利用神经网络揭示量子混沌系统本征态中的半经典结构

《APS Open ScienceNEW》：Unveiling semiclassical structures in eigenstates of a quantum chaotic system using neural networks

　　

物理信息神经网络和神经量子态已经确立了一种新范式，通过受约束的神经参数化来分析并发现物理现象。在此背景下，我们研究量子混沌系统的本征函数的半经典结构是否可以通过无监督学习来揭示。为此，我们将一个"量子字典"训练为过完备自编码器，它稀疏地表示系统的本征态，并以量子面包师映射为例进行说明。对字典原子施加的唯一显式物理信息是它们在相空间中的局域化，而不提供任何关于相应经典系统周期轨道的信息。该模型在重建梯度优化中未使用的留出验证本征态时具有高保真度。通过将学习到的原子与独立构建的"半经典字典"进行比较，我们发现其中许多原子在短周期轨道周围形成了类似疤痕的Husimi密度集中。这一结果在两方面颇具意义：相空间局域化结合稀疏重建和字典多样性，能够从谱数据中恢复非平凡的半经典组织；同时，周期轨道也证实了它们在具有混沌经典动力学的量子系统本征函数结构中的基本作用。更一般地，我们提出的架构开辟了一条学习表示的途径，其原子可优化其他选定的物理性质。

一、引言

机器学习越来越多地被用于物理科学，不仅是作为高容量的插值器，还作为参数化手段，其解可以提供关于所研究物理现象的信息。物理信息神经网络（PINNs）通过将控制微分方程和边界条件纳入训练目标，引入这一原则的经典实现[1–3]。更广泛的科学机器学习程序还通过架构、坐标、对称性、守恒律和简单可解释模型来纳入物理信息。例如，非线性动力学的稀疏识别从数据中搜索紧凑的演化方程[4]，而基于自编码器的扩展则学习使这些动力学变得稀疏且可解释的坐标[5,6]。这些工作确立了适用于当前问题的一个有用原则：物理内容的恢复不是通过增加网络深度，而是通过限制可训练表示能够表达的内容。

量子多体物理中也出现了平行的发展。神经量子态（NQS）使用神经网络参数化波函数振幅并通过变分法进行优化。Carleo和Troyer开创性的受限玻尔兹曼机构建[7]之后，相继出现了强关联自旋和费米子系统中的应用[8]、精确和可系统改进的深度表示[9]、神经量子态层析成像[10]、对称自适应激发态[11]，以及具有精确采样的自回归架构[12]。最近的综述文章总结了由此产生的变分、动力学和数据驱动的量子态表示家族[13,14]。

本文开发的模型处于这两个程序的交汇之处，但需要精确定义其关系。它不是传统的PINN：没有最小化微分方程残差。它也不是传统的多体NQS，将物理自由度的构型映射到波函数振幅。相反，输入是一个完整的态矢量$|\psi\rangle$，网络学习一个共有的过完备量子态字典，用于分析和重建一组这样的矢量。因此，可训练参数本身即为归一化波函数。归一化复量子态字典同时用于本征态的分析和重建，通过稀疏表示实现。训练结合了全局相位不敏感的重建损失与正则化器，后者减少原子间的互重叠并促进它们的相空间局域化。因此，该模型构成了由物理约束引导的量子态神经参数化。

该设计基于稀疏编码和字典学习的原理。过完备字典可以使用少数活跃原子表示每个观测值，同时允许原子本身适应数据中的重复结构。对于自然图像，这种方法已被证明可以学习到识别局部模式的元素，例如不同方向的边缘，而无需预先引入这些信息[15]。后续工作发展了不同的方法来学习这样的字典并将其与神经模型关联[16–18]。我们的构建将这一逻辑转移到复量子态上，并以量子相空间中的局域化取代一般的局域性。因此，这里的核心问题不仅是字典是否重建了留出验证态，而是其原子是否获得了可识别的动力学意义。

量子混沌是一个良好的测试领域。在整个本文中，"量子混沌本征态"指的是其经典对应系统是混沌的量子系统的定态本征态；该术语并不意味着单个定态本征态随时间发生混沌演化。在下面研究的面包师映射情形中，完整的经典映射是均匀双曲的，其轨迹表现出混沌行为。尽管经典混沌系统的本征态是广泛扩展的，但它们的相空间结构并非毫无特征。Heller发现量子疤痕，显示了量子概率围绕短不稳定周期轨道的异常集中[19]。尽管经典混沌系统是遍历的，一般轨迹均匀填充可用相空间，但它们还具有一个测度为零的不稳定周期轨道的稠密集。Heller发现，如果满足适当条件，量子干涉使波包在周期轨道周围有效停留的时间比经典动力学对邻近初始条件的预测更长。我们可以将此行为分解为定态本征态；这揭示了对否则扩展波函数的修正。事实上，带疤痕的本征态具有底层不稳定经典轨迹的印记。

半经典描述通过平滑波函数、相空间构建和线性和非线性回归理论发展而来[20–23]。随后，短周期轨道方法[24–26]产生了围绕与经典轨迹相关的双曲结构局域化的疤痕函数。这些函数已被用于构建高效的半经典基组，用于计算混沌系统的本征态和分子振动态[27–29]。

在我们的语境中，自然的下一步是询问：从一个受约束的稀疏字典学习目标中涌现出的局域化构建模块——在不施加周期轨道信息的情况下——是否可以被识别为半经典对象。训练完成后，我们独立构建一个疤痕函数字典，并直接在希尔伯特空间中与学习到的原子进行比较。我们发现，学习到的原子显示出与独立构建的疤痕函数类似的相空间结构，并在相关周期轨道结构周围发展出Husimi密度集中。这里"类似疤痕的"指的是这种相空间形态，并不意味着学习到的原子在技术半经典意义上是疤痕函数。此外，两个字典在本征态集合上显示出相似的中位投影参与数。

本文的组织如下。第二节定义了我们研究中所用示例的经典和量子面包师映射。第三节介绍与学习原子进行比较的周期轨道和疤痕态的构建。第四节介绍神经量子字典、损失函数以及训练和验证协议。第五节介绍重建结果和原子-疤痕比较。第六节将结果置于物理信息机器学习、NQS、稀疏编码和半经典理论的框架中，并确立当前证据的局限性。

二、经典和量子面包师映射

A. 经典面包师映射

面包师映射是我们方法的理想试验场。其经典动力学是均匀双曲的，其周期轨道具有精确的二进制符号编码，其量子版本保留了更一般混沌系统的干涉和对称现象[30,31]。此外，涉及中等计算负载的大规模计算可以进行。量子面包师映射的显式周期轨道基是已知的[32]。更广泛地，物理感知的神经架构已被证明在识别和量化量子相空间中的局域化方面非常有用[33]。

在单位环面$T^2$上工作，面包师映射为

$$F:\begin{cases} (x,y)\mapsto (2x \mod 1, \frac{y}{2}) & \text{if } x < \frac{1}{2}, \\ (x,y)\mapsto (2x - 1, \frac{y}{2} + \frac{1}{2}) & \text{if } x \geq \frac{1}{2}. \end{cases} \tag{1}$$

即，它沿$x$方向拉伸2倍，沿$y$方向收缩2倍，并将正方形的右半部分堆叠在左半部分之上。每次迭代的李雅普诺夫指数为

$$\lambda = \ln 2. \tag{2}$$

在每次迭代中，符号$s \in \{0,1\}$表示轨迹访问了映射的哪两个分支。一个有限二进制字符串$s_1 s_2 \cdots s_n$如果其延续未指定，则确定相空间的一个区域。然而，当周期重复时，它确定一个周期-$n$点。在数值构建中使用的约定下，该点为

$$x_n = \frac{1}{2^n + 1}(2 \cdot N(s) + 1), \quad y_n = \frac{1}{2^n + 1}(N(\bar{s}) + 1), \tag{3}$$

其中$N(s)$表示由二进制字符串代表的整数，$\bar{s}$是反向字符串。其余点$x_k, y_k$（$k=1,\ldots,n-1$）通过应用式(1)获得。循环排列标记相同的轨道。疤痕生成器仅保留原始字符串，并用其字典序最小的轮换表示每个循环类。

B. 反周期量子化

设$n$为偶数，设$\{|x_m\rangle\}$为离散位置基，具有反周期网格点

$$x_m = \frac{m}{n}, \quad m = -\frac{n}{2}, \ldots, \frac{n}{2}-1. \tag{4}$$

我们设置环面面积和普朗克常数使得$\hbar = \frac{2\pi}{n}$。反周期离散傅里叶矩阵为

$$\tilde{F}_{m,k} = \frac{1}{\sqrt{n}} e^{2\pi i m k / n}, \tag{5}$$

其中$m, k \in \{-\frac{n}{2}, \ldots, \frac{n}{2}-1\}$。Balazs-Voros-Saraceno量子面包师算子为

$$\hat{B} = \frac{1}{\sqrt{2}} \tilde{F}^{-1} \left[ \sum_{j=0}^{1} |j\rangle\langle j| \otimes S_j \right] \tilde{F}, \tag{6}$$

它是幺正的，量子化了两个经典分支，同时保持反周期边界条件所提供的宇称对称性[30,31]。

本征态和本征相位由以下关系定义：

$$\hat{B}|\psi_j\rangle = e^{i\theta_j}|\psi_j\rangle. \tag{7}$$

由于$\hat{B}$是幺正的，其本征态可以选为归一化且相互正交的。每个本征态由一个任意的全局相位确定，这不影响物理可观测量。

C. 相空间表示

为在相空间中表示量子态，我们计算其在以每一点$(x,y)$为中心的相干态上的投影所得到的Husimi密度。由于相空间是具有反周期边界条件的环面，高斯波包必须使其周期化。在位置基中，环面相干态的形式为

$$|\xi_{x_0,y_0}\rangle = \mathcal{N} \sum_{m} e^{-\frac{(x_0 - x_m)^2}{4\Delta^2}} |x_m\rangle, \tag{8}$$

其中$\mathcal{N}$是归一化常数。求和包含了以$(x_0, y_0)$为中心的单波包的周期性镜像。归一化态$|\psi\rangle$的Husimi密度定义为

$$H_\psi(x_0, y_0) = \frac{1}{2\pi\Delta^2} |\langle \xi_{x_0,y_0}|\psi\rangle|^2, \tag{9}$$

我们在整个研究中都使用这一定义。

三、半经典疤痕字典

疤痕字典独立于神经优化生成。其构建遵循文献[24–27,29,32]的短周期轨道哲学：首先构建以轨道为中心的管道态，然后执行有限时间的前向和后向传播。

A. 周期轨道模式

对于周期为$n$的轨道上的点$(x_n, y_n)$，定义实现中使用的一步生成作用量

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left[ (2x_k - s_k - 1/2) \cdot \frac{y_k - s_k}{2} \right], \tag{10}$$

以及总轨道作用量

$$S_{\text{total}} = \sum_{k=0}^{n-1} S_k. \tag{11}$$

对于$n$，与周期轨道模式（POM）相关的准能量为

$$\epsilon = \frac{S_{\text{total}}}{n} \mod 1. \tag{12}$$

记$\alpha = n \cdot \epsilon \mod 1$，未归一化的POM，即管道函数，为

$$|\text{POM}\rangle = \sum_{k=0}^{n-1} e^{2\pi i k \alpha} |\xi_{x_k, y_k}\rangle. \tag{13}$$

状态在相干波包求和后进行数值归一化。

B. 离散对称性

面包师映射具有反射和时间反演对称性。在此处使用的数值表示中，它们的作用为

$$\hat{\mathcal{R}}|s\rangle = |\bar{s}\rangle, \quad \hat{\mathcal{T}}|s\rangle = |\bar{s}\rangle, \tag{14}$$

其中$\hat{\mathcal{R}}$表示位置基中的复共轭。反射将二进制字符串映射为其按位补，而时间反演反转字符串的顺序。设$\approx$表示在循环轮换下相等，并简写$\overline{s \approx \bar{s}}$。代码将四个符号类$s$、$\bar{s}$、$\overline{s}$和$\overline{\bar{s}}$分组，保留遇到的第一个字典序代表元，然后构建

$$|\text{POM}_{\text{sym}}\rangle = \frac{1}{2} \left( |\text{POM}\rangle + \hat{\mathcal{T}}|\text{POM}\rangle \right) \quad \text{or} \quad \frac{1}{2} \left( |\text{POM}\rangle - \hat{\mathcal{T}}|\text{POM}\rangle \right). \tag{15}$$

每个候选项分别归一化。式(15)字面地描述了实现的分支；特别地，循环排列被丢弃。

C. 有限时间疤痕函数

式(15)产生的每个POM候选项进行传播，并由高斯时间窗调制：

$$|\text{scar}\rangle = \sum_{t=-T_{\max}}^{T_{\max}} w(t) \hat{B}^t |\text{POM}\rangle, \tag{16}$$

我们使用

$$w(t) = e^{-t^2/(2\tau^2)}, \quad \tau = \frac{1}{2} \frac{\ln n}{\ln 2}, \tag{17}$$

并归一化式(16)。时间尺度是对数埃伦费斯特时间的一半，以映射迭代次数计。按递增周期访问原始轨道类。在每个周期内，字符串按其二进制值排序，对于每一个，考虑$\alpha$的递增值。当已追加了$N_{\text{scar}}$个态时立即停止生成。使用所有周期不超过7的轨道生成的所有疤痕函数，而周期8仅部分考虑。

四、物理信息神经量子字典

我们的目标是学习一组能够表示本征态同时保持个体可解释性的函数。因此我们使用字典形式的神经架构：隐空间中的每个单元都关联一个量子态，我们称之为原子。对于每个输入态，编码器先将该态投影到学习到的原子上，给出初始重叠系数$a_i$。这些重叠用于启动稀疏残差选择过程；每选择一个原子后，解码器通过复最小二乘法重新计算所有活跃系数。可训练的波函数仍然是所有本征态共享的单个学习字典。

该架构是过完备自编码器，因为隐空间维度$D$大于输入态维度$n$。因此，原子在严格意义上不构成基，而是过完备字典，使用少数活跃元素表示每个态。

"neural"（神经）一词表明该字典是通过训练神经网络学习得到的，而其量子性质和物理启发性则源于对复数态的处理，并将重构、相空间局域化以及原子间相互重叠的控制纳入损失函数。该构造与稀疏编码和字典学习[16–18]相关，处于量子态的神经表示这一更广泛的框架之中[7,13,14]。

A. 过完备字典与 OMP-LS 稀疏推断

此处，OMP 表示正交匹配追踪，LS 表示最小二乘。OMP 是一种贪心稀疏逼近方法：它逐个选取字典元素，依据的是其与当前残差的相关性，然后通过求解活跃支撑集上的最小二乘问题来正交化该近似[34,35]。

输入为归一化态。设 为原子 在位置基下的分量。字典由矩阵表示 (20)，其中复数向量 包含可训练参数，且每个原子 均保持归一化。在本文考虑的模型中， ，因此该字典为过完备字典。

第一个编码器操作与先前架构中所使用的投影相同：将输入本征态投影到所有原子上。在本架构中，这些初始重叠度不保留作为最终系数；它们仅决定第一个活跃原子。在第一次重构之后，将相同的投影操作应用于残差。对于一般向量 ，复数相关性为 (21)。第一步中 ，在后续步骤中，用残差 替换 后应用相同的公式。

B. 残差 OMP 支撑集与最小二乘解码器

设 和 。在第 次迭代中，支撑集通过以下方式扩展 (22)。每次更新支撑集后，所有活跃系数通过复数最小二乘问题重新计算 (23)。等价地，若 以选中的原子作为列，则 ，其中包含求解过程中使用的小数值岭正则化。最终解码器为 (24)。

方程 (24) 不是正交投影器，因为字典是过完备的且通常非正交。因此，潜在表示被限制在通过残差匹配选择并由最小二乘联合去偏的 个复数系数上，从而对每个态施加了稀疏表示。图 1 总结了完整的计算过程。

图 1. 架构与字典比较方案。(a) 归一化的量子 baker 本征态由其实数分量及其 Husimi 密度表示。该稀疏字典网络的宽度为 ，其中 。活跃支撑集由残差相关性选取，类似于复数正交匹配追踪，解码器通过最小二乘重组所选原子来重构该态。训练过程结合了相位不敏感的重构损失、字典重叠多样性和相空间局域化损失。(b) 学习得到的斑痕字典和独立构建的斑痕字典为同一本征态提供了两个过完备表示。每侧展示的六个元素是在训练后根据 Husimi 密度形态选择出的原子-斑痕配对。训练后，两个字典通过 进行比较。

C. 相位不敏感重构损失

在比较原始态及其重构之前，对两者进行归一化： (25)。由于仅差一个全局相位的两个态表示同一物理态，我们通过以下方式对齐重构的相位 (26)。相位对齐后，重构损失为两个态之间的均方距离： (27)。原始态与其重构之间的保真度为 (28)。对于每个态，损失与保真度之间的关系为 (29)。因此，最小化损失等价于最大化保真度，与表示态所选择的全局相位无关。

D. Gram 重叠正则化

设 (30) 为字典的 Gram 矩阵。Gram 重叠损失定义为 (31)。它抑制重复或几乎平行的原子。它不强制施加正交基：当 时，在 中不存在 个相互正交的非零向量。事实上，Welch 界蕴含对于单位范数原子有 (32)[36]。因此，该术语应被解释为过完备框架的 Gram 重叠多样性正则化器。

E. 相空间局域化正则化

为偏好局域化原子，我们在一组相干态 上评估其 Husimi 密度。对于原子 ，我们定义 (33)。该分布的参与数为 (34)。设 为相干态对应的值，它设定了参考局域化尺度。归一化泛函及其在字典上的平均值为 (35)。最小化 偏好与相干态相当的相空间支撑，而不引入关于周期轨道的信息。

F. 目标函数与训练方案

总目标函数结合了上述三项贡献： (36)。权重 和 分别控制原子相对于重构质量的多样性和局域化。主要模型参数总结在表 I 中。

表 I. 模型和半经典比较的主要参数。

| 参数 | 值 |
|------|------|
| Hilbert 空间维数 | 242 |
| 学习到的原子数 | 290 |
| 活跃原子数 | 20 |
| 训练/验证态数 | 218/24 |
| 稀疏推断规则 | OMP 残差选择 + LS |
| 斑痕函数数 | 290 |
| 达到的最大轨道周期 | 8 |
| 斑痕传播截断 | 20 |

对于 ，使用 218 个本征态进行训练，24 个用于验证。后者从字典的梯度优化中留出，使我们能够评估训练损失之外的验证态上的重构。在模型开发期间，验证集也用于选择超参数折中方案。这些验证态未用于字典原子的梯度更新，且未向网络提供任何有监督物理标签、目标斑痕函数、周期轨道位置、符号编码或原子-斑痕匹配信息。因此，学习过程相对于后来仅用于比较的半经典结构是无监督的。验证集起着标准的模型选择准则作用，类似于其在早停中的应用：它在调整超参数的同时测试字典是否能重构训练优化集之外的态。

我们并未单独最大化验证保真度。所选模型在重构质量、相空间局域化、原子多样性和与斑痕函数字典同数量级的字典大小之间取得平衡。特别地，增加过完备度可以产生高度局域化的类似相干态的框架，但会改变与半经典斑痕字典的比较。因此，所报告的验证保真度衡量的是该选定折中方案下训练优化集之外的重构，不应被解释为完全独立的测试集估计。

我们还通过重复训练检查了局域化权重的作用，使用相同架构并固定所有其他超参数，同时将 从 0 变化到 。这一辅助扫描显示出预期的权衡：增加 会降低原子最终的平均 Husimi 范数比，而过强的局域化压力会降低验证保真度并增加其离散度。因此，下文使用的值是一个折中，相对于 的对照实验大幅改善了局域化，同时保持了可接受的稀疏重构。

V. 结果

本文的主要结果是，所提出的架构学习到了本征态的表示，该表示使用一组共同的原子，其性质可以在训练过程中控制。在这种情况下，除要求原子仅使用少数活跃元素来重构本征态外，我们还偏好它们在相空间中的局域化。斑痕函数同样是局域化态，但由周期轨道构建。这种联系促使了以下分析：我们首先验证学习到的字典是否能充分重构本征态，然后研究网络获得的局域化原子是否显示出与斑痕函数类似的结构。

A. 留出的验证本征态的稀疏重构

训练完成后，网络以高保真度重构了在字典梯度优化中未使用的留出验证本征态。这些态的平均保真度为 (37)，样本标准偏差为 0.0584644，中位数为 0.8914293，最小值为 0.6786816，最大值为 0.9455745。大多数验证态以高保真度重构，而较大的离散度则识别出在此固定值下少数较难的态。因此，学习到的原子字典不仅仅表示训练态，而是在字典大小、局域化、多样性和保真度之间所选定的折中方案内重构了优化集之外的态。

我们进一步通过将最低保真度的验证态投影到独立构建的斑痕函数字典上来检查它们。当 和 时，三个最低保真度的验证态 ，平均保真度为 ，平均 为 ，平均最佳单个斑痕函数重叠度为 。三个最高保真度的验证态 ，平均保真度为 ，平均 为 ，平均最佳斑痕函数重叠度为 。字典中包含的最大周期 所承载的斑痕投影权重的比例 ，在两组中相当，分别为 和 ，且宇称扇区也是混合的：最低保真度的三态包含一个 态和两个 态，而最高保真度的三态包含两个 态和一个 态。因此，异常值不能由单一宇称扇区或斑痕字典中最长周期的明显主导地位来解释。它们更符合分布更分散的斑痕函数内容，而后者更难用固定的 稀疏重构来重现。由于斑痕函数字典是非正交的且在周期 处截断，这应被视为一种诊断方法，而非完整的周期轨道分解。

图 2 展示了这种能力适用于结构差异很大的本征态。前两个验证示例，显示在面板 (a)–(d) 中，在相空间中是局域化的，而第三个示例，面板 (e) 和 (f)，显示出更加扩展的 Husimi 分布。尽管字典原子被约束为局域化，但它们的稀疏组合正确地重构了这两种类型的态，如图 (b)、(d) 和 (f) 所示。该结果表明，量子混沌系统本征态的全局扩展可以源于少数局域化结构的叠加。正如我们在下一小节中所示，这些结构围绕短周期轨道组织，表明即使在后者在相空间中呈现离域化的情况下，这样的轨道仍然是本征函数的重要组成部分。

图 2. 三个验证本征态的 Husimi 密度[左列；面板 (a)、(c) 和 (e)]及其 OMP + 最小二乘稀疏重构[右列；面板 (b)、(d) 和 (f)]。所有六个面板使用一个共同的色标。所选态的索引为 63、208 和 232；其保真度分别为 0.9456、0.9431 和 0.9187。学习到的 个原子中仅有 个对每次重构有贡献。

B. 学习到的原子与斑痕函数的比较

在整个比较过程中，我们区分三个对象。量子 baker 本征态是由字典表示的目标态；斑痕函数是独立构建的、与短周期轨道相关的半经典态；学习到的原子是在不使用周期轨道数据的情况下获得的可训练字典元素。我们仅在某个学习到的原子的 Husimi 密度显示出与斑痕函数相同的、围绕周期轨道结构组织的浓度分布时，才称其为"类斑痕"的。这一术语并不意味着该原子在半经典构造中是斑痕函数。

对于每个学习到的原子和斑痕函数，我们计算 (38)。相空间图像处理不进入 Hilbert 空间重叠矩阵的计算。图 3 中显示的 Husimi 密度相似性 是一个独立的相空间形态诊断指标。在与绘制 Husimi 密度相同的离散网格上，我们定义 (39) (40)。

图 3. 三个学习到的原子[左列；面板 (a)、(c) 和 (e)]以及训练后使用 Husimi 密度相似性 选择出的独立生成的斑痕函数，辅以轨道对齐偏好和实质性的 Hilbert 空间重叠[右列；面板 (b)、(d) 和 (f)]。相关的周期轨道叠加在每个斑痕的 Husimi 密度上。从上到下，配对分别为 、(128, 37) 和 (147, 186)，平方重叠度分别为 0.6659、0.5057 和 0.6893。标记轨道的二进制字符串分别为 000011、00011 和 0001001。它们的 Husimi 密度相似性分别为 0.903、0.876 和 0.871。

除以最大值去除了每个图的任意强度尺度，而平方运算突出了明亮的相空间结构并抑制了弱背景。因此， 比较的是 Husimi 形态，不应与 Hilbert 空间重叠度 混淆。图 3 中展示的示例是在训练后使用该 Husimi 密度相似性选择的，并辅以偏好周期轨道穿越明亮 Husimi 区域的案例，以使视觉上的类斑痕结构清晰。该选择仅影响图 3 中的代表性面板；下文的定量统计是从完整矩阵 计算的。

图 3 展示了三个高相似性示例。每个学习到的原子的周期性脊和最大值与其斑痕函数及其底层周期轨道的对应特征对齐。

这绝非平凡，因为周期轨道位置、符号编码、作用量以及对称性标签均未包含在神经目标中。

重叠值的解释必须结合构建两个字典的不同条件。疤痕函数被明确地进行了对称化处理，而半经典字典是由短周期轨道构建的。因此，它们的Husimi密度强烈集中在轨道结构周围，偏离轨道区域几乎没有强度，如图 (b) 和 (f) 以及图 (d) 中心区域所示。相比之下，学习得到的原子不受任何对称性约束，也不接收关于轨道的信息。它们仅被鼓励局部化，并在整体上重构本征态。因此，尽管它们重现了主要的疤痕脊，但可能在局部区域之外保留涨落。在所举的例子中，原子 (c) 和 (e) 显示出残差中心涨落，而对应的疤痕函数中这些涨落更弱或缺失；同时原子 (a) 在图 (b) 突出显示的同一经典周期轨道结构周围具有微小的额外强度。这些差异即使在两个态的局部结构非常相似时，也会降低全局重叠。

此外，对应关系未必是一一映射。某些原子可能仅表示疤痕函数结构的一部分，而若干原子的组合可以恢复相似的全局形状。对于过度完备的稀疏字典而言这是自然的，因为与同一经典结构相关的信息可以分布到多个元素中。从这个角度来看，接近0.5的平方重叠值相当可观：它们在未施加周期轨道或对称性约束的情况下涌现，并且尽管在局部化区域之外存在差异。

完整的重叠矩阵呈现宽泛分布而非一一映射。其最大值为0.741 091。对于每个原子，其平均值为0.229 053，中位数为0.200 598；在290个原子中，234个超过0.1，145个超过0.2，70个超过0.3。反过来，在290个疤痕函数中，285个至少有一个重叠值超过0.1的原子。这些统计结果支持了分布式疤痕类组织的涌现，但并不意味着两个字典元素之间存在精确对应。

C. 全局表示效率

为了在不重新训练系数的情况下将两个字典在同一任务上进行比较，设 表示归一化学习原子集合或归一化疤痕函数集合。对于每个本征态 ，我们计算它在每个字典所有元素上的投影：

并定义由这些权重得到的有效参与：

该量估计有多少个字典元素对本征态的表示做出了显著贡献。如果单个投影占主导，则 ；如果权重均匀分布在 个元素上，则 。因此，小值表示表示集中在少数元素上，而大值则对应更分布式的表示。

该程序为学习字典产生了242个 值，为疤痕字典产生了另242个值。图4使用归一化直方图展示两组集合。为了直接比较，两个子图使用相同的区间和纵轴刻度。区间宽度通过对两组集合的并集应用Freedman-Diaconis规则选择：

其中 为四分位距， 为考虑的值的总数 [37]。虚线表示各分布的中位数。

图4. 在所有 个量子面包师本征态上，(a) 学习字典和(b) 独立构建的疤痕字典的有效投影参与 的分布。虚线标记中位数，分别为2.427和6.585。对应的均值分别为3.991和6.603。请注意字典是非正交的，因此该度量不反映精确展开。

图4显示，对于当前优化后的架构，学习字典的中位投影参与小于疤痕字典。特别地，学习原子对大部分本征态集合形成了更集中的投影表示，而疤痕字典提供了稳定的半经典参考。

学习分布中仍然存在向较大 值方向延伸的小尾部。一种可能的解释是，原子既未经过对称化处理，也不是由截断的短周期轨道集合构建的。通过直接从本征态学习，它们可能间接纳入了其他动力学结构以及疤痕字典中未包含的轨道的贡献。这些信息可能分布在更多原子中，使得某些本征态的表示略微不那么集中。尾部反映了这一差异，而小 处的主峰表明新架构学到了在该投影诊断下非常高效的原子。

有两个必要的限定条件。首先，在当前运行中两个字典的基数相同，即290个学习原子和290个疤痕函数。其次，对于非正交的过度完备字典，投影 是分析系数，而非唯一的展开系数。因此，公式(42)是一个全局集中性诊断指标，而非最小支撑表示问题的解。

我们还测试了这些结论对于字典随机初始化的稳定性。保持训练/验证划分和所有超参数不变，我们使用五个独立种子重复了完整训练。验证保真度仍保持在约0.86–0.90的范围内，最终平均原子范数比保持在40–41左右，最佳原子-疤痕重叠的分布保持稳定：中位数 仍接近0.2，大约四分之一的原子高于 。由于过度完备的非正交字典不具有唯一可辨识性，不同种子间的单个原子不必一一对应；稳健的结果是局部化疤痕类结构的统计涌现。由我们的模型产生的字典统计信息总结在表II中。

表II. 最终学习字典的统计摘要。原子-疤痕条目为希尔伯特空间平方重叠。

| 量 | 值 |
|---|---|
| 平均训练保真度 | 0.999 291 |
| 平均验证保真度 | 0.876 410 |
| 验证保真度中位数 | 0.891 429 |
| 验证范围 | [0.678 682, 0.945 575] |
| 最大原子-疤痕重叠 | 0.741 091 |
| 每个原子的最佳疤痕重叠均值 | 0.229 053 |
| 每个原子的最佳疤痕重叠中位数 | 0.200 598 |
| 最佳重叠 的原子数 | 234/290 |
| 最佳重叠 的原子数 | 70/290 |
| 中位数，学习 | 2.427 |
| 中位数，疤痕 | 6.585 |

VI. 讨论与结论

本工作的主要成果是一种搜索本征态族公共表示的方法，其元素在重构本征态的同时优化预先选定的物理性质。此处的神经架构并非产生难以解释的内部表示的黑箱。其可训练参数直接就是字典原子，即可以在相空间中可视化并与已知物理构造进行比较的波函数。

这种可解释性源于架构本身。稀疏支撑通过与当前残差的重叠迭代构建，一旦选定支撑，解码器便通过最小二乘法重新计算所有活跃系数。因此，模型学习了一个所有本征态共享的过度完备集，而非为每个本征态学习独立的表示。对于未参与训练的状态获得的高保真度表明，字典捕捉了公共结构，而不仅仅是记忆训练集中使用的集合。

在本例中，我们选择相空间局部化作为原子应被偏好的性质。最相关的物理结果是：相空间局部化与稀疏重构及原子多样性正则化的结合，使得围绕短周期轨道组织的结构得以涌现。网络并未获得轨道位置、作用量、符号编码或疤痕函数的对称性信息。因此，相似性作为本征态本身结构的后果而出现。这加强了将周期轨道视为具有混沌经典动力学的量子系统的本征函数的组织元素的解释，即使后者呈现扩展的相空间分布。更准确地说，局部化约束仅依赖于Husimi参与数，因此忽略原子在相空间中的集中位置。网络始终收敛到周期轨道而非一般的局部区域这一事实，是混沌本征态内在结构的结果。这些本征态由跨越相空间统计均匀的无特征随机高斯背景与叠加其上的系统性涨落——即量子疤痕——组成，后者专门与不稳定周期轨道相关联。放置在一般区域的局部原子仅捕获不相关的噪声，这种噪声从一个本征态到另一个本征态变化，因此对降低整个训练集上的全局重构损失贡献极小。而放置在周期轨道上的原子则捕获在不同本征态间反复出现的相干共享特征，从而在稀疏性与表示力之间提供更好的权衡。这表明周期轨道构成了混沌量子态在信息论意义上的最优稀疏编码基：它们不仅是遍历性的残差修正，而是优化后存留的主要相干结构。从这个角度看，我们的数据驱动结果为半经典理论提供了重新诠释，将半经典方法中周期轨道的选择重新表述为局部化约束下最优稀疏表示的自然对应物。

不同约束的组合是不可或缺的。稀疏重构要求相同的原子反复参与许多本征态；局部化阻止这些原子变成缺乏明确解释的扩展组合；而Gram重叠正则化鼓励字典探索不同结构，而非积累冗余元素。这些条件共同选出了必须集体上适用于描述完整本征态族的局部化函数。原子的详细形态未被预先规定，而是在学习过程中涌现。

与疤痕函数的比较使我们能够识别这种形态的物理意义。不应期望精确的一一对应：疤痕函数经过对称化处理并由截断的周期轨道集合构建，而学习原子不受这些条件的约束。一个原子可能表示形变的疤痕函数、疤痕函数的一部分，或结合不同轨道贡献的结构。尽管存在这些差异，重叠值、Husimi形状和参与分布均表明两个字典组织了相同的半经典结构，而在本次运行中优化后的学习字典给出了更集中的投影-参与分布。

在学习字典参与分布中观察到的尾部也指向了一个具有物理暗示的差异。由于原子不受对称化或最大轨道周期限制，它们可能间接纳入了更广泛轨道和动力学结构的贡献。对于某些本征态，这些信息可以产生长尾，尽管中位参与值小于疤痕字典。

这种方法之所以可行，是因为它结合了通常在完全不同语境中出现的思想。从物理信息学习中，它采纳了将物理知识融入模型约束的原则 [1,2]；从神经量子态中，采纳了通过可训练架构参数化波函数的方法 [7,13,14]；从字典学习中，采纳了过度完备性、稀疏性和每个元素的可解释性 [15–18]。短周期轨道理论最终提供了识别所发现结构的物理框架 [24,27,29]。贡献并不仅仅是将这些工具结合在一起，而是利用它们将期望的物理性质转化为对可直接解释的神经表示的约束条件。

在开发过程中，探索了不同的希尔伯特空间维数和不同的超参数值。这些探索表明，局部化原子的出现及其疤痕类组织并非取决于某个孤立的参数选择。最终超参数使用留出的验证态作为指引来选择，以平衡保真度与局部化及过度完备性。这种对验证数据的使用是一个模型选择步骤，而非有监督物理标签的来源；因此验证集并非完全独立的测试集。此处呈现的配置使得可以清晰地展示机制，并对两个字典进行详细比较。

同样的思想可以推广到局部化之外。目标函数可以偏好对称性、可观测量的规定值、在经典区域的集中，或适应所研究系统的其他性质。该架构因此提供了一种通用策略，用于搜索最能表示一族态的构建模块，同时最大化或最小化具有物理意义的量。

将其应用于混沌台球系统、分子振动态、开映射以及多体相空间，将使学习到的字典能够作为发现和比较递推物理结构的工具。

综上所述，我们提出了一种神经网络架构，用于搜索一组量子态的可解释表示，同时控制其元素的物理属性。该网络学习一个共享的过度完备字典，其原子是显式的波函数。通过要求这些原子稀疏重构本征态，同时在相空间中保持局域性，我们获得了一个紧凑的表示，可在选定的超参数折中方案内，重构未参与梯度优化的留出验证态。核心的物理发现是：在稀疏重构问题中，若施加原子多样性正则化，对原子施加相空间局域性约束将导致结构围绕短周期轨道组织。网络并未接收到关于这些轨道或疤痕函数的任何信息。然而，学习到的原子再现了它们的主要 Husimi 结构，显示出与它们的大量重叠，并以比半经典字典（在投影诊断下）更集中的有效参与性，提供了本征态的全局表示。即使是扩展的本征态，也可通过这些局域元素的组合进行重构。这表明，在具有混沌经典动力学的量子系统中，周期轨道是本征函数组织中的关键结构，其重要性超越了清晰可见的单个疤痕。

该方法的应用价值不仅限于恢复疤痕状结构。相同的架构可以用其他具有物理意义的量替换局域性，学习最佳表示一组态的元素，同时优化这些属性。因此，神经网络不仅可以用于近似量子态，还可以作为发现其构建模块并将其与底层动力学联系起来的工具。