多元函数反函数任意阶偏导数的通用计算方法及其在数理统计中的应用

《Axioms》：The Derivatives of the Inverse of a One-to-One Multivariate Function

　　## 摘要考虑一个多元函数 $f$，它将 $\mathbb{R}^p$ 中的一个开区域映射到 $\mathbb{R}^p$，以及其反函数。本文提出了一种通用方法，用于求取反函数的任意阶偏导数，并以函数 $f$ 的雅可比矩阵的逆的偏导数表示。所得结果是局部的。仅需要求 $f$ 在某点的邻域内具有直至所关心阶数的连续偏导数，且在该点的雅可比矩阵非奇异，因此不需要全局一对一性。通过归纳法证明了反函数导数的递推关系。对反函数和逆雅可比矩阵的所有直至四阶的偏导数均推导了显式公式。建立了反函数的混合偏导数的对称性。讨论了计算代价：显式公式随阶数的增长呈阶乘级增长，而莱布尼兹型递推则为数值计算提供了多项式级别的计算代价。提供了一种用符号计算在 Python 中实现的递归方案，可计算任意阶导数，同时提供了一个程序，通过直接微分独立地验证显式公式。首先回顾了由 Withers、Nadarajah 和 Teal 在期刊《公理》中先前发表的单变量情形，恢复以贝尔多项式表示的已知结果。通过二维实例说明了该方法的应用。通过将有正则指数族（包括正则回归设定）中的极大似然估计纳入本文框架，并显式推导出偏差为 $O(n^{-2})$ 的偏差校正极大似然估计量，且该估计量与正态分布的精确计算结果进行了验证，从而展示了该方法在数理统计中的应用。