanen和Kayumov [37]。
- 如果$p$的所有零点的模相等，则$S(p) = (d-1)/d$；如果所有临界点都是不动点，则$S(p) < 1$（Tischler, [61]）。
- 如果$p$的所有临界点的模相等，或者$p$的所有临界值的模相等[19]，或者对所有临界点值$p(\theta)/(\theta p'(0))$都相同，则$S(p) \leq 1$；见[22]。
- 对所有奇数次多项式，$S(p) \leq 2$（Ng, [44]）。

关于该问题还有许多进一步的结果和讨论；例如见[14]、[20]、[21]、[23]、[26]、[36]、[37]、[42]、[45]、[46]、[48]、[49]、[50]、[51]、[62]、[63]、[64]。关于对偶平均值问题，见[29]。

**注。** 本文提交四个多月后，Jatar和Ng发表了一篇预印本（arXiv:2608.27047v1），通过替代方法处理了该问题及其对偶问题，并得到了不同的结果。他们的结果与我们的不同，且二者互不蕴含。

## 3. 主要结果

我们考虑所有次数为$d$的单项式首一多项式$p$构成的族$\mathcal{F}$，归一化为$p(0) = 0$且$p'(0) \neq 0$；因此0是一个不动点但不是临界点。我们记临界点为$\theta_j$，其中$j = 1, 2, \ldots, d-1$。如果存在某个$j$使得$p(\theta_j) = 0$，则$S(p) = 0$，平均值猜想立即可得。因此只需进一步考虑$S(p) > 0$的情形，等价地，对每个临界点都有$p(\theta_j) \neq 0$。

我们将$\mathcal{F}$视为一个临界标记的解析族。在临界点坐标

$\lambda = (\theta_1, \ldots, \theta_{d-1}) \in X = (\mathbb{C} \setminus \{0\})^{d-1}$

下，对应的单项式首一多项式为

$p_\lambda(z) = dz \int_0^{d-1} \prod_{j=1}^{d-1} (u - \theta_j) \, du$

确实，$p_\lambda(0) = 0$且$p'_\lambda(0) = d \prod_{j=1}^{d-1} (-\theta_j) \neq 0$。因此$X$是一个维数为$d-1$的复流形，且临界点$\theta_j$被标记。下面定义的子族$\mathcal{F}_0$本身不一定解析。

我们定义$\mathcal{F}$的一个子族为

$\mathcal{F}_0 = \{p_0 \in \mathcal{F} : S(p_0) = \frac{1}{|p'_0(0)|}\}$

除了平凡情形$S(p) = 0$外，由以下关键观察可知，对平均值问题只需考虑子族$\mathcal{F}_0$。

**命题3.2** 对每个满足$S(p) > 0$的$p \in \mathcal{F}$，存在多项式$p_0 \in \mathcal{F}_0$使得

$S(p) = S(p_0) = \frac{1}{|p'_0(0)|}$

**陈述中使用的动力学术语。** 设$p$为次数至少为2的多项式。其第$n$次迭代记为$p^n$，$z$的正向轨道为$\mathcal{O}^+_p(z) = \{p^n(z) : n \geq 0\}$。如果存在$q \geq 1$使得$p^q(z) = z$，则称点$z$是周期的。如果存在$m \geq 0$和$q \geq 1$使得$p^{m+q}(z) = p^m(z)$，则称$z$是拟周期的；如果它是拟周期的但不是周期的，则称其为严格拟周期的。我们说$z$最终落在集合$U$中，如果存在$N \geq 0$使得$p^N(z) \in U$。

设周期轨道$\mathcal{O} = \{z, p(z), \ldots, p^{q-1}(z)\}$的最小周期为$q$，则其乘子为$(p^q)'(z)$。当其乘子的模小于或大于1时，分别称为吸引的或排斥的；当其乘子为0时称为超吸引的。当其乘子的模等于1时称为中性的，当其乘子为单位根时称为抛物性的。一个无理中性的周期点称为Siegel点，如果在该点的邻域内$p$的某次迭代与无理旋转解析共轭；否则称为Cremer点。对应的最大旋转域称为Siegel盘。

有限吸引周期$\mathcal{O}$的吸引盆为

$\mathcal{A}(\mathcal{O}) = \{z \in \mathbb{C} : \text{dist}(p^n(z), \mathcal{O}) \longrightarrow 0\}$

对于抛物周期$\mathcal{O}$，其抛物盆由Fatou集合中正向轨道收敛于$\mathcal{O}$的点组成。即时吸引盆是包含吸引周期中某点的吸引盆的连通分支；即时抛物盆是抛物盆中边界包含抛物周期中某点的周期性Fatou分量。无穷远盆为$\mathcal{A}(\infty) = \{z : p^n(z) \to \infty\}$。属于该集合的临界点称为逃逸到无穷远。

一个解析映射族在开集上称为正则的，如果该族中的每个序列都有子序列在该开集上在球面度量下局部一致收敛。Fatou集$\mathcal{F}(p)$是迭代族$\{p^n\}_{n \geq 0}$正则的最大开集，Julia集是其补集$\mathcal{J}(p) = \hat{\mathbb{C}} \setminus \mathcal{F}(p)$。后临界集为

$\mathcal{P}(p) = \overline{\bigcup_{p'(c)=0} \{p^n(c) : n \geq 1\}}$

如果一个多项式的每个临界点的正向轨道都是有限的，则称其为后临界有限（PCF）的。移位轨迹由所有临界点逃逸到无穷远的多项式组成。

对于解析族$(p_\lambda)_{\lambda \in X}$，标记临界点是满足$p'_\lambda(c(\lambda)) = 0$的解析映射$c: X \to \mathbb{C}$。如果存在固定整数$m \geq 0$和$q \geq 1$使得对每个$\lambda \in U$都有$p_\lambda^{m+q}(c(\lambda)) = p_\lambda^m(c(\lambda))$，则称标记点在开集$U \subset X$上是持续拟周期的。类似地，如果一个解析标记的周期点$z(\lambda)$的乘子的模对每个$\lambda \in U$都等于1，则称其在$U$上是持续中性的。

如果一个参数$\lambda \in X$满足每个标记临界点都严格拟周期于一个排斥周期，则称其为Misiurewicz参数。具体地，对每个临界点$c_j(\lambda)$，存在整数$m_j \geq 1$和$q_j \geq 1$，其中$m_j$是首次进入周期轨道的时刻，使得

$p_\lambda^{m_j + q_j}(c_j(\lambda)) = p_\lambda^{m_j}(c_j(\lambda))$

且$|(p_{q_j\lambda})'(p_\lambda^{m_j}(c_j(\lambda)))| > 1$。分岔测度$\mu_{\text{bif}}$是次数为$d$的标记临界点多项式在$(d-1)$维参数空间上分岔流的最大外幂的规范化。其构造以及在证明中用到的关于其支集的精确定理记录在第4节中。

运用解析动力学的方法和结果，我们提出两个相关的动力学问题，并为Smale平均值猜想提供部分解答。我们证明了该猜想对多项式参数空间中的若干重要类别成立。

### I. 两个动力学猜想与一个一般性结果

首先，Smale平均值猜想成立当且仅当以下猜想为真。

**猜想3.3** 对每个多项式$p_0 \in \mathcal{F}_0$，点0是一个非吸引不动点。

我们有以下一般性结果。

**定理3.4** 若$p_0 \in \mathcal{F}_0$满足其每个临界点$\theta$最终落在非零吸引周期点的盆中、抛物盆中、Siegel盘中或无穷远盆中，或者属于$p_0$的Julia集，则Smale平均值猜想对$p_0$成立，且$S(p_0) \leq 1$。

我们记$\mathcal{G}_0$为$\mathcal{F}_0$中满足定理3.4条件的所有多项式$p_0$构成的子族。因此，对$\mathcal{G}_0$中每个多项式$p_0$的每个临界点$\theta$，以下两种情形恰好有一种成立：

(I) $\theta$属于$p_0$的Fatou集并最终落在非零吸引周期点的盆中、抛物盆中、Siegel盘中或无穷远盆中；或者

(II) $\theta$属于$p_0$的Julia集。这包括$\theta$是拟周期的并落在排斥周期点上的情形，也包括其轨道闭包包含Cremer点或Siegel盘边界的情形。

如果以下密度猜想为真，则Smale平均值猜想成立。

**猜想3.5** $\mathcal{G}_0$在$\mathcal{F}_0$中稠密。

此处及以下，稠密性理解为继承自临界点参数空间$X$的子空间拓扑意义下的稠密。确实，如果猜想3.5成立，则对任意$p_0 \in \mathcal{F}_0$，存在$q_n \in \mathcal{G}_0$收敛于$p_0$。由定理3.4得$|q_n'(0)| \geq 1$，由连续性得$|p_0'(0)| \geq 1$。因此猜想3.3成立，再由命题3.2可得Smale平均值猜想。

### II. 关于μ_bif-几乎处处多项式的结果

在一维解析动力系统参数空间的研究中，DeMarco [24]引入了分岔流；另见[11]、[30]。后来，Bassanelli和Berteloot [6]研究了其高阶外幂。最大外幂的规范化称为分岔测度；另见[31]。更多细节见下一节。我们有以下结果。

**定理3.6** 设$\mu_{\text{bif}}$为族$\mathcal{F}$的分岔测度。则对每个参数$\lambda$属于$\text{supp}(\mu_{\text{bif}})$的$p_0 \in \mathcal{F}_0$，Smale平均值猜想成立，且$S(p_0) \leq 1$。此外，对$\mu_{\text{bif}}$-几乎处处的$p \in \mathcal{F}$，不动点0是排斥的，因此对$\mu_{\text{bif}}$-几乎处处的$p_0 \in \mathcal{F}_0$，有$S(p_0) < 1$。

### III.

关于后临界有限多项式的一个结果

如上定义的PCF多项式在多项式动力学中起着基础性作用；参见[5]。

推论3.1

Smale的均值猜想对每个PCF多项式 $p_0 \in F_0$ 成立，且 $S(p_0) < 1$。

IV. 关于移位轨迹的一个结果

如上定义的移位轨迹中的每个多项式都具有Cantor Julia集，且每个有限周期点都是排斥的。

推论3.2

Smale的均值猜想对移位轨迹中的每个多项式 $p_0 \in F_0$ 成立，且 $S(p_0) < 1$。

4. 多项式动力学背景

陈述主要结果所需的所有术语均在第3节中引入。我们现在按使用顺序，在多项式框架下，记录第5节所需的动力学结果。这避免了一般有理映射所需的额外概念。关于迭代理论的标准背景和更广泛的背景，参见[4]、[9]、[32]、[47]；关于以下稳定性术语所基于的全纯运动，参见[2]、[3]、[10]、[16]、[27]、[34]、[55]、[60]。

I. 单个多项式的动力学事实

设 $p$ 为次数 $d \geq 2$ 的多项式。我们使用以下标准事实；参见[7]、[15]、[43]、[59]。

(P1) Fatou连通分支的分类。每个Fatou连通分支最终都是周期的。每个有限周期Fatou连通分支要么是一个吸引周期的即时吸引盆，要么是一个抛物周期的即时吸引盆，要么是一个Siegel盘。无界周期连通分支是无穷远点超吸引不动点的吸引盆。

(P2) 临界轨道与吸引行为。每个有限吸引周期或抛物周期都吸引至少一个临界点的前向轨道。因此，如果没有临界轨道被吸引到某个有限不动点，则该不动点既非吸引的也非抛物型的。

(P3) 临界轨道与中性行为。每个Siegel盘的边界都包含在临界后像集 $P(p)$ 中，且每个Cremer点都属于 $P(p)$。这些包含关系是以下关于无理中性动力学所需的全部事实。

(P4) PCF情形。对于后临界有限多项式，每个有限的非排斥周期都是超吸引的，因此包含一个临界点。因此，每个不包含临界点的有限周期都是排斥的。特别地，每个非临界的有限不动点都是排斥的。

(P5) 移位轨迹。如果每个临界点都逃逸到无穷远，则每个有限周期点都是排斥的；在此情形下 $J(p)$ 是一个Cantor集。

让我们说明这些事实如何进入证明。由于0是$F$中每个多项式的有限不动点，当假设条件排除了其吸引盆中存在临界轨道时，(P2)排除了0为吸引点的可能性；这是定理3.4中的关键观察。在PCF情形下，由$F$的定义知0不是临界点，因此(P4)迫使它是排斥的。在移位轨迹中，同样的结论可直接由(P5)得出。最后，(P3)解释了为何Siegel和Cremer行为受临界后像集控制。因此，上述关于多项式的特殊陈述包含了第5节中使用的所有单映射动力学。

II. 多项式族中的稳定性与临界活动性

设 $(p_\lambda)_{\lambda \in X}$ 为次数为 $d$ 的多项式全纯族，其标记临界点为 $c_1(\lambda), \ldots, c_{d-1}(\lambda)$（计重数）。若存在 $\lambda_0$ 的某个邻域 $U$，使得Julia集通过共轭动力学的全纯运动移动：存在依赖于 $\lambda \in U$ 的全纯注入 $h_\lambda: J(p_{\lambda_0}) \to \hat{\mathbb{C}}$，使得 $h_{\lambda_0}$ 为恒等映射，$h_\lambda(J(p_{\lambda_0})) = J(p_\lambda)$，且在 $J(p_{\lambda_0})$ 上有 $h_\lambda \circ p_{\lambda_0} = p_\lambda \circ h_\lambda$，则称该族在 $\lambda_0$ 处稳定。这样的参数集合称为稳定轨迹；其补集称为分歧轨迹。直观地，当任意小的参数变化都能改变Julia集的行为时，该参数处于分歧轨迹中。

标记临界点 $c_j$ 在 $\lambda_0$ 处是**被动**的，若全纯映射族
$$\lambda \mapsto p_\lambda^n(c_j(\lambda)), \quad n \geq 0,$$
在 $\lambda_0$ 的某个邻域上是正规的；否则 $c_j$ 在该处是**活动**的。被动意味着相应的临界轨道随参数正规地变化，而活动则记录了该轨道的真正不稳定性。对于多项式族，参数稳定当且仅当所有标记临界点都是被动的；参见[38]、[39]、[40]。

此判据将单个临界轨道的动力学与参数空间的几何联系起来。例如，在某个邻域上持续的临界关系
$$p_\lambda^{m+q}(c_j(\lambda)) = p_\lambda^m(c_j(\lambda))$$
迫使该标记临界点在该处被动。相比之下，下面使用的Misiurewicz参数对排斥周期施加严格前周期关系，且在最大分歧测度的支集中稠密出现。

III. 分歧流与分歧测度

对每个 $\lambda \in X$，设 $\nu_\lambda$ 为唯一的 $p_\lambda$-不变Borel概率测度，其测度论熵为 $\log d$；这就是最大熵测度。Lyapunov指数定义为
$$L(\lambda) = \int \log \|Dp_\lambda(z)\| \, d\nu_\lambda(z).$$
这里 $\|Dp_\lambda(z)\|$ 是导数关于 $\hat{\mathbb{C}}$ 上一个固定光滑度量的范数。函数 $L$ 是全次调和且H?lder连续的。分歧流定义为
$$T_{\mathrm{bif}} := \frac{i}{2\pi} \partial \bar{\partial} L,$$
其中 $\partial$ 和 $\bar{\partial}$ 表示参数空间上的Wirtinger微分算子；参见[24]、[31]。DeMarco证明了 $\mathrm{supp}(T_{\mathrm{bif}})$ 恰好是分歧轨迹[24]。

在多项式情形下，该流也可以逐临界点描述。设
$$G_\lambda(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{d^n} \log^+ |p_\lambda^n(z)|$$
为 $p_\lambda$ 的逃逸速率函数。标记临界点 $c_j$ 的活动流为
$$T_{c_j} := \frac{i}{2\pi} \partial \bar{\partial} (G_\lambda(c_j(\lambda))).$$
其支集恰好是 $c_j$ 的活动轨迹。对于首一多项式族，DeMarco公式给出
$$L(\lambda) = \log d + \sum_{j=1}^{d-1} G_\lambda(c_j(\lambda)), \quad T_{\mathrm{bif}} = \sum_{j=1}^{d-1} T_{c_j};$$
参见[24]、[31]。这明确说明了为何分歧由临界轨道控制。

当 $X$ 的复维数为 $d-1$ 时，归一化最大外积幂即为分歧测度
$$\mu_{\mathrm{bif}} := \frac{1}{(d-1)!} T_{\mathrm{bif}}^{d-1}.$$
这是一个正测度，集中在分歧轨迹中临界活动同时发生的最强部分。我们不需要中间外积幂或其一般理论；参见[6]、[24]、[25]、[30]。关于分歧测度支集的更精细几何结果，参见[35]。

设 $\mathbb{P}_d$ 为 $d$ 次多项式的空间。其模空间 $\mathrm{Mod}(\mathbb{P}_d)$ 通过以下方式获得：对不可逆仿射映射 $A$，当 $q = A^{-1} \circ p \circ A$ 时识别多项式 $p$ 和 $q$。Dujardin和Favre明确处理了临界标记的 $d$ 次多项式的仿射参数空间。在上述归一化下，[31]中的命题6.14表明，在其参数空间上，
$$\mu_{\mathrm{bif}} = \frac{1}{(d-1)!} \left( \sum_{j=1}^{d-1} T_{c_j} \right)^{d-1} = T_{c_1} \wedge \cdots \wedge T_{c_{d-1}}$$
是一个正概率测度。每个 $d$ 次多项式都有一个有限的非临界不动点。事实上，一个临界不动点是 $p(z) - z$ 的单零点，因为在该处 $p'(z) - 1 = -1$。因此，如果每个有限不动点都是临界的，则 $d$ 次多项式 $p(z) - z$ 将有 $d$ 个不同的临界零点，而 $p$ 只有 $d-1$ 个临界点（计重数）。通过仿射坐标变换将一个有限的非临界不动点映到0，然后令多项式首一，即可得到 $F$ 中的一个代表。因此，临界标记族 $F$ 满射且一般有限地映射到临界标记多项式模空间。由于Dujardin–Favre测度不给解析子集赋权重，其拉回到 $F$ 上的测度是一个非零有限质量测度。特别地，$\mathrm{supp}(\mu_{\mathrm{bif}}) \neq \emptyset$。

我们使用Dujardin和Favre [31]的以下两条多项式推论。

(B1) Misiurewicz参数的逼近。$\mu_{\mathrm{bif}}$ 的支集是Misiurewicz参数集合的闭包。按第3节的术语，这意味着在每个逼近参数处，对每个标记临界点 $c_j$，存在整数 $m_j \geq 1$ 和 $q_j \geq 1$ 使得
$$p^{m_j + q_j}(c_j) = p^{m_j}(c_j), \quad |(p^{q_j})'(p^{m_j}(c_j))| > 1,$$
且 $c_j$ 本身不是周期的。因此Misiurewicz参数不是所有临界点都是周期的参数。

(B2) 典型扩张。对 $\mu_{\mathrm{bif}}$-几乎所有多项式，每个周期轨道都是排斥的。这给出了定理3.6中的几乎处处结论。

5. 结果的证明

本节我们给出主要结果的证明，这些证明基于全纯动力学的方法和结果。某些证明是该领域深刻结果的应用，而其他一些则涉及直接而详细的动力学论证。

猜想3.3与均值猜想等价。

我们先验证命题3.2。设 $p \in F$ 且 $S(p) > 0$。我们构造一个多项式 $p_0 \in F_0$ 使得 $S(p) = S(p_0)$。若
$$S(p) = \min_\theta \frac{|p(\theta)|}{|\theta p'(0)|} = \frac{|p(\theta_0)|}{|\theta_0 p'(0)|},$$
则选取 $a \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ 使得 $a^{d-1} = p(\theta_0)/\theta_0$，并定义
$$(5.1) \quad p_0(z) = \frac{p(az)}{a^d}.$$
多项式 $p_0$ 是首一的，其临界点为 $p'(\theta) = 0$ 的 $\theta/a$，且
$$p_0'(0) = \frac{p'(0)}{a^{d-1}}.$$
此外，
$$\frac{p_0(\theta/a)}{(\theta/a) p_0'(0)} = \frac{p(\theta)}{\theta p'(0)}.$$
因此 $S(p_0) = S(p)$，而 $a$ 的选取给出
$$(5.2) \quad S(p_0) = S(p) = \left| \frac{p(\theta_0)}{\theta_0 p'(0)} \right| = \frac{1}{|p_0'(0)|}.$$
因此 $p_0 \in F_0$。

由于(1.1)中的商在仿射映射的前置换合成和后置换合成下不变，我们有
$$(5.3) \quad S(p) = S(p_0) = \frac{1}{|p_0'(0)|}.$$
一方面，若0对每个 $p_0 \in F_0$ 都是非吸引不动点，则
$$(5.4) \quad S(p_0) \leq 1.$$
因此，当 $S(p) > 0$ 时，Smale的均值猜想由(5.3)和(5.4)推出；当 $S(p) = 0$ 时，该猜想平凡地成立。

另一方面，若Smale的均值猜想以一致界1成立，则对每个 $p_0 \in F_0 \subset F$，
$$S(p_0) = \frac{1}{|p_0'(0)|} \leq 1.$$
这完成了证明。

定理3.4的证明

只需证明不动点0不是吸引的。反设它是吸引的。由第4节的(P2)，其吸引盆吸引至少一个临界点 $\theta$ 的前向轨道。因此 $\theta$ 位于包含0的吸引周期的吸引盆中。这与定理的假设矛盾，因为该假设仅允许在吸引周期点非零时才存在吸引盆。故0不是吸引的，且 $|p_0'(0)| \geq 1$。由于 $p_0 \in F_0$，
$$S(p_0) = \frac{1}{|p_0'(0)|} \leq 1.$$

推论3.1的证明

设 $p_0 \in F_0$ 为PCF多项式。由$F$的定义，不动点0不是临界点。第4节的事实(P4)因此推出0是排斥的。故 $|p_0'(0)| > 1$，且
$$S(p_0) = \frac{1}{|p_0'(0)|} < 1.$$

定理3.6的证明

使用第3节中引入的临界标记参数化 $F = (p_\lambda)_{\lambda \in X}$。设 $p_0 = p_{\lambda_0} \in F_0$ 且 $\lambda_0 \in \mathrm{supp}(\mu_{\mathrm{bif}})$。由第4节的(B1)，存在Misiurewicz参数 $\lambda_n \to \lambda_0$。在每个 $\lambda_n$ 处，每个临界点都严格前周期地趋向排斥周期。事实(P2)–(P3)排除了吸引、抛物、Siegel和Cremer周期，因此 $p_{\lambda_n}$ 的每个有限周期轨道都是排斥的。特别地，
$$|p_{\lambda_n}'(0)| > 1.$$
第3节中的显式公式给出
$$p_{\lambda_n}'(0) = d \prod_{j=1}^{d-1} (-\theta_{j,n}) \longrightarrow d \prod_{j=1}^{d-1} (-\theta_{j,0}) = p_0'(0).$$
因此 $|p_0'(0)| \geq 1$，且由于 $p_0 \in F_0$，
$$S(p_0) = \frac{1}{|p_0'(0)|} \leq 1.$$
最后，(B2)指出对 $\mu_{\mathrm{bif}}$-几乎所有多项式，每个周期轨道都是排斥的。因此在这样的参数处，标记不动点0是排斥的，这证明了第二个结论。

推论3.2的证明

设 $p_0 \in F_0$ 属于移位轨迹。第4节的事实(P5)指出 $p_0$ 的每个有限周期点都是排斥的。特别地，$|p_0'(0)| > 1$，故
$$S(p_0) = \frac{1}{|p_0'(0)|} < 1.$$

6. 例子

考虑多项式 $p_{d,a}(z) = z^d + az$，其中 $a \neq 0$。在每个临界点 $\theta$ 处，有 $\theta^{d-1} = -a/d$，$p_{d,a}(\theta) = a(d-1)\theta/d$。因此
$$S(p_{d,a}) = \frac{d-1}{d}.$$
由此可得，当 $|a| = d/(d-1)$ 时，$p_{d,a} \in F_0$。前两个例子分别说明推论3.1和推论3.2，第三个例子说明定理3.6。

例6.1

对任意 $d \geq 2$，令 $p_d(z) = z^d + dz/(d-1)$。每个临界点 $\theta$ 满足 $\theta^{d-1} = -1/(d-1)$，因此 $p_d(\theta) = \theta$。故所有临界点都是固定的且超吸引的，从而 $p_d$ 是后临界有限的。此外，$p_d \in F_0$ 且 $S(p_d) = (d-1)/d < 1$，这与推论3.1一致。

例6.2

令 $p(z) = z^2 + 2iz$。其临界轨道始于
$$-i \longmapsto 1 \longmapsto 1+2i \longmapsto -7+6i.$$
一旦 $|z| > 4$，估计 $|p(z)| \geq |z|^2 - 2|z| > |z|$ 表明该轨道逃逸到无穷远。因此 $p$ 属于移位轨迹。由于 $p \in F_0$，我们再次得到 $S(p) = 1/2 < 1$，如推论3.2所述。

例6.3

令 $p(z) = z^2 - 2z$。在仿射坐标变换 $z = w + 1$ 下，该多项式共轭于 $q(w) = w^2 - 2$。$q$ 的临界轨道为
$$0 \longmapsto -2 \longmapsto 2 \longmapsto 2,$$
不动点2是排斥的。故 $q$，从而 $p$，是一个Misiurewicz多项式。由第4节中Dujardin–Favre刻画(B1)，其模空间类属于 $\mathrm{supp}(\mu_{\mathrm{bif}})$。由于 $p \in F_0$ 且 $|p'(0)| = 2$，我们直接得到 $S(p) = 1/2 < 1$，这说明了定理3.6的第一个结论。

结束语。

1. 对于均值问题，只需考虑命题3.2中更特殊的子族 $F_0$，而不必考虑整个多项式族 $F$。
2. 定理3.4是一个一般性结果，直接或间接包含了本文中的所有其他结果。
3. 均值问题可由猜想3.3（关于原点）连同密度猜想3.5推出。如本文所示，来自复动力学的各种工具、方法和结果现已适用，这可能会为解决Smale的均值猜想开辟一条新途径。

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