基于自动微分增强的Galerkin有限块方法的压电结构非线性热机电分析

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：Nonlinear thermo-electro-mechanical analysis of piezoelectric structures by automatic-differentiation-enhanced Galerkin finite block method

　　

摘要

本文提出了自动微分增强的Galerkin有限块法（AD-GFBM），并将其应用于温度依赖性压电结构的非线性热-电-机耦合分析。将物理域划分为若干互不重叠的块，每个块被映射到归一化域上，并使用切比雪夫多项式进行逼近。温度、位移和电势被选为基本未知量，在统一的残差方程系统中求解。耦合方式为单向耦合，即热场影响机电响应，而反向耦合被忽略。材料非线性的来源包括导热系数、压电系数和介电常数对温度的依赖性。对组装后的残差施加自动微分以构建一致切线矩阵，从而避免了对手动耦合控制方程和界面约束进行手动求导的过程。静力问题采用增量牛顿-拉夫森格式求解，瞬态问题则采用纽马克-β格式和向后欧拉格式进行时间积分。文章研究了四个涉及单材料和多材料系统、复杂几何形状以及不完美界面的算例，并与有限元解进行了对比。结果表明，所得结果与参考解高度吻合，并进一步展示了温度相关材料属性以及界面热阻对耦合响应的影响。

引言

压电材料表现出可逆的机电耦合效应，能够实现电能与机械能之间的相互转换。作为一类重要的智能材料，它们具有重量轻、制造成本低、灵敏度高以及固态驱动等特点，已被广泛应用于生物医学[1]、航空航天[2]、可穿戴设备[3]以及土木工程[4]等领域。在实际应用中，压电材料经常处于热场环境中，热场会显著影响其机电性能。因此，深入理解压电介质的热-电-机耦合行为对于可靠性评估和结构维护至关重要。

除了少数简单情形外，对于实际工程问题通常无法获得解析解，这使得数值方法成为一种必要的替代方案。作为应用最为广泛的数值方法之一，有限元法（FEM）已被广泛用于研究热-电-机耦合问题。Rao和Sunar[5]基于热压电准静态控制方程建立了分布式热压电介质的有限元公式。他们的研究表明，热效应在智能结构的高精度分布式控制中起着关键作用。Tzou和Ye[6]采用了一种新型三维薄压热弹固体单元，比较了两种温度诱导响应分量。Smittakorn和Heyliger[7]建立了层压湿热压电板的三维离散层模型，并采用有限元法进行了稳态和瞬态分析。Zhang等人[8]利用热-电-机耦合有限元模型研究了曲面声表面波，并考察了一种新型微型超声波球形电机的工作机理。Shariyat[9]基于高阶剪切变形理论，利用有限元公式研究了热压电弹性效应在突然施加的热载荷和机械载荷下对动态屈曲的影响。Koutsawa等人[10]提出了一种基于细观力学的模型，用于预测椭球形多层不均匀压电复合材料的等效热-电-弹性属性，其中两相复合材料在ABAQUS中进行建模。Sladek等人[11]利用有限元法研究了受热载荷作用的开裂压电纳米结构的边界值问题，并通过应变梯度效应表征尺寸效应。为了缓解传统有限元法的局限性（如过度刚硬和体积锁死），Meng等人[12]将梯度光滑技术引入有限元框架，发展了耦合热-电-机单元基光滑有限元法（CICS-FEM）。他们进一步将该公式与改进的Wilson-θ方法相结合，研究了功能梯度压电材料（FGPM）的瞬态响应。Guo等人[13]建立了用于模拟液晶弹性体复杂热-电-机行为的理论框架，并通过ABAQUS子程序实现了该模型。Wu和Meguid[14]提出了一种全耦合非线性有限元公式，用于研究在热-电-机载荷下利用智能压电贴片进行变形控制的问题。

然而，基于网格的数值方法常常受到复杂几何形状网格生成困难以及大变形下网格失真的困扰。只需对边界进行离散化的边界元法（BEM）也已被成功应用于热-压电及相关热电弹问题[[15], [16], [17], [18]]。无网格方法主要依赖于节点离散化，通常具有更大的灵活性和鲁棒性，因此适用于多场耦合问题。Dai等人[19]采用无单元Galerkin法（EFGM）研究了功能梯度材料板在热-电-机耦合条件下的力学响应和主动控制问题。Wu等人[20]采用带有微分再生核插值的无网格配点法，对功能梯度压电-热-弹壳体进行了三维耦合分析。该方法还便于施加本质边界条件。Sladek等人[21,22]利用无网格局部Petrov-Galerkin（MLPG）方法，系统地研究了功能梯度压电结构的热-电-机响应，包括具有连续厚度方向梯度属性的压电板和多孔压电圆柱。Nie等人[23]采用基于边的光滑点插值法研究了功能梯度压电结构中的湿-热-电-机耦合问题。Jiang和Gao[24]利用区域Galerkin自由元法研究了压电结构在热-电-机耦合下的静力和动力响应。Peng等人[25]采用单元微分法（EDM）研究电热机械耦合，其中电引起的焦耳热被纳入热控制方程中，而所得温度场则通过热膨胀影响机械响应。此外，还发展了其他无网格和配点方法，包括有限块法（FBM）[26]、稳定配点法（SCM）[27]以及拉格朗日-欧拉稳定配点法（LESCM）[28]，这些方法拓宽了复杂边界值问题的数值框架。

Wen及其合作者提出的有限块法（FBM）是一种强形式无网格配点法。其主要特点是将不规则物理域划分为若干块，并在相邻块之间的界面上施加应力连续条件。作为有限块法的扩展，Galerkin有限块法（GFBM）利用Galerkin加权残差法建立离散控制方程，同时物理域内每个归一化块中的物理场使用切比雪夫多项式进行逼近[29]。近期，自动微分（AD）增强的GFBM（AD-GFBM）已被扩展至非线性断裂力学问题，并展现出优异的性能[30]。利用自动微分获取组装后弱形式残差的一致线性化，使得牛顿-拉夫森求解过程无需手动推导切线刚度矩阵即可实现。

实验研究已经证明，各种压电材料的性能随温度变化显著[[31], [32], [33], [34]]。然而，压电材料属性的温度依赖性在现有的数值研究中所受关注相对有限。基于现有的AD-GFBM框架[30]，本文研究了二维温度依赖性压电结构在静力和瞬态载荷下的非线性热-电-机响应。本研究的贡献在于将其应用于涉及多材料和不完美热界面的温度相关耦合问题。本文所考虑的非线性来源于导热系数、压电系数和介电常数对温度的依赖性。

本文其余部分的组织结构如下：第2节给出控制方程的弱形式以及相应的边界和初始条件；第3节描述GFBM中的映射技术、切比雪夫多项式逼近以及Lagrange乘子法处理块间约束；第4节给出静力和瞬态分析的增量迭代牛顿-拉夫森算法，其中一致切线矩阵通过自动微分获得；第5节给出四个代表性数值算例以评估AD-GFBM的数值性能和适用性；第6节总结主要结论。

问题描述

考虑一个横观各向同性的压电体，占据二维域Ω??2，边界为Γ=?Ω。材料沿x?方向极化，在x?-x?平面内假设为平面应变状态。基本未知量为温度T、位移u=(u?, u?)?以及电势φ。

映射技术

在GFBM中，计算域被划分为一组互不重叠的块。物理x?-x?平面中的每个块被映射到归一化域(ξ, η)∈[-1, 1]2上，如图2所示。设x=(x?, x?)?表示物理域中的一个点，映射定义如下：

x?(ξ, η) = Σ（k=1至N）N?(ξ, η)·x??, x?(ξ, η) = Σ（k=1至N）N?(ξ, η)·x??, -1 ≤ ξ ≤ 1, -1 ≤ η ≤ 1

其中N?(ξ, η)是与第k个种子点相关的映射函数，(x??, x??)是其物理坐标，N是种子点的数目。

自动微分增强的静力和动力问题求解方案

第3节所述的GFBM离散化过程导出了式(54)中的全局代数方程组，其中G为组装后的残差向量，z包含节点温度、位移分量、电势和Lagrange乘子。仅温度和位移分量涉及时间导数；电势和Lagrange乘子保持为代数变量。对于静力分析，时间导数项为零，方程组简化为：

G_s(z) = 0

数值算例

本文提出了四个数值算例以评估AD-GFBM的精度和适用性。第一个算例验证非线性耦合公式的收敛性和精度；第二个算例研究温度相关材料属性引起的非线性静力响应；第三个算例考虑非矩形域中的瞬态分析；第四个算例将该方法扩展至具有不完美热界面的多材料结构。

PZT-4的参考属性如下：

结论

本文提出了AD-GFBM框架，并将其应用于温度依赖性压电结构的非线性热-电-机耦合分析。温度、位移和电势在统一的残差方程系统中求解，耦合方式为热场到机电场的单向耦合。主要结论如下：

1. 所提出的方法能够为涉及复杂几何形状和多材料的静力与瞬态耦合问题提供精确解。

CRediT作者贡献声明

Liu S.M.：撰写初稿、数据整理。Huang W.：撰写审阅与编辑、调查研究。Xu P.：验证。Wang M.X.：可视化。Wen P.H.：方法学。

Liu S.M.|Huang W.|Xu P.|Wang M.X.|Wen P.H.