爱因斯坦-以太引力的协变相空间方法

《Physical Review D》：Covariant phase space approach to Einstein-?ther gravity

　　

洛伦兹破坏引力中的黑洞热力学具有微妙之处，因为不同的激发模式以不同的速度传播，从而识别出不同的因果视界。我们重新审视Einstein-?ther引力，利用带有边界的爱因斯坦相空间协方差形式主义，导出稳态黑洞的一致第一定律。对于传播速度为??的某个模式，我们引入一个反共形（disformal）框架，使得对应的??-视界成为该框架下的Killing视界，从而可以进行标准的Wald型推导。然后将结果映射回原始（视界）框架，证明第一定律保留了相同的正式结构。相应的视界荷除了包含通常的几何（Komar/Wald）贡献外，还包含一个不可约的?ther项，该项可解释为由跨越视界的?ther通量产生的额外熵源；相应地，总熵可分解为引力部分和?ther部分。我们进一步发展了广义热力学框架，在其中允许耦合常数（以及Λ）变化，从而获得广义Smarr关系。最后，我们分析了探针模式极限 ???? → +∞，阐明了其与普适视界（universal horizon）热力学之间的联系，并解决了文献中两种方法之间看似矛盾之处：一种是（i）固定熵正比于面积并推断对应温度，另一种是（ii）施加与从普适视界剥离的模式相关的Hawking温度并推断非面积熵。一旦正确计入独立的?ther熵贡献，这两种方案便得到调和。

I. 引言

时至今日，黑洞热力学 [1] 仍然是探测引力、量子物理与统计力学之间相互作用的最有力工具之一。在广义相对论中，黑洞力学的定律可以作为经典定理建立，但其物理一致性最终依赖于Hawking辐射等量子效应；反过来，引力动力学本身也可以被重新表述为热力学语言。因此，自然而然的问题是：这种对应关系有多稳健：它在一般的微分同胚不变理论中是否依然成立，还是依赖于广义相对论特有的额外结构性质？考虑到这一点，洛伦兹破坏理论代表了一个特别有价值的案例研究，因为它们以一种受控但概念上剧烈的方式修改了时空的因果结构 [2,3]。

在洛伦兹破坏引力理论中，Einstein-?ther理论 [4] 和Ho?ava-Lifshitz引力 [5] 扮演着核心角色。Einstein-?ther理论是普适协变的，它将度规与一个动力学类时单位矢量场——?ther——耦合，?ther通过选取一个优先的局部时间方向而破坏局域Lorentz不变性。而Ho?ava-Lifshitz引力则具有显式破坏Lorentz不变性的表述，其中空间和时间被区别对待。后者特别由一个称为Khronon的标量场的取值所给出。

一个独特的后果是，因果结构不再由单一度规光锥所支配。即使在真空中，线性微扰也分裂为多个传播模式：通常与度规相关的无质量自旋-2激发，加上与?ther相关的自旋-1和自旋-0激发，1 每个都以其相对于?ther框架的自身传播速度为特征。因此，黑洞时空通常表现出多个不同的因果视界，相关的"无法逃逸"概念取决于使用哪种激发模式来探测几何结构。

这种多视界结构立刻使热力学诠释变得复杂，可能在不求助于理论紫外完备化的情况下就会导致不一致 [6–8]。例如，变得不清楚的是哪个视界应该确定温度，哪个面积应该与熵相关联（假设Bekenstein型公式成立），以及哪些模式的剥离提供了表面重力的物理概念。标准的Wald构造 [9,10] 不能在这些情形中简单地应用，因为度规Killing视界通常不是对所有动力学自由度都相关的视界。此外，洛伦兹破坏理论允许一种扩展的因果边界概念——普适视界 [11]，它在被常数Khronon超曲面分层的时空中可以捕获任意快的信号。虽然普适视界在几何上是定义良好的，但其在理论真空部门中的热力学角色并不透明，因为在真空中所有模式都以有限速度传播（因此无法将普适视界连接到无穷远），但一旦允许修改色散关系并可能存在超光速非相对论传播，其角色就变得引人入胜（参见 [12] 及其参考文献）。

这些问题此前曾使用Einstein-?ther引力中的相空间协方差方法加以应对，但早期分析遇到了阻碍，特别是在试图超越最简单的渐近条件时。特别地，虽然在具有普适视界的渐近平坦设定中获得了自洽的第一定律，但将该构造推广到更一般的渐近条件（特别是反德西特）被证明是困难的。受这些开放问题的启发，我们采用近期发展的带有边界的相空间协方差形式主义，在一个对一般渐近条件仍然定义良好的框架中推导黑洞热力学第一定律。

我们在本工作中的策略是隔离与特定的——但任意的——传播速度模式相关联的热力学。利用Einstein-?ther文献中一个已知技巧，我们对度规进行反共形变换，使该模式的因果视界与反共形度规的Killing视界重合。在该框架下，由Killing生成元计算的表面重力在构造上匹配该模式的剥离表面重力（参见 [13] 中的定义和细节），通常的Wald型构造可以在受控的环境中完成。一旦在反共形框架中获得了与该模式关联的第一定律，我们将其映射回原始框架并证明它保留了相同的正式结构。特别地，出现了一个在广义相对论中不存在的新项，反映了?ther流对跨越视界的Killing流的贡献。该通量可解释为热量，因此通过Clausius关系 [14]，与一个熵项相关联，其中温度由该模式在视界处的剥离率确定。

本工作的第二个目标是澄清普适视界热力学中的地位以及文献中看似矛盾的方案之起源。有两种互补的观点被提倡：一种为普适视界熵固定面积定律并推断关联温度 [15]，另一种施加普适视界温度——由无穷快激发的光线追踪论证所暗示 [12]——并推断熵的形式 [16,17]。在前一种情形中，人们得到一个普适温度，它显然与任何形式的Hawking辐射无关；在后一种情形中，人们获得一个并不总是遵循面积定律的熵。

我们通过研究形式无穷速度探针模式极限来连接这两个框架。在该极限下，该模式的剥离表面重力连续趋近于普适视界的表面重力。该过程使我们能够在普适视界恢复自洽的第一定律——从而获得Smarr公式。在相空间协方差形式主义中，我们表明先前推导中缺失的关键要素恰恰是?ther Killing通量贡献。在由单一尺度表征的问题中（如Schwarzschild几何），通过简单地重新标度Hawking温度或比例因子，可以将这个?ther项与通常的黑洞熵贡献混为一谈。当存在额外尺度时（如宇宙学常数），该通量项变得真正独立，在一般情况下不能被重新吸收。

在接下来的小节中，我们将固定本文使用的记号和约定。在第二和第三节中，我们回顾相空间协方差形式主义的基本要素，特别强调边界项，以及在该框架内黑洞热力学第一定律的一般推导。已熟悉该形式主义的读者可以跳过这些综述部分。在第四节中，我们首先回顾Einstein-?ther理论并总结其与Khronometric理论的关系。然后在第五节中，我们计算该理论特定的要素，用于其相空间协方差分析，包括其辛形式和Noether荷。在第七节中，我们在四个显式解上说明一般构造，包括 [15] 中先前讨论的实例。最后，我们将在第九节中得出我们的结论。

A. 记号与约定

让我们首先介绍本文将采用的一些记号和约定。在我们的大部分计算中，我们使用Anderson在 [18] 中引入的变分双复形框架相关记号。这是一个方便且系统化的研究场论、对称性和守恒定律的框架。任何场论都定义在流形上的适当（向量或主）丛上（对我们来说即时空流形）。场是该丛的分量，所有此类分量的空间构成构型空间。变分双复形的关键思想是不仅使用场本身，还使用它们的所有导数，并将其视为独立变量。这自然地导致了丛的射影丛的概念，一个扩展的空间，在其中场的每种可能的导数都作为坐标出现。在该空间中，可以定义一种微分几何结构来组织变分微积分。

双复形由射影丛上的微分形式构建，配备两个交换的外导数：

（i）水平外导数，对应于沿射影丛底流形作用的外导数；

（ii）垂直外导数，对应于场的变分，沿纤维作用。

两个外导数都是幂零的，即其平方为零。值得注意的是，这里的水平和垂直导数被假定为交换，这与数学家们使用的反对易约定相反。

由于射影丛上的全外导数可以分解为水平外导数和垂直外导数，射影丛上的任何微分形式也是如此。因此我们将说一个微分形式具有双阶次，其中是通常的外余切丛上的形式阶次，是垂直阶次，从直觉上讲，即我们在构建该形式时取了多少次场空间变分。垂直形式是构型空间的外余切丛的分量。

在构型空间上，我们还定义切丛并记其向量场为（我们将使用下标来强调它们所诱导的流类型）。我们将用粗体符号表示微分形式（无论是在场空间还是在流形上的），而其对偶向量场（当可以定义时）使用相同符号但用正体文本。向量与流形上的形式的内积记为，定义为阶形式。类似地，我们记垂直向量与垂直阶形式的内积为，定义为阶形式。至于标准函数，它们无法与向量缩并 [ ]，垂直向量与阶形式的缩并为零，因为阶形式没有可供插入的参数。基于此，我们将构型空间中沿向量场的Lie导数记为，而流形上沿向量场的通常Lie导数将记为。Cartan魔法公式对两种Lie导数定义都成立，即对变分双复形上的任何阶形式，两个定义都满足Cartan公式。

在该变分双复形记号中，Lagrange密度是水平阶形式。其垂直外导数产生Euler-Lagrange阶形式，其为零编码了运动方程。我们用符号表示在这些方程成立的等式。更准确地说，这意味着符号左侧的表达式应理解为沿解空间嵌入构型空间的拉回，两个空间将在第节中明确定义。

II A. 守恒律与双复形的上同调元素相对应：例如，一个守恒的矢量流 对应于一个满足 条件的水平(上同调)形式 。在本文中，具有对称化指标 （相应地为反对称化 ）的张量，其定义中带有 因子。希腊指标始终从 0 到 取值，而拉丁指标从 1 到 取值。

II. 协变相空间形式主义

在本节中，我们回顾协变相空间形式主义，该理论由多位作者在20世纪80至90年代间发展而成。该方法提供了一种坐标无关的框架，用于研究对称性、守恒量和正则变换[19]。特别地，协变相空间形式主义允许对微分同胚荷进行非常自然的描述，使其尤其适合于研究爱因斯坦-以太引力等一般协变理论中的黑洞热力学。

在回顾该形式主义时，我们将重点关注引力场论。此外，我们还将指出那些使我们能够按照文献[10]中所规定的方式推导出黑洞解第一定律的关键要素，尽管该形式主义的适用范围远不止于此——关于更广泛、更详细的讨论，请参见[20–22]。

如前所述，我们取时空为一个 维的、单连通且定向的流形 ，配备度规 。我们还假设该流形可以被适当地选取的超曲面 叶状分解，使得从拓扑上看， 。如图1所示，时空的边界为 ，其中 是 时刻和 时刻的上下两个端面， 是空间边界。

图1. 所考虑的柱形时空的示意图，包含其不同部分：侧面边界 、两个端面 、两个角 ，以及一个一般的切片 。

空间边界 与两个端面的交线形成两个不光滑的角 。对于 的边界及角的每一部分，我们有一个嵌入映射 ，其中 。由于时空是有定向的，我们选择流形的体积元为 。

如果我们称 为处处与切片 正交的、类时归一化的、指向未来的1-形式，称 为与 正交的、类空归一化的、径向指向的1-形式，我们同样可以定义边界每一部分上的诱导体积元为

(2.1)

其中在极坐标下， 始终为 。所有这些元素均在图1中展示。

A. 场空间

现在让我们考虑在这个时空上的一个场论，其场内容统称为 。假设该系统由一个作用泛函描述

(2.2)

其中 是体拉格朗日量， 是边界拉格朗日量。边界拉格朗日量 仅支撑于 上，而在此处定义适当的边界条件将是有益的。相反，两个端面被视为定义初始和末态的超曲面，它们不用于选择理论本身。确实，在 上定义不同的边界条件对应不同的理论，而在两个端面上定义不同的条件仅对应于可以考虑的不同状态。

为了构建一个适当的相空间4，我们可以从定义构型空间开始，即所有可能的场构型所构成的空间 。5 如前所述，该构型空间包含纤维丛 在 上的所有截面。

由于流形具有边界，我们可能希望将构型空间限制为仅满足 上某些边界条件 的那些构型。例如，我们可以施加狄利克雷( )、诺伊曼( )或混合/罗宾边界条件。我们强调，具体边界条件的选择受到物理考量的指导，但保证初始值问题适定性是至关重要的。

因此我们定义边界兼容的构型空间为构型空间中满足所选边界条件的子集 。类似地，我们定义解空间 为满足通过变分作用泛函 得到的欧拉-拉格朗日方程的场构型集合。这些空间的交集将给出物理上相关的场解空间，我们将其取为预备相空间 ，记作 。该流形可以从作用量出发赋予一个闭2-形式 （详见下一节），称为预辛形式。前缀"预"是因为 通常仍然是退化的，因此并不完全是辛的。在本文中，我们忽略退化性问题，将这些对象直接称为相空间和辛形式，写作 和 。

B. 动力学

从变分原理可知，满足欧拉-拉格朗日方程的场构型与使作用泛函取驻值的场构型相关，相差仅在两个端面 上积分的项。对作用量取变分，我们得到

(2.3)

体拉格朗日量 的变分与欧拉-拉格朗日方程的关系为6

(2.4)

其中式(2.4)中的项 即为所谓的辛边界势。在变分双复形的语言中， 是一个( , 1)-形式，它关于场变分 是线性的。这将是构建辛形式的出发点。将式(2.4)代入式(2.3)，我们有

(2.5)

其中符号 表示 。

上式右端中间项位于两个端面上，是变分原理所允许的形式。另一方面，最右边的项则不允许以当前形式存在。为了使它与变分原理兼容，我们可以限制边界拉格朗日量 的形式，使其变分能够抵消 上的（拉回）辛势，相差仅在 中同时属于端面部分——即角——上的局域化项。这可以通过要求

(2.6)

来实现，其中 称为辛角势。确实，在使用边界条件 之后，式(2.6)中唯一剩余的项是 的全微分，积分后仅对角的贡献。将式(2.6)代入式(2.5)得到

(2.7)

一旦场被限制在相空间 上（回顾这意味着我们要走上壳并施加边界条件），该表达式即与变分原理兼容。注意，在最后一项中，我们改变了 的导数符号，因为从 诱导的角定向与从 诱导的定向相反。

我们现在可以定义辛流 为前一方程最后一项在相空间上的（竖直）变分的限制

(2.8)

以及 上相应的辛形式为

(2.9)

辛形式是闭的这一事实在后续推导中至关重要。

如果存在一个向量场 ，使得在其流下2-形式 保持不变，即 ，其中 是沿 的李导数，这意味着——根据卡丹魔法公式—— 与辛形式 的内积是闭的，从而在局部是恰当的：

(2.10)

对于某个局部定义的 。7 我们将关注那些 可以全局定义在相空间上的向量场 。当该函数存在时，我们称之为由 诱导的变换的规范生成元。例如，当向量场是生成时间演化的 时， 将是系统的哈密顿量。

C. 对称性与诺特定荷

计算对称向量场的规范生成元 的一个强大工具是诺特定理。该定理适用于变分对称性，即使作用量不变的场空间向量场，即满足 的。由于我们从作用量导出了辛形式，这些变换也保持辛形式不变，从而满足式(2.10)。在本文中，我们将专注于这些变分对称性。

对于这类变换，诺特定理指出存在一个诺特流

(2.11)

其中 满足

(2.12)

该流在壳上是守恒的。

正如文献[26]所示，如果存在一个闭的 -形式（其中 ），它是从场局部构造的，那么它是恰当的，即存在一个 -形式——同样是场局部构造的——使得前者是后者的竖直导数。这正是诺特流 的情况，它在壳上是闭的：

(2.13)

其中 是一个( )-形式，我们称之为诺特荷[28]。

文献[26]中推导 存在的论证非常普遍。没有普适的算法来提取诺特荷，但在具体情况下，我们通常处理对偶矢量 ，并尝试将其表示为反对称(阶( )张量 的散度：该张量的对偶形式将是一个候选诺特荷。

守恒流 是构建规范生成元 的关键要素，方法是将其在切片 上进行积分，因为其变分与 的内积有关。此外，该积分将与切片任何体变分无关，因为 是闭的。然而，我们还关心影响其边界的 的变分。为了获得一个在这些边界变分下不变的规范生成元，我们需要添加一个项来补偿流穿过边界的通量。我们需要添加的项是边界诺特流 ，由边界上内禀定义的项构造

(2.14)

其中 由条件定义

(2.15)

该条件仅对于湮灭 的向量场 或限制在 上使得 时成立。

因此，与变分对称向量场 相关联的规范生成元为

(2.16)

以下命题成立。

命题II.1. 式(2.16)中定义的规范生成元不依赖于积分切片 。此外，该量的竖直变分与辛形式的内积如式(2.10)所示相关。我们将在附录A1中给出该陈述的证明，并作为其结果，从现在起我们将去掉 的下标 。

D. 微分同胚不变性与协变拉格朗日量

在处理引力理论时，通常要求在完整的时空微分同胚群下具有不变性。微分同胚也在场上诱导变换。

为使 生成的微分同胚成为相空间的对称性，我们要求欧拉-拉格朗日方程和边界条件都保持不变，即（我们用 表示一般变分）

(2.17)

第一个等式成立的充分条件是 是变分对称性（即保持作用量不变）。另一方面，边界的存在已经打破了 的完整微分同胚群，这意味着作用量至多在保持边界位置的微分同胚下不变：这等价于要求 在 上处处为零。式(2.17)中的第二个等式当然取决于所选的边界条件。

对于那些拉格朗日量是协变8的理论，以及满足式(2.17)的微分同胚，我们可以显式计算体诺特流式(2.11)和边界诺特流式(2.14)中的 和 项。确实，利用卡丹魔法公式，我们可以证明

(2.19)

其中第二项为零，因为 是一个 -形式。此外，由于协变性

(2.20)

其中最后一项为零，因为 是 上的顶形式。比较两者，我们可以推断 。对 进行类似的考虑，我们得到结果

(2.21)

因此，使用式(2.14)结合式(2.21)，满足式(2.17)条件的微分同胚所对应的荷具有最终形式

(2.22)

III. 黑洞热力学第一定律与斯马公式

现在考虑一个稳态黑洞度规，即欧拉-拉格朗日方程的一个解 ，具有一个基灵向量场 （即 ），并且具有一个因果边界 。在广义相对论中， 是 的基灵视界，但在不同理论中 不一定是基灵视界，通常也不是零面。

我们取流形 的侧边界为 。我们还定义 ，以及 ，表示 和 与一般切片 的交集，以将它们与两个角 区分开来（见图2）。此处 代表一个调节尺度，最终将趋向无穷大。

图2.

## 存在内部边界的时空

在这种情况下，正则生成元的变分会包含两部分，一部分在外部边界上积分，另一部分在内部边界上积分：

(3.1)

对于的简单选择，在角上的积分具有明确的物理含义：

**(i)** 若 ，则

(3.2)

是系统能量的变分。

**(ii)** 若 ，则

(3.3)

是系统角动量的变分。

在边界位于空间无穷的极限下，上述两个量分别对应于Arnowitt-Deser-Misner (ADM) 质量和角动量。

另一方面，在视界上求值的量将与黑洞的温度和熵之积相关，我们很快就会证明这一点。

根据命题II.1，总荷与辛形式收缩之间的关系为

(3.4)

由于边界和角的辛势都是场变分的线性函数，所以辛流也是线性的。给定矢量场是Killing矢量场，我们有 （我们假设场是协变的），因此等式(3.4)右端的收缩项为零，我们得到定义在外部边界上的量与定义在 上的量之间的关系，即

(3.5)

让我们展示如何将该关系解释为黑洞热力学的热力学第一定律。

正如Wald在其开创性论文[10]中所证明的，为了将等式(3.5)右端第一项解释为熵的贡献，我们必须将关注点限制在黑洞几何周围的定常变分，且这些变分不移动视界。为此，我们需要要求变分保持重标量矢量场不变，该矢量场定义为单位表面引力。9 这意味着微分同胚必须是依赖于场的：

(3.6)

由于这种场依赖性，等式(3.4)不再成立，但会额外出现一项，即

(3.7)

这个新项对于热力学解释至关重要。

展开等式(3.7)，我们得到渐近边界的贡献和视界的贡献。我们可以选择Killing矢量场的变分使其在 上为零——以便渐近量可以像之前一样定义[参见等式(3.2)和(3.3)]——同时在视界上表现为等式(3.6)的形式。

由线性性，视界上的荷密度可以写成 与使用 计算的荷密度（即 ）之积。因此，其变分按照Leibniz法则应包含来自两个因子的贡献。然而，等式(3.7)中的减法恰好消去了与 相关的项：

(3.8)

如果我们将 的积分写成温度与熵的乘积，就可以建立类比：

(3.9)

(3.10)

从而得到以下对应关系：

(3.11)

这些正是[10]中给出的定义。10

到目前为止，我们还没有讨论等式(3.5)中的辛流 。记得 是定常黑洞的Killing矢量场。假设(i)视界是分岔的，因此我们可以取 为分岔面（其中 ），以及(ii)被积函数 在 上是正则的，则辛流贡献为零。这就是广义相对论中的情况。另一方面，在替代引力理论中，第二个条件通常不满足。特别是在Einstein-?ther理论中，因为?ther流在接近Killing视界时发散。这将是第五节C的主要内容，在那里这种行为将引导我们发现?ther本身对第一定律的贡献。

最后，如果生成视界的Killing矢量场是时间平移和旋转的线性组合 ，我们得到

(3.12)

其中 是黑洞视界的角速度。黑洞热力学的热力学第一定律显然可以扩展为包含来自规范场的额外项[24,31–33]。

## A. 标度不变性、扩展热力学和Smarr公式

从黑洞热力学的热力学第一定律可以推导出的一个重要关系是所谓的Smarr公式。该公式与第一定律不同，它直接关联刻画黑洞解的参数，而非参数的无穷小变分。例如，广义相对论中Schwarzschild黑洞在任意时空维数下的Smarr公式为 。

Smarr公式与黑洞参数在重标度变换下的变换性质密切相关。实际上，它可以通过标度论证从第一定律推导得出：在整体长度标度变化下，在纯广义相对论中，解的参数均匀变换，其次数由其长度量纲固定；因此，每个参数都是其他参数的齐次函数。对该函数应用Euler定理即可得到所需的公式。

为了与协变相空间形式体系建立联系，我们用解空间的语言重新解释这些考虑。注意，整体长度标度的变化也可以解释为我们用来测量这些尺度的"标尺"的变换，即度规张量。

度规的膨胀——以及理论中任何其他场的膨胀——由Weyl变换群的全局部分实现。在无穷小Weyl变换下，场 通常变换为

(3.13)

其中 是称为 的Weyl权重的某个数， 是展开的小参数。我们这里关注的是全局Weyl变换，其中 不依赖于时空点。

如果一个理论在该变换下作用量 的变分为零，则称该理论是全局Weyl不变的。当存在至少一组Weyl权重使得各场的贡献恰好相消时，这种情况就会发生。一般理论在这些变换下不是不变的，因为作用量中不同项通常以不同的权重变换。

正如[34]所示，绕过这一问题的一个可能方法是允许出现在作用量中的耦合常数也发生变换，即

(3.14)

其中选取适当的权重 。允许耦合在全局Weyl变换下变化的框架被称为扩展热力学[34–36]。在协变相空间方法中，耦合的变换是不自然的。为了涵盖扩展框架，必须扩大构型空间以包含耦合，即写出具有动力学耦合的理论。

为避免任何可能的混淆，我们将分别用 和 表示扩大的构型空间上的垂直外微分和一般的矢量场。

在扩展框架中重复导致等式(3.1)的计算，我们得到

(3.15)

其中

(3.16)

是化学势 的共轭变量。更详细的讨论参见[37]。

由于边界条件在Weyl变换下通常不是不变的，Weyl变换诱导的变分不与边界相容的构型空间 相切。考虑到这一事实，我们必须添加项 ，它推广了等式(3.1)。等式(3.15)是等式(3.4)的扩展热力学版本。类似地，如果 是Killing矢量场，右端为零，我们得到左端变分之间的关系。

如果我们再次考虑具有形如 的Killing矢量场的解，我们可以使用等式(3.2)、(3.3)和(3.11)中的定义将等式(3.15)转化为黑洞扩展热力学的热力学第一定律：

(3.17)

如果我们称 为生成无穷小Weyl变换的扩大的构型空间上的矢量，则可以将上述方程与 进行收缩，得到

(3.18)

涉及的项取决于所考虑的理论，但在无穷远处求值时，它通常简化为总质量的另一个因子[37]，从而得到所需的Smarr公式

(3.19)

## IV. Einstein-?ther理论

考虑一个维数为 且度规符号为 mostly plus 的时空 。我们假设还存在一个动力学1-形式场 ，称为?ther。其对偶矢量场记为 。Einstein-?ther理论是一个一般协变的矢量-张量理论，描述了 和 的动力学。在最简单的情况下，该理论的作用量可以写成Einstein-Hilbert作用量（带有可能非零的宇宙学常数 ），加上?ther的最一般的二阶导数作用量，如[4]中所述。此外，引入一个Lagrange乘子 以强制 为类时且单位范数。因此我们有

(4.1)

其中

(4.2)

以及11

(4.3)

?ther矢量的运动拉格朗日密度为[4]

(4.4)

其中 是?ther加速矢量场。

一般协变性得以保持是因为 是动力学场。然而，由于?ther的期望值必然不为零，每个解都破坏了局域Lorentz不变性，因为?ther提供了优先参考系。事实上，该理论旨在作为Lorentz破缺物理的有效描述（参见[39]及其参考文献）。

为方便起见，我们引入以下不同耦合之和的简写符号

(4.5)

使得例如 和 。

该理论的一个有趣特性是作用量可以写成所谓的流体力学变量形式[40]。如果我们将?ther的协变导数分解为

(4.6)

其中

(4.7)

分别是?ther正交叶子上的投影算子以及?ther同调流的膨胀、剪切和扭曲，则我们可以将作用量重新写为以下形式：

(4.8)

其中

(4.9)

原则上，我们可以寻找任意耦合值 的Euler-Lagrange方程的解。然而，其中许多值已被物理考虑排除，例如总能量正定性、无裸奇点等[41]。文献中已知的大多数解是在理论的某些区域中找到的，其中流体力学描述(4.8)中的一些系数被设为零，这等价于使?ther流对应的项成为循环变量。

如我们很快就会看到的，耦合常数也与理论各种自由度的传播速度有关。例如，自旋-2度规扰动以光速传播的强观测证据限制了 必须非常小。我们邀请读者查阅[15,41,42]及其参考文献以获得这些界限的更全面的综述。

### A. 与Ho?ava-Lifshitz引力红外极限的关系

在[43]中，作者引入了Einstein-?ther理论的一个变体，其中?ther矢量被构造性地归一化且超曲面正交。在作用量等式(4.8)的水平上，这可以通过取形式极限 来实现。该理论被称为"Khronometric Theory"或" 理论"，并已被证明是Ho?ava-Lifshitz引力的红外极限[43]。在Khronon理论中，形式场 可以用一个标量场 来替代（称为Khronon），其定义关系为

(4.10)

其中 是归一化因子，负号的选择使得 沿矢量场 的方向增长，即 。Khronon 的等值集——?ther与之正交——提供了时空的优先分层，可用于简化理论的规范分析。

由于单位范数约束隐含在等式(4.10)中 的定义里，所得到的作用量就是没有Lagrange乘子的Einstein-?ther作用量，其中 是 的归一化梯度的简写，如等式(4.10)所示，

(4.11)

另一方面，在Einstein-?ther理论中 并不一定是超曲面正交的。根据Frobenius定理，当且仅当

(4.12)

时才成立。容易验证，如果 具有等式(4.10)的形式，该条件自动满足。在[15]中已经证明，无扭曲Einstein-?ther的解空间中包含黑洞区域的是一个真子集，而两个解空间在限制为四维静态球对称构型时是等价的。

### B. 普适视界

在Einstein-?ther理论等Lorentz破缺引力理论中，时空的因果结构从根本上不同于广义相对论。

以太场的存在选择了一个优选的局域惯性系，因此破坏了局域洛伦兹不变性。作为后果，因果律不再由单一的度规光锥支配。相反，场扰动分解为几个独立的模式，每个模式相对于以太系以其特征速度传播。因此，因果结构由一组不同的光锥而非唯一的光锥来描述。这可能也发生在其他不同于广义相对论的理论中 [44]。

在爱因斯坦 - 以太理论中存在三个传播模式 [45]：一个自旋 -2 张量、一个自旋 -1 矢量和一个自旋 -0 标量模式。张量模式对应于通常的引力子。它们的传播速度由 (4.13) 给出，其中我们显式地写出了光速的因子 （真空中的光速，在其他地方等于 1）。由于这些传播速度可以是超光速的，与这些模式相关的信号原则上可能逃逸出通常的基灵视界。因此，真正的信号捕获表面的存在并非显而易见。

值得注意的是，然而，在这些理论中仍然可以存在黑洞解。特别是，一种称为普视界（universal horizon）的特殊因果边界可能出现，并作为信号（即使是以任意高速传播的信号）的最终屏障。这种结构的存在与以太流的超曲面正交性密切相关，这在许多相关解中是成立的 [46]。

当此条件成立时，以太场 可以局部地写为标量场的归一化梯度，即上一小节的克隆诺（Khronon）。12 时空因此局部地被常数克隆诺超曲面叶状分解。这些叶定义了优选系中的同时性表面，信号必须始终向克隆诺场值增加的方向传播。在典型情况下，这些同时性表面延伸到空间无穷远处 。然而，足够强的引力场可以导致叶状分解中的某一个特定叶变得紧致。由于所有信号在克隆诺增加的意义上都是向未来移动的，一旦它们穿过这样的表面，就无法返回外部区域，无论它们的传播速度变得多大。第一个紧致的常数克隆诺超曲面被称为普视界。它的边界是未来类时无穷远 。

普视界可以通过条件 (4.14) 在几何上进行表征，其中 再次是与稳态相关的基灵矢量场， 是以太加速度。第一个条件指出以太在普视界处与基灵矢量正交：由于 处处是类时的，这只能发生在 是类空的区域，这意味着普视界必须位于基灵视界内部。第二个条件确保视界是非简并的，且相应的表面重力非零。事实上，普视界的表面重力可以定义为 (4.15)，并根据常数克隆诺表面在视界附近的剥离行为来解释 [48]。

在以太场存在的情况下，可以构建描述具有修正色散关系 (4.16) 的超光速物质场的协变场方程，其中 和 分别是适应系中超光速模式的频率和波矢量的模， 是依赖于理论的紫外完备化的系数， 是紫外截止。最近证明，这样的超光速物质场会从普视界辐射，具有霍金温度 ，随后在低能模式下部分在基灵视界重新加工 [12]。

普视界最初是在爱因斯坦 - 以太理论的静态渐近平坦黑洞解中确定的 [11,49,50]。随后在几类其他解中发现了类似的结构，包括 (i) 爱因斯坦 - 以太理论中四维静态渐近（反）德西特时空的扇区 [15]；(ii) 四维静态渐近平坦缓慢旋转黑洞的扇区 [51–53]；(iii) 三维旋转解的扇区 [54]；(iv) 两个扇区 和 中的三 - 和 - 四 - 维带电静态黑洞 [55–57]。在许多感兴趣的情况下，静态球对称解可以参数化为 (4.17)，其中 是度规和以太场的基灵矢量（即 ）， 是与 正犯的归一化 1-形式，与它一起跨越径向平面，(4.18)。在由 定义的以太系中，度规采取形式 (4.19)，对于适当重定义的空间坐标 （见 [58] 获取显式构造）。这个表达式清楚地表明，除了由 定义的通常基灵视界外，度规在 的半径处也变得简并。这些位置正好对应于普视界；见图 3。

图 3. 具有普视界和三个常数克隆诺切片的类史瓦西解的卡特 - 彭罗斯图。

V. 爱因斯坦 - 以太理论的协变相空间分析

在本节中，我们将第 II 节中回顾的协变相空间形式主义应用于爱因斯坦 - 以太理论的解。这一分析构成了本文的主要贡献。让我们再次考虑理论的作用量 (5.1)，其中 由方程 (4.2) 给出。

作为应用协变相空间算法的第一步，我们需要计算该作用量的变分 13：(5.2)

让我们分析该表达式中出现的各项。首先，为了方便，我们定义了 和 张量 (5.3a) (5.3b)，因为它们将在我们的计算中频繁出现。在方程 (5.2) 的第一行中，我们还引入了 (5.4a) (5.4b)，其中前者进入以太场方程，后者是以太应力 - 能量张量。

从方程 (5.2) 的体部分，我们可以读出理论的场方程 (5.5)。由于 是归一化的，我们可以从第二个方程中移除 并写出 (5.6)，其中张量 下方的左箭头意味着其自由指标通过我们在水动力描述中引入的投影算子 正交投影到以太 1-形式上 [见方程 (4.7)]。在拉格朗日乘子 的场方程上壳上，我们可以将以太应力 - 能量张量重写为 (5.7)。这在显式构造与以太相关的微分同胚荷时会很有用，正如我们在附录 B 中所做的那样，因为荷是在上壳上评估的，在这种形式下，现在明显地看到当进入以太场方程的上壳时，有一项消失。

从作用量变分方程 (5.2) 的边界部分，我们可以读出理论的辛势。我们认识到前两项给出纯广义相对论的边界辛势 (5.8)，因此我们可以将后两项识别为以太贡献 (5.9)。

理论的总辛势因此可以写为 (5.10)，其中 。

A. 爱因斯坦 - 以太的微分同胚荷

利用这些要素，我们可以构造如方程 (2.13) 中定义的微分同胚荷。更详细的推导包括在附录 B 中。结果是 (5.11)，其中 ，我们识别出了来自度规场的贡献，这是广义相对论中通常的科马尔荷密度，(5.12)，以及来自以太场的贡献 (5.13)。

两部分的存在已经暗示了如方程 (3.11) 中定义的独立以太对熵的贡献的存在。在以下部分，我们将提供这一说法的精确推导。

非常有趣的是，我们可以看到，就像 (5.14) 在科马尔的原始构造 [59] 中一样，类似地，仅施加以太场方程， (5.15) 成立（由于我们不需要完全上壳，我们在这个等式中没有使用 ）。这两个方程之间的类比非常引人注目。守恒方程 (5.14) 是比安基恒等式的后果，这意味着它源于与微分同胚不变性相关的约束。因此，以太的场方程——至少那些足以保证方程 (5.15) 的方程——可以被解释为该理论以太贡献的微分同胚约束。

注意，从方程 (5.15) 可得出右边的守恒 (5.16)。这个最后等式对于以太对第一定律贡献的物理解释将是关键的。事实上，这个守恒流将与跨越视界的与以太相关的基灵能量通量有关，我们将在第 VI C 节中更详细地展示。

B. 从克隆诺理论到爱因斯坦 - 以太引力的边界条件

正如第 II B 节中彻底解释的那样，在带有边界流形中正确规范动力学需要施加边界条件。在引力理论中那些边界条件的标准选择是度规的狄利克雷边界条件——即 ——和克隆诺的诺伊曼边界条件——即 。由于爱因斯坦 - 以太理论的超曲面正交扇区等价于克隆诺理论，我们以后者的边界条件为指导原则。

注意到这两个理论没有相同的动力学，因为爱因斯坦 - 以太理论承认具有非零扭度的解。我们稍后将表明，我们获得的边界条件仍然足以确保与变分原理的相容性。

如果我们计算以太 1-形式的变分，局部地用克隆诺写出来如方程 (4.10) 所示，我们得到 (5.17)。从归一化条件， 的变分读作 (5.18)，所以 (5.19)。

使用克隆诺理论的边界条件，很容易看出如果矢量场 在边界处相切，则这个表达式的拉回消失。当边界在无穷远时，取 与渐近观察者的时间方向对齐是有意义的，这自动使其相切。因此，我们将 (5.20) 称为对齐条件。尽管形式主义适合于处理有限距离边界，原则上应包含以太不垂直于定义边界的正交形式的情况（非对齐条件），但我们将在此工作中假设对齐。

考虑方程 (5.19)，可以得出，当以太对齐时，边界条件的适当选择（至少与上述克隆诺理论中的边界条件相容）是强制执行 和 的狄利克雷条件，即 (5.21)，其中 和 分别是度规和以太 1-形式到边界的拉回。

给定边界嵌入，我们也可以构造边界的外曲率 14 (5.22)，它与 和 一起，将允许我们仅使用边界 内部的物体构造适当的边界拉格朗日量。

让我们考虑总辛势方程 (5.10) 并将其拉回到边界。我们知道广义相对论的辛势可以写为 15 (5.23)，带有 (5.24) (5.25) (5.26)，其中 ，且 是外曲率的迹。经过少量的代数操作，我们可以表明 (5.27) (5.28)，其中我们定义了 (5.29)。

注意，这些张量的法向分量不进入边界辛势方程 (5.28)，因为存在以下抵消 (5.30) 连同 (5.31)，这对于边界辛势的协变性是理想的 [21]。

在方程 (5.28) 中，我们注意到当我们施加狄利克雷边界条件 (5.21) 和对齐条件时，一切消失，意味着整个右边属于 。(5.32)

因此，我们可以将 和 设置在方程 (5.23) 对于 的类似物中。

把所有东西放在一起，我们可以写出整个理论的方程 (2.6)，(5.33)，其中 (5.34) (5.35) (5.36)。

这意味着以太不对角辛势做出贡献，正如从其导数一阶的动力项所预期的那样。

C. 爱因斯坦 - 以太引力的辛流

爱因斯坦 - 以太拉格朗日量一个有趣的特点是它在上壳上几乎是精确的，唯一破坏精确性的项与宇宙常数贡献成正比 (5.37)。

这种现象让人想起爱因斯坦 - 希尔伯特拉格朗日量，当 时在上壳上消失，否则减少为常数（乘以体积形式）。

那么让我们暂时关注 的情况。从方程 (5.37) 我们可以定义一个 ( )-形式 (5.38)，使得 。结合方程 (2.4) 和 (5.37) 我们得到 (5.39)，这导致 (5.40)，其中 是局部由场构造的 ( , 1)-形式。16

的存在允许我们积分方程 (3.15) 中存在的辛流，(5.41)，其中，在第二个等式中，我们使用了嘉当的魔法公式并丢弃了全导数贡献 ，因为边界的边界是空的。回顾第一定律在 是基灵矢量场时成立，最后一项因为稳态而消失。

另一方面，涉及 的项需要更加小心地处理。

若分歧面为杀手视界，我们可以天真地说在该处为零。然而，正如我们在方程(3.11)之后的讨论中所指出的，这仅在对该面正则时才成立。在我们的情形中，在杀手视界上发散，这意味着收缩可能给出有限结果。

注意到方程(5.41)中包含的项以与荷密度相同的组合方式出现[对比方程(3.8)]，这暗示了如下的荷重定义：

(5.42)

如果宇宙学常数不为零，方程(5.40)不再成立，必须替换为：

(5.43)

其中是一个( , 1)-形式，满足

(5.44)

鉴于此表达式，合理地期待在分歧面是正则的，尽管我们目前没有形式化的证明。不过我们验证了忽略的贡献不会导致巴尼亞多斯-泰特尔鲍姆-扎內利（BTZ）[60]黑洞热力学描述的任何不一致，如第VII B节所呈现。假设正则，辛通量可以再次化简为，如我们在方程(5.41)中所做的那样。

既然我们已经计算了所有相关量，我们可以着手计算具有视界时空的爱因斯坦-以太理论的第一定律。

VI. 爱因斯坦-以太黑洞热力学的第一定律

在本案中，我们将利用第V节中计算的各项，将方程(3.5)中给出的第一定律的一般形式加以特化。本节的关键点在于选择计算流积分的曲面。

A. 有限速模式及其变形框架

正如我们在IV B节中已经提到的，爱因斯坦-以太理论中的黑洞通常表现出比广义相对论更丰富的因果结构。实际上，由于物质可以普遍地与以太耦合，扰动可以以任意高速传播，任何存在的杀手视界对于那些比光传播更快的扰动来说都不代表真正的俘获视界。

在存在任意高速传播模式的条件下，在给定的同时面指定的初值数据可以近乎瞬时地传播至整个时空。因此，任何相对于恒定赫隆叶状分解倾斜的曲面都不是无时的，因而不能成为有效的初值数据面。

即使在真空理论中，三种以（参数上）任意速度传播的模式的存在意味着因果结构不是由度规光锥支配的，而是由最快模式所关联的光锥支配。出于此原因，我们引入一个探针模式，其传播速度设为，大于理论中任何其他模式的速度。我们将此称为-模式。由构造可知，-模式的光锥决定了时空的因果结构，而-模式的任何因果视界也将俘获所有其他信号。

找到-模式的因果视界的显式位置并非轻而易举。如果-模式是超光速的，我们可以肯定地说它将从位于杀手视界内部的有效视界"剥离"，但确定后者的精确位置需要对-模式的轨迹进行积分。在附录C 2中，我们利用剥离的思想展示了如何在静态球对称黑洞的简单情况下确定-模式的视界。因此，正如我们将在附录C 3中所证明的，其关联温度由剥离表面引力[13]控制，这是一个支配有效视界附近光线指数发散的物理量。

除了我们之前讨论的基于光线剥离的方法之外，还有另一种在爱因斯坦-以太文献中广泛使用的方法（参见例如[61–63]）：应用变形转换。我们将利用变形转换将原始度规中-模式的因果视界映射到变换后度规中的杀手视界这一事实。

与保形转换将度规按整体因子缩放不同，变形转换仅各向异性地修改度规。就本文而言，我们仅考虑单一方向上的变化，即沿着以太场的方向。因此，我们仅考虑如下形式的变形转换：

(6.1)

其中称为变形因子。为了保持以太1-形式的归一化，我们需要对其同时进行变换：

(6.2)

不难看出，如果对于和是杀手矢量场，那么对于变换后的量和同样是杀手矢量场。

在所有变形转换中，我们可以使用使-模式的速矢量相对于变形度规为类光的转换（参见附录C 1中的证明）。-模式的因果视界则是一个与度规的标准杀手视界重合的零超曲面。

在本文的余下部分，我们将采用如下变形转换：

(6.3)

我们将称这对量为变形框架，与原始框架相对。为了方便，我们还给出逆变换，即用变形框架表示原始框架：

(6.4)

注意到逆变换相当简洁：-模式的平方速度变为它的倒数。

B. 变形对称性

爱因斯坦-以太理论最有趣的性质之一在于它在变形转换下如何变化。

利用方程(6.4)（其中我们显式写出了对耦合常数的参数依赖，包括）[17]对进行繁琐但直接的求值，表明该作用量可以写成（差一个边界项）与原函数式相同的形式，只是对度规和以太1-形式。唯一的区别是耦合常数被映射为它们的线性组合。具体而言：

(6.5)

其中用横杠表示在变形框架下求值的所有量以及变换后的耦合常数。其显式表达式为：

(6.6)

将简写记号方程(4.5)推广至带横杠的耦合常数，我们注意到，对所有，

(6.7)

这些令人惊讶的性质意味着理论中和部分——其中已经找到了显式解[15]——在变形转换下保持不变。

如果我们忽略边界项，可以将此协变性概括为：

(6.8)

鉴于爱因斯坦-以太作用量是构造为以太的最一般的二阶作用量[4]，故其形式在变形转换下保持不变，这一关系或许并不令人惊讶。

即使运动方程在变形转换下不变，因此我们可以写出在变形转换下，

(6.9)

但额外的边界项可能会改变理论的辛结构。然而，只要我们施加对齐条件，我们可以看到新的边界项的贡献在界面上为零。这告诉我们从协变相空间算法获得的边界辛势满足，并且只要我们对和施加相同的边界条件方程(5.21)，角辛势以相同的方式变化。因此，我们可以将变形转换解释为由两组耦合常数定义的相空间之间的辛同构：

(6.10)

这一事实表明，迄今为止我们所做的所有计算在变形框架中同样有效，只要我们将耦合常数替换为方程(6.6)中定义的带横杠版本。例如，这意味着在变形框架上求值的诺特荷密度将具有与原始框架中相同的函数形式，但带有带横杠的常数。这对接下来的内容已经足够。为了方便，我们将任何在带横杠耦合常数上求值的表达式用横杠标注：在我们的例子中，我们将写作

(6.11)

C. 关于两个框架之间关系

既然我们展示了爱因斯坦-以太相空间的协变性方程(6.10)，我们现在可以准备在变形框架中表述黑洞热力学的第一定律。

给定一个定义原始框架的物理解，我们知道变形框架——尽管通常不再是原理论的解——将得益于变形对称性方程(6.8)，是变换后理论的解。

因此，我们的第一步是在变换后的相空间中表述第一定律。这意味着，我们不需要在变形框架中计算各量，只需在原始框架中求值并将每个耦合常数替换为其带横杠版本即可。由于第一定律对中的每个静态解都成立，因此它对同样成立。

得益于我们对变形因子的选择，变形框架中-模式的因果视界将与度规的杀手视界重合。这使我们能够取作为该视界的分歧面，并直接引入瓦尔德的构造，如第III节所回顾。然后我们只需在"给"第III节中的每个量"加上横杠"，即可在变形框架中获得一致的第一定律，与我们在前一小节末尾引入的记号保持一致。

如前所述，分歧面上的辛通量贡献——通常因度规场的正则性而被忽略——在爱因斯坦-以太理论中并不为零，且可以被积分。如果我们定义表面引力[18]

(6.12)

并考虑保持缩放后的杀手矢量场的扰动，我们得到

(6.13)

其中在方程(5.42)中定义，叠加在标准度规贡献之上。这表明以太的存在导致了一个额外的熵贡献：

(6.14)

考虑到这一点，我们随后写出：

(6.15)

其中温度由表面引力给出为：

(6.16)

我们刚刚得到的方程(6.15)还不是我们所追求的定律，因为它不涉及物理量。这些量属于原理论——具有不带横杠的耦合常数——的解。要了解解的性质与解的性质之间的关系，我们需要更仔细地分析原始框架与变形框架之间的关系。

如前所述，我们知道变形转换将解映射为解，但我们不能保证在耦合常数（加上一组由初始条件和边界条件确定的参数）方面的函数形式将与和在的相同。事实上，在一般情况下我们不期望它们简单地相互关联。

另一方面，如果我们假设两者通过一个微分同胚相连——如我们考虑的所有显式例子中所是——即在意义上对某个成立，那么我们可以利用荷的协变性将带横杠的量与原始量联系起来。原则上，微分同胚需要逐个案例确定，但我们在静态球对称解中概述了这里会发生什么，这是第VII节中所有例子的情况。首先，我们固定边界为某个大半径处的超曲面，在适应等距的坐标中，其中（）是一组角度。因此，我们将微分同胚表示为。为了保持边界不变，我们希望新的径向坐标与旧的相同。我们还看到，在标准渐近条件下，在变形框架中的范数趋于

(6.17)

当趋向无穷时。这意味着，渐近地，我们需要要求以实现单位时步。类似关于的考虑告诉我们：

(6.18)

其中因子最终考虑了变形框架在无穷远不具有单位时步这一事实。

因此，我们得到以下关系：

(6.19)

而

(6.20)

注意到选择缩放而非最终只是约定问题，而熵不随变化，因为熵是用缩放后的杀手矢量场计算的，对不敏感。

最后，我们可以用原解的性质来表述第一定律：

(6.21)

这一公式是本文的主要结果。关键在于认识到以太本身通过其携带进入视界的热量通量对熵平衡做出了贡献。

a. 以太热量通量。我们在下面对以太对熵平衡的贡献做进一步展开。

让我们考虑视界面的一段，它从分叉面延伸到遥远未来中的某个截面。假设遥远未来中电荷的贡献可以忽略不计，我们可以直接沿该段积分公式(5.15)，得到(6.22)式。此外，利用公式(5.37)和(5.38)，我们可以类似地沿该段积分，得到(6.23)式，其中由于的正则性，我们丢弃了黎曼标量项，因为。如前所述多次，对于情况则不然。考虑这两个方程的差，我们最终得到(6.24)式，这意味着在分叉面上对的积分可以解释为在长时间尺度上穿过视界面的、与以瑟相关的奇点能量的总通量（见图4）。

图4. 在非共形框架中，s-模的以瑟热流进入视界。

受雅各布森推导时空热力学的著名工作[14]的启发，我们将流出因果域的能量关联为热力学方程中的热项，即(6.25)式，其中我们用表示不是相空间函数。然后我们利用克劳修斯关系证明，以瑟的熵贡献是一个真正的热力学贡献，与在由模式视界给定的温度下产生的热相关联，(6.26)式。

正如我们在附录C 3末尾所论证的，非共形框架的构造方式使得s-模的传播速度被固定为1。由此可知，剥离表面引力公式(C14)简化为我们在线段(6.12)中使用的标准定义。因此，黑洞温度是由光线在其因果视界附近剥离所确定的。考虑到我们在(6.19)中处理的适当因子，这表明出现在第一定律中的温度是与霍金辐射相关的物理温度[12]。

b. 爱因斯坦-以瑟的斯马尔公式。本节的成果也使我们能够建立爱因斯坦-以瑟引力的斯马尔公式。如我们在第三A节中所回顾的，我们只需沿无穷小魏尔变换收缩第一定律公式(6.21)即可。

鉴于该理论通常不具有标度不变性，我们必须首先考虑一个扩展框架，在其中允许耦合常数变化。我们注意到，与宇宙学常数不同，以瑟耦合常数不需要变化就能实现全局标度不变性。因此我们考虑无穷小变换(6.27)式。利用公式(3.16)，我们得到与宇宙学常数共轭的变量(6.28)式，它基本上就是超平面的三维体积。注意，经过正则化后，这个势简化为黑洞的"平坦"体积，如文献[34]中所解释的，由此得出一个已知事实：宇宙学常数对第一定律贡献一个功项，其中是与宇宙学常数相关联的压力。

给出扩展第一定律(6.29)式后，我们直接得到斯马尔公式(6.30)式。

VII. 算例

我们现在有条件显式地分析爱因斯坦-以瑟理论中的一些已知解。我们所考虑的是文献[15,54]中发现的解。我们现在展示的所有结果都是使用软件Wolfram Mathematica?，具体来说是xact包"xtensor"和"xcoba"获得的。

为了使讨论具体化，我们首先必须选择时空到超平面的适当叶层化。该叶层化的叶面要求与与经非共形变换度规相关联的奇点视界分叉面有非空交集。我们采用由恒定坐标时间切片定义的叶层化。这种选择的动机在于：在静态黑洞的非共形框架中，这些切片总是汇聚于分叉面，并且不会穿透到因果不连通区域。如第六A节所讨论的，这些切片非常适合指定初始数据，因为s-模被定义为传播最快的模式。

注意，取任何不是常数克罗农的超面，一般来说它不是非时的。然而，对于参数的每一个一般选择，我们总可以找到一个柯西超面。

我们还指出，计算无穷远处的量涉及一个取极限的过程，如公式(3.2)和(3.3)之后所述。该极限通常是发散的，因此我们必须使用正则化方案来提取有限量。按照惯例，我们使用所谓的背景减除程序，我们在附录D中回顾。正如其中所示，质量的正确定义为(7.1)式，其中是与奇点矢量相关联的渐近电荷[在公式(3.2)中称为]，是红移因子。

A. 有Schwarzschild解

我们要分析的第一个解是在系数扇区中的渐近平坦解。使用公式(4.17)中度规和以瑟1-形式的参数化，我们有(7.2)式，其中是普适视界的位置，，奇点矢量场为。非共形成度规的奇点视界位置（即s-模的视界）由使用加杠耦合常数求解方程得到。我们得到(7.3)式，其中通过将每个系数替换为其加杠版本获得。当根据公式(6.6)用原始耦合常数表示时，对依赖关系变得明显。公式(3.1)中的贡献为(7.4)式。背景减除项由该式在极限下得到(7.5)式。考虑到红移因子(7.6)式，因此ADM质量结果为(7.7)式。表面引力和相关温度被发现为(7.8)式。来自Komar荷密度的熵是通常的Bekenstein-Hawking贡献，而以瑟的熵由于问题的高度对称性同样与面积成正比：(7.9)式和(7.10)式。可以很快验证它们的和满足预期的斯马尔公式(7.11)式。第一定律，以公式(6.19)和(6.20)中定义的物理量重新表述，具有形式(7.12)式。注意，鉴于解的对称性，可以将以瑟的熵贡献与Bekenstein-Hawking熵合并，从而得到一个有效面积定律(7.13)式，其中有效牛顿常数(7.14)式也是决定普适视界半径与其质量之间比例因子的那个量(7.15)式，如文献[41,64]所示。

B. 中旋转的BTZ黑洞

我们分析的第二个例子是扇区中的一个非稳态轴对称解，它描述了维数中的BTZ黑洞。该解在文献[54]中发现，可以用以下参数化表示：(7.16)式。该解的奇点矢量场为，其中。

具体解由(7.17)式给出，其中我们引入了以下辅助函数：(7.18a)、(7.18b)、(7.18c)。在这个解中，被称为失准参数。其名称来源于以瑟矢量通常不与生成无穷远处时间平移的矢量场对齐，因此在这种情况下无法建立黑洞热力学第一定律。因此我们将注意力限制在对齐情形，对应于极限。

在这种情况下，加杠世界中奇点视界的半径变为(7.19)式。在这种情况下，渐近质量的计算导致(7.20)式。再次考虑背景值（对得到的）导致(7.21)式和(7.22)式。另一方面，在这种情况下，渐近角动量不需要背景减除(7.23)式。表面引力由(7.24)式给出，而熵贡献分别为(7.25)式和(7.26)式，其中是奇点视界的周长。

以物理量表示的第一定律为(7.27)式，其中出现了角动量项。由于该解具有非零的宇宙学常数，我们无法仅从第一定律恢复斯马尔公式，但我们必须考虑与共轭的变量，它竟然是切片的（欧几里得）面积：(7.28)式。经过正则化后，我们得到一个等于s-模视界所包围的（欧几里得）面积的化学势(7.29)式。因此，扩展热力学的第一定律为(7.30)式，由此得出一个自洽的斯马尔公式(7.31)式。

VIII. 与普适视界处先前结果的比较

在本节中，我们展示文献中推导普适视界第一定律的两种尝试。我们进行比较，并展示我们的发现如何阐明它们之间的关系和不足之处。

在文献[15]中，作者推导了一个普适视界的第一定律，要求熵与视界面积成正比，如广义相对论中Bekenstein的结果。随后通过自洽性发现，温度由一个在普适视界处评估的"表面引力"所固定。注意，由于普适视界不是零超面，没有保证与成正比。尽管具有数学自洽性，但其物理诠释相当有问题，因为没有任何场会以如此的温度从普适视界辐射。正如文献[15]的作者所指出的，如此定义的通常不是表面引力，而仅仅是从无穷远测量的静态观察者的红移加速度。

在文献[16]中采取了不同的策略，其目标是用构造热力学第一定律，这给出了无穷速粒子霍金辐射的物理温度。确实，这些粒子的轨迹以等于的剥离表面引力从普适视界剥离（见例如[12]）。然而在这种情况下，发现第一定律的自洽性不允许将黑洞熵识别为普适视界的面积，这在宇宙学常数被开启的情况中尤为明显。

令人满意的是，我们现在有条件澄清这些替代方法之间的关系。

考虑到第六节的讨论，我们迄今为止假设模式以有限速度传播。这一要求确保非共形变换公式(6.3)保持良好定义。然而，在极限下，非共形成度规退化为秩1张量，从而变得不可逆。

更一致的方式解释这个极限是将它视为描述具有逐渐提高但仍有限的传播速度的试探场。随着速度增加，这些场探测更宽的因果域，最终探测整个从普适视界发出的空间。在极端极限下，试探场对与普适视界相关联的因果结构变得敏感。

让我们暂停强调一个关键的微妙之处：对试探场取并不等同于将引力理论动态模式的传播速度推向无穷大。自旋0、自旋1和自旋2扰动的速度由理论的耦合常数固定[对照公式(4.13)]，将其中一个速度推向无穷大通常对应参数空间中的一个奇异区域。这种极限可能会改变约束的结构或减少自由度数，因此不能被视为光滑极限。为了避免这些病态行为，我们只考虑外部试探场。换言之，我们想研究同一理论内不同时空区域的因果结构，而这只能通过试探场作为探针来完成。

正如我们所言，在极限下，与模式相关的相关因果边界变为普适视界。对于具有公式(4.16)形式色散关系的超光速模式，霍金辐射已被计算，其温度恰好为[12]，这可以解释为黑洞的物理温度（尽管对于低能模式，奇点视界引入了能量依赖的灰体因子）。我们在附录C 3的(C22)式中表明，在极限下，如公式(6.19)中定义的s-模温度确实如预期趋向于。因此，支配任意快速模式热力学的温度是由普适视界的霍金辐射确定的物理温度。

另一方面，由于我们可以对任何高但有限的速度应用Wald的构造，熵始终由分叉面上的Noether荷给出，我们已证明它包含一个额外的以瑟贡献。

因此，熵不能简单地归结为宇宙视界面积，或者更准确地说，在一些不能简化为单一质量标度的解中，情况更是如此，例如那些带有宇宙学常数的解。事实上，在单标度、球对称的场景中，量纲分析基本上固定了在宇宙视界处所有物理量的结构。在这些情况下，以太流项可以被吸收到比例系数的一次简单重标度中，从而使整体热力学保持不变。但在更一般的情形中，这一做法并不成立，以太流项必须被单独处理。

对于前一节讨论的两个例子，可以显式地展示$\tilde{c}_{\alpha}\to\infty$的极限情形。在$\alpha$分区的施瓦西类似解中，我们得到：

$$\frac{\kappa_{\rm Killing}}{2\pi} = T_{\rm H} \tag{8.1}$$

类似地，

$$S_{\rm BH} = \frac{A}{4G} \tag{8.2}$$

这与文献[16]中方程(42)所得温度一致。

对于$\alpha$分区的BTZ黑洞，我们同样可以证明，在$\tilde{c}_{\alpha}\to\infty$的极限下，方程(7.19)中的$\kappa_{\rm Killing}$趋于$\kappa_{\alpha}$：

$$\kappa_{\rm Killing} \to \kappa_{\alpha} \tag{8.3}$$

对于方程(7.24)给出的温度，我们得到：

$$T_{\rm H} = \frac{\kappa_{\alpha}}{2\pi} \tag{8.4}$$

这与文献[16]中方程(61)在对齐极限$\xi=0$下的结果一致。

因此，总结如下：我们的结论是，此前两种做法都不够完整。强制始终恢复如文献[15]中的面积律，将把温度固定为一个非物理的值；而如文献[16]中那样强加物理温度却不考虑以太熵贡献，则会在宇宙视界处得到一个并不总是与贝肯斯坦-霍金公式相符的引力熵。

正确的解决方案是：宇宙视界的温度始终是物理温度$T_{\rm H}=\kappa_{\alpha}/2\pi$，但以太对熵的收支有非零贡献。事实上可以证明，只要以太流不是测地式的，以太的奇林能量在穿过宇宙视界时就会存在非零通量，而这在宇宙视界存在的条件下必然是成立的情况（参见方程(4.14)中的第二个条件）。

IX. 结论

在本工作中，我们重新审视了真空爱因斯坦-以太理论中的黑洞热力学，旨在研究一旦因果结构不再普适时，第一定律是否仍然成立，以及以何种形式成立。为了解决这一问题，我们采用了带边界的协变相空间形式主义，以获得该理论荷量的稳健描述。此外，我们还采用了爱因斯坦-以太文献中已被证明有用的标准离散型策略，以便能够应用标准的瓦尔式构造。具体来说，对于选定的一个传播速度为$c_\alpha$的模式（即$\alpha$-模式），我们引入了一个离散型度量，其奇林视界与$\alpha$-模式的因果视界重合，从而使得由奇林生成元构建的表面引力在构造上自动匹配该模式的剥离表面引力[13]。在离散型框架中我们得到了熟悉的第一定律后，又将其翻译回物理（无标记）框架。最终得到的结果是一个定义良好的第一定律，但其中包含了一个广义相对论中不存在的关键新要素：一项以太流贡献，反映了以太穿过视界时不可避免的奇林通量。

在同一框架下，我们还构造了一个“扩展”的第一定律版本，允许宇宙学常数$\Lambda$的变化，并推导出了黑洞解的斯马尔公式。

本分析的一个概念性副产品，如第八节所指出的，是对宇宙视界热力学以及文献中表面差异的更清晰理解。一方面，强制宇宙视界熵服从面积律的做法自然会推导出一个与度量奇林构造绑定的温度[15]；另一方面，通过射线追踪/剥离论证对任意快速探针的分析确定了一个不同的宇宙视界霍金温度[12]，代价是要求熵并不总是视界面积[16]。通过将上述$\alpha$-模式视为测试场并取$\tilde{c}_\alpha\to\infty$的极限，我们展示了相应的表面引力如何连续地趋近于$\kappa_\alpha$，即文献[48]中所确定的值，从而恢复了物理温度$T_{\rm H}=\kappa_\alpha/2\pi$[12]。然而，熵一般不会简化为一个纯面积项，而是分裂为标准的（几何）贡献项加上一个独立的以太贡献项，后者由穿过视界的以太奇林通量驱动。这解决了两种方案之间的张力：将熵强制为与面积成纯比例会掩盖这个不可避免的以太贡献，而强加物理温度却不允许存在这一额外贡献，则会导致一个表面上的“非面积”熵。

以下几点重要注意事项和展望值得强调。第一，一旦认真考虑洛伦兹破坏引力的完整多模式内容，与单一模式绑定的热力学解释就已知存在问题，因为不同分区通常会感知到不同的视界和温度（参见文献[6–8]）。这表明需要额外的紫外输入才能恢复一个完全自洽的热力学。事实上，当纳入超光速修正色散关系时——这类色散关系在霍拉瓦类设置中自然出现，即方程(4.16)——因果结构会有效地围绕一个唯一的视界重新组织，即宇宙视界，并且一个唯一的温度（在能量依赖的灰体因子内）$T_{\rm H}$[12]得以恢复，从而重建了一个自洽的热力学图像。从这个意义上说，宇宙视界热力学不能被爱因斯坦-以太引力中简单的真空相对论色散设置所完全描述，因为只有宇宙视界才被认为是支配真正高能热力学的。

第二，无限速度极限在本质上存在微妙之处，并且在不同分区中并非均一有效。特别地，尝试将引力子速度取到无穷大将使离散型构造变得不良定义，并且正则性要求通常对引力模式不成立。具体来说，量$\tilde{c}_{\rm grav}$必须在视界处保持正则，而这个要求对引力子通常无法满足。在具有$c_1=0$的特殊施瓦西类似解中，正则性可以通过取自旋1模式的无限速度极限来实现，从而得到一个由$T_{\rm H}$控制的热力学行为。

最后，我们强调霍拉瓦-利夫希茨引力不能被简单地纳入我们当前的分析中。尽管爱因斯坦-以太和霍拉瓦-利夫希茨引力共享相同的球对称黑洞解（具有超曲面正交的以太流），但霍拉瓦-利夫希茨引力在一个关键方面有所不同：超曲面正交是内置的，这将对称性从完全的微分同胚降低为叶层保持的微分同胚。这种降低与一种瞬时的（无限速度）“椭圆”模式的存在有关[65]。理解这一模式如何进入相空间构造，以及如何在降低对称性的设置下一致地构造协变相空间，将是我们即将发表的一篇配套工作的主题。