将q-微积分与人工神经网络结合求解托马斯-费米方程的混合框架研究

《Scientific Reports》：Reducing boundary conditions for the Thomas–Fermi equation using a hybrid q-deformation and neural network method

　　

摘要

本研究提出了一种将 \(q\)-微积分与人工神经网络相结合的混合框架，用于处理自由正离子的托马斯-费米方程。其贡献在于一种构造方法，其中 \(q\)-变形将终端导数条件与终端值条件相结合，在变形问题中用两个约束表示三个经典边界条件。一种边界兼容的试验解嵌入了变换后的约束，使训练能够专注于 \(q\)-微分残差。对于固定的 \(q<1\)，结果是变形近似，当 \(q\rightarrow 1\) 时具有经典极限。跨越九个电离度并采用五个随机种子的实验，将 \(q\)-ANN 与基准、软约束 PINN 以及未变形的硬约束经典 ANN 进行了比较。\(q\)-ANN 在 45 次匹配运行中的 42 次产生了比 PINN 更低的 RMSE，且中位数 RMSE 更低（\(0.004127\) 对 \(0.015044\)），尽管两个离群结果使平均 RMSE 偏向 PINN，且配对检验未能确立显著差异。与硬约束经典 ANN 相比，\(q\)-ANN 在 45 次比较中的 44 次产生了更低的 RMSE，表明观察到的性能不能仅归因于精确的约束嵌入。逐点 \(q\)-ANN 比向量化 PINN 慢约 \(102\) 倍。该框架提供了一种新的边界变换策略，同时保留了初始化敏感性与计算成本作为局限性。