检验函数自回归模型的拟合优度

《Journal of Multivariate Analysis》：Testing the goodness-of-fit of a functional autoregressive model

　　

# 摘要

本文提出的用于检验函数时间序列中线性自相关模型的拟合优度（GoF）检验基于一个经验过程，其残差标记和协变量索引集位于可分希尔伯特空间H中。推导出一个函数中心极限定理，该定理提供了经验过程向在可分希尔伯特空间H中求值的时间变换维纳过程的收敛性，从属过程由所涉及的严格平稳自回归希尔伯特过程（ARH(1)过程）的边际概率给出。在简单零假设和复合零假设下，获得了检验统计量的大样本行为。在简单零假设下讨论了检验的一致性。在补充材料中，说明了该检验程序在不同备择假设族和随机投影方案下的有限样本表现。

# 引言

函数时间序列模型自20世纪90年代以来已被广泛分析，为随机过程的推断提供了支持。Bosq（2000）的专著构成了状态空间框架下函数线性时间序列模型渐近推断的基准。我们还将读者引向H?rmann和Kokoszka（2010）以及Horváth和Kokoszka（2012）关于弱相依函数时间序列分析，以及Ferraty和Vieu（2006）关于非参数函数统计学的著作。

函数时间序列统计检验的当前进展涵盖了与相依结构相关以及独立性（参见Hlávka等人，2021；Horváth等人，2013；Zhang，2016）；可分性、平稳性和线性相关范围（参见Constantinou等人，2018；Horváth等人，2014；Kokoszka和Reimherr，2013；Zhang和Shao，2015；Kokoszka等人，2017）；正态性和周期性（参见Górecki等人，2018；H?rmann等人，2018）等不同问题。对均值、方差和自相关算子的变点检验问题给予了特别关注（参见Horváth和Kokoszka，2012）。

模型设定和拟合优度（GoF）检验是函数数据分析（FDA）文献中新兴的研究领域（参见Zhang，2016；Kim等人，2023；Kim等人，2024等）。在函数线性回归模型的背景下，无限维空间中GoF检验的渐近分析目前仍是一个开放的挑战（参见Cuesta-Albertos等人，2019；álvarez-Liébana等人，2025；García-Portugués等人，2021及其中的参考文献）。具体而言，大多数提议基于Cuesta-Albertos等人（2007）定理4.1中随机投影方法的应用，通常使用自助法技术进行校准。在具有标量响应的函数线性模型中，Cuesta-Albertos等人（2019）从随机投影经验过程出发，在简单零假设和复合零假设下处理了GoF渐近分析。在具有函数响应的函数线性模型（FLMFR）框架下的GoF渐近分析涉及若干无法解决的困难，这同样影响了基于随机投影方法的通常渐近分析（参见álvarez-Liébana等人，2025；García-Portugués等人，2021）。在这种背景下，Cuesta-Albertos等人（2007）定理4.1应以非退化的双变量无限维高斯测度来表述。本文通过考虑检验统计量的逆从属，克服了这一困难，该检验统计量由一个希尔伯特值（H-值）经验过程定义，并以H值协变量为索引。为此，在严格平稳性下，我们在下文等式（10）中引入了类似于命中时间的概念，以无限维版本的边际分位数变换表示，涉及一个紧的无限积高斯测度（参见Da Prato和Zabczyk（2002）定理1.2.1）。

本文的提议将Koul和Stute（1999）在实值马尔可夫时间序列背景下进行的GoF渐近分析扩展到自回归希尔伯特过程一阶（ARH(1)过程）场景下的函数时间序列框架。注意，该场景对应于Koul和Stute（1999）中非递减实值函数ψ为恒等函数的情况。在我们基于函数残差标记经验过程设计的检验统计量中，我们采用了Escanciano（2006）引理1(d)中提出的方法，并将其重新表述在无限维框架中。具体而言，我们应用了这样一个事实：H中包含一个正的非退化紧的无限维高斯测度集的Borel集类定义了一个分离类（参见Cuesta-Albertos等人（2007）定理4.1）。分离类随后以该无限维高斯测度的再生核希尔伯特空间（RKHS）中的函数为索引，当ARH(1)过程的边际满足卡尔曼条件时。特别地，分离类的索引集可以是ARH(1)过程自协方差算子生成的RKHS中的函数（参见Da Prato和Zabczyk（2002）定理1.2.1）。

本文的中心极限定理提供了广义函数残差标记经验过程边际的渐近无限维高斯概率分布，适用于简单零假设和复合零假设。在两种零假设场景下，极限过程在分布上被识别为通过推导出的函数中心极限定理（参见Walk（1977）定理2）所变换时间的H值布朗运动。连续映射定理随后允许对我们无限维版本的柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫（K-S）检验的临界值进行渐近近似。在实践中，可以应用随机投影方法，在随机方向的条件下，向实值时间变换布朗运动的弱收敛成立。临界值随后从[0,1]上实值布朗运动的边界穿越概率中进行渐近近似。我们随机投影方法的应用导致了渐近分布自由的（ADF）检验统计量。在无限维和条件一维表述下，证明了检验针对广泛备择假设族的一致性。注意，在自相关算子设定错误的情况下，Bosq（2000）第8章中关于自相关算子投影估计的强一致性结果在我们的复合零假设下检验统计量渐近分析推导中起着关键作用。

检验统计量的有限样本性质在补充材料中进行的仿真研究中进行了说明，适用于简单零假设和复合零假设，考虑了两种不同的备择假设场景。具体而言，我们解决了在不变球面函数时间序列（SPHAR(1)过程）背景下检测函数协变量中非线性的问题，以及区分两个线性自相关算子族的问题。在第二种场景下，自协方差算子的特征函数与球面上拉普拉斯-贝尔特拉米算子的特征函数一致。对于相对较小的函数样本量，在简单H0下观察到稳健的经验检验尺寸和良好的经验功效性质。在复合H0下也说明了自相关算子设定错误水平的影响。如预期那样，当设定错误水平较低时（即对于不变SPHAR(1)过程已知自协方差特征函数的情况），观察到比未知特征函数和特征值情况更好的小样本表现。

本文的结构如下：第2节提供了一些预备定义和结果。特别是，第2.2节给出了GoF检验程序的表述及其在实际中的应用。第3节推导了广义函数残差标记经验过程边际的渐近分布和极限过程。第3.3节讨论了GoF检验的一致性。第4节分析了设定错误的自相关算子场景。第5节呈现了最终讨论。辅助信息在补充材料中提供。在本文补充材料中进行的仿真研究说明了所提出检验程序的有限样本表现。

## 章节片段

### 预备知识

设Y?{Y_t, t∈Z}为基本概率空间(Ω, A, P)上的零均值ARH(1)过程，满足状态方程 Y_t = Γ(Y_{t-1}) + ε_t, t∈Z。

假设Y的自相关算子Γ属于H上的有界线性算子空间L(H)。假设确保等式（1）存在唯一平稳解的条件成立（参见Bosq（2000）第3章）。特别地，我们考虑‖Γ‖_{L(H)} < 1。Y的边际位于零均值H值随机变量X的LH^2(Ω, A, P)空间中。

### 简单H0下的渐近概率分布

本节推导主要的渐近结果。具体而言，第3.1节中的定理1为每个x∈H提供了边际V_n(x)到V_∞(x)的分布收敛，V_∞(x) ~ N(0, C0εPY0(E(x)))。随机变量V_∞(x)服从零均值H值高斯随机变量的分布，其自协方差算子为C0εPY0(E(x))。V_n弱收敛于时间变换的H值维纳过程 WC0ε°PY0 = WC0ε°PY0(x), x∈H，从属过程为在等式（9）中引入的PY0(x)，协方差算子为……

### 复合零假设下的渐近性质

本节在假设Γ0未知且必须以一致方式估计的条件下开展工作。我们采用Bosq（2000）第8章中引入的投影估计方法，其中区分了两种场景，分别对应于Y的自协方差算子C0Y的特征函数φ_j (j≥1)已知和未知的情况。此处，我们讨论Y的自协方差算子C0Y特征函数未知的情况。对于特征函数已知的情况，参见第3节……

### 最终评论

在以H值协变量为索引的函数残差标记经验过程的背景下，基于其随机投影的GoF渐近分析将需要应用Cuesta-Albertos等人（2007）定理4.1的双变量版本。本文利用逆从属进行降维和技术简化。此外，我们的ARH(1)设定涉及温和条件，允许应用中心极限定理和函数中心极限……

## 致谢

本工作部分由MCIU/AEI/ 10.13039/501100011033和FEDER UE资助的项目PID2022–142900NB-I00、PID2024-158017NB-I00和PID2020-116587 GB-I00支持。同时也由MCIN/AEI/ 10.13039/501100011033资助的CEX2020-001105-M支持。还部分由通过欧洲区域发展基金（ERDF）由加利西亚自治区政府资助的地区拨款ED431C 2021/24和ED431C 2025/03（竞争组）支持。

W. González-Manteiga | M.D. Ruiz-Medina | M. Febrero-Bande