基于虚拟点反馈的单向碳纤维增强聚合物板频响预测空间适用性研究

《Polymers》：Spatial Applicability of Fictitious Point Feedback for Frequency Response Prediction in Unidirectional Carbon Fiber-Reinforced Polymer Plates

　　

： 纤维取向和各向异性会改变碳纤维增强聚合物（CFRP）板的空间振动响应，这可能限制仅依据单一驱动点频率响应函数（FRF）进行预测的可行性。这项回顾性研究利用激光测振技术在7种CFRP纤维取向和一块较厚的纯树脂试样上、于15个位置测得的复模态导纳FRF，评估了虚拟反馈方法的适用性。每种构型分析了一个试样和一组平均FRF数据集。在P8处标定了一个频率相关的标量，其余14个输出点留作验证。所有42组有向CFRP比较均采用复误差、空间相关性和频率覆盖率进行评估。在100–1000 Hz范围内，28组比较的误差超过100%。最低误差为90–75°组合的18.2%，其频率线覆盖率为36.8%，验证单元覆盖率为26.9%，且保留的平方目标响应幅度的96.8%集中在200–300 Hz区间。同一组合在不进行重标定时的误差为45.3%，采用常数P8拟合标量时为40.2%，但局部误差超过90%。频率相关标量在42组主频带比较中仅在14组中优于常数标量。这些观测结果界定了所测试试样及支撑布置条件下标量传递的条件性局限，并未建立未测量输出点的前瞻性精度，也未将纤维取向效应与试样及支撑效应分离。

论文解读：

一、研究背景与问题提出

碳纤维增强聚合物（CFRP）因其高比刚度和比强度以及可通过纤维取向定制性能的特点，被广泛应用于轻量化承力结构。经典层合板理论表明，纤维取向改变会通过变换层合板刚度矩阵而改变结构的弯曲刚度与弯扭耦合特性，进而影响模态频率和空间振动响应。然而，一个关键的实验问题是：能否仅利用一个试样的空间频率响应函数（FRF）数据集，辅以另一个试样的单一驱动点测量，在不构建完整结构模型的前提下实现跨纤维取向的响应预测？

已有研究涉及模态对应跟踪、参考角模态参数估计、模式形状空间加权等方法，但这些方法依赖于可识别的模态量或取向间的标定关系。近期研究虽发展了物理信息神经网络、高阶秩修正等更丰富的空间信息方法，但均未直接回答单一标量在实验测量试样间的空间可传递性问题。此外，纤维取向不仅改变刚度，还影响模态阻尼——即使基体化学不变，模态阻尼也随应变分布和层合板方向性复特性而变化。因此，需要在不将变化单纯归因于刚度或阻尼的前提下，评估实测复响应的可预测性。

二、研究内容与主要结论

研究人员对7种单向（UD）CFRP纤维取向（0°、15°、30°、45°、60°、75°、90°）试样及一块3.0 mm厚纯树脂试样进行了实验研究。每种构型分析一个试样和一组平均FRF数据集。在P8点施加激振力，采用激光测振仪在15个位置测量速度/力导纳FRF。通过P8驱动点FRF标定频率相关的复标量增益，其余14个输出点保留用于空间验证。

主要结论包括：在100–1000 Hz主频带内，42组有向CFRP比较中28组误差超过100%，仅2组误差≤30%。最低误差为90–75°组合的18.2%，其频率覆盖率为36.8%，验证单元覆盖率为26.9%，且96.8%的保留平方目标响应幅度集中在200–300 Hz。该组合在不重标定时误差为45.3%，采用常数P8拟合标量时为40.2%，但局部误差在P6和P10处分别达91.3%和101.5%。频率相关标量仅在42组主频带比较中的14组优于常数标量。在1000–3000 Hz次频带内，37组误差超过100%，无一低于30%。90–75°组合在3000–5000 Hz误差为55.5%，5000–8000 Hz为131.0%。这些结果界定了标量传递的条件性适用域，未建立全面或前瞻性的预测精度。

三、关键技术方法

本研究采用的主要技术方法包括：（1）基于虚拟点反馈的标量传递预测框架——利用秩一修正的接受度矩阵逆恒等式，从参考与目标试样的P8驱动点导纳FRF代数求解频率相关复增益，再将该标量作用于参考空间响应列向量以预测目标响应；（2）最小二乘投影与响应向量保证准则（RVAC）——在每个频率上计算最优空间标量及其对应的最小标量误差，作为回顾性兼容性度量；（3）复误差评估体系——采用池化归一化复FRF误差、逐点误差、频率覆盖率与验证单元覆盖率等多维度指标；（4）相干性数据筛选——以幅度平方相干阈值0.90（敏感性分析用0.95）筛选有效频率线和输出点，要求每频率至少8个验证输出；（5）匹配掩码基准比较——在相同评估掩码下对比未调整、常数标量和频率相关标量三种预测方案。样本来源为同一母板切割的7种取向CFRP试样及单独制备的纯树脂试样，每种构型仅一个测试试样。

四、研究结果

4.1 满足相干阈值的数据可用性

在0.90相干阈值下，各响应点的频率覆盖率因试样、位置和频带而异。主频带内0°试样91.5%的频率线至少有12个点满足阈值，而60°试样仅为20.7%；要求全部15个点时分别降至52.8%和1.0%。P8通道在0°、30°和90°试样上的覆盖率分别为82.9%、98.6%和49.3%。驱动点共振并不能保证所有验证位置的数据可靠性。

4.2 0°参考的预测结果

以0°为参考时，15°目标误差最低（52.9%），最小标量误差为45.1%；其余目标预测误差为149.7%–196.9%，最小标量误差为82.1%–92.6%。纯树脂试样预测误差152.7%，最小标量误差83.0%。30°目标虽保留65.3%频率线，但最小标量误差达92.6%，中位RVAC仅0.196。0°参考未能提供跨取向的准确空间近似。

4.3 参考取向的依赖性

90°参考对75°和60°目标分别给出18.2%和36.4%的误差，而0°参考在各自成对掩码上分别为181.4%和184.3%。在0°、90°、75°三试样共同掩码的418条频率线（覆盖率14.5%，分布于100–473.125 Hz）上，0°参考预测误差180.6%，90°参考为17.3%，90°参考的优势在匹配样本上得以保持。

4.4 预测精度的空间变化

90–75°组合在主频带保留1060/2881条频率线（36.8%），分布于20个不连续区间。中位RVAC为0.973，79.8%的合格频率线空间相对误差≤30%。逐点误差从P7的6.2%到P10的101.5%不等，中位数为22.5%。P6和P10仅贡献保留平方目标响应范数的0.43%。等权逐点均方根误差为45.9%。保留集包含10863/40334个验证单元（26.93%），96.83%的平方目标响应幅度集中在200–300 Hz。

4.5 数据选择的敏感性

相干阈值从0.90提高至0.95使90–75°预测误差从18.2%降至16.3%，覆盖率从36.8%降至16.6%。最小输出数从8提高到14时，误差从18.2%升至87.2%，覆盖率从36.8%降至0.45%。弱驱动点排除测试中，5%阈值下0–15°误差从52.9%变为51.0%，0–30°保持149.6%，90–75°保持18.2%。

4.6 完整CFRP参考比较与局部残差

全部42组有向比较中，主频带28组误差超100%，次频带37组超100%。主频带最低为90–75°（18.2%），次频带最低为60–45°（63.8%，覆盖率40.5%）。局部复残差分析显示，实部和虚部残差暴露了仅看幅值曲线无法发现的偏差。

4.7 有效频率分布与高频评估

90–75°主频带结果的20个保留区间覆盖100–487.1875 Hz和940.625–1000 Hz，500–900 Hz区间无保留线。共同掩码的418条线中290条位于200–300 Hz。3000–5000 Hz误差55.5%（覆盖率13.6%），5000–8000 Hz误差131.0%（覆盖率4.0%）。45°与0°、15°、30°、60°、75°的五个无序对在5000–8000 Hz全部无合格频率线。

4.8 与简化预测的比较

90–75°组合中，频率相关标量将误差从45.3%（未调整）和40.2%（常数标量）降至18.2%。但0–30°组合中频率相关标量误差149.7%反而高于常数标量的100.0%。42组主频带比较中，频率相关标量在26组优于未调整预测、14组优于常数标量；次频带分别为19组和5组。

五、讨论与结论

讨论部分指出：方程（4）从两个非零驱动点FRF在每个频率代数求解增益，无需模态跟踪或对其他响应位置拟合。由于无约束复增益有足够自由度精确复现单个复FRF，P8处的一致并不能证明强化机制已被表征，相关证据来自排除在增益估计之外的响应位置。经典层合板理论解释了标量模型的空间限制——纤维取向改变分布式弯曲刚度和耦合，而点反馈仅修改动态算子一个坐标。标量增益可改变参考列的公共幅度和相位，但无法改变其相对空间幅度和相位关系。

与先前模态研究相比，本研究保留复强迫响应中重叠的模态贡献，避免显式模态识别，但无法恢复所选输入未激发的模态。前瞻性测量节省程序需要独立目标测量验证的参考和运行范围，本研究因完整目标FRF可用而进行回顾性验证。纯树脂试样因厚度（3.0 mm）和质量（44.3 g）与CFRP试样（1.9–2.1 mm，37.3–37.5 g）不同，是独立的材料与几何比较而非厚度匹配对照。

主要限制包括：测量仅提供一个输入列和稀疏位置的离面响应，无法唯一确定完整质量、阻尼或刚度矩阵；每个平均FRF来自单试样单位置的十次冲击，独立试样重复和单次冲击记录不可用；角度标签与试样身份混淆，无法分离取向效应与板内变异或支撑接触；有效频率掩码限制每次比较；支撑布置的刚度和阻尼未表征。未来工作应评估支撑敏感性、独立试样和冲击可重复性以及偏心激励。

结论部分：采用15点SIMO导纳FRF对7种CFRP取向和纯树脂试样在名义自由–自由条件下评估了标量虚拟反馈预测器。观测到的主频带最低误差为90–75°的18.2%，频率覆盖率36.8%，验证单元覆盖率26.9%，其池化归一化由200–300 Hz主导（贡献96.8%的保留平方目标响应幅度）。匹配掩码下45.3%（未重标定）和40.2%（常数标量）的误差表明该组合的获益，但频率相关标量仅在42组主频带比较中的14组优于常数标量。局部误差超过90%，更严格的空间完整性降低覆盖率。这些发现支持条件性回顾评估而非全面或前瞻性精度。投影界和驱动点失配项以代数方式划分观测残差，不能分离纯模型误差与测量不确定性。大多数取向对未能产生低复误差，高频结果进一步限制观测适用域。每个取向仅一个测试试样、不可用的单次冲击记录、未量化的支撑效应、未解决的采集元数据和矩阵厚度失配限制了物理归因。在将结论推广至该测量构型之外前，需进行独立支撑测试、试样重复和前瞻性参考/域验证。