记录值变换Pareto分布（RBTPD）：性质、五类估计方法及医学与水文数据应用

《Axioms》：Record-Based Transmuted Pareto Distribution: Properties, Estimation, and Applications to Medical and Hydrological Data

　　

本研究引入并研究记录值变换Pareto分布（record-based transmuted Pareto distribution, RBTPD），该三参数模型通过将记录值变换映射（record-based transmutation map）应用于经典二参数Pareto分布而得到。文中明确给出其与记录值变换幂Lomax分布（record-based transmuted power Lomax distribution）的关系，并将本文贡献定位于Pareto参数化本身：该参数化所允许的闭式性质、其下端点为一具有实质解释意义的阈值参数且需要非正则推断（non-regular inference），以及五种估计方法的系统比较。附加参数为赋予基准分布第二个上记录值（second upper record value）的权重；该参数限定于单位区间，并在取零时退化为Pareto分布。所提模型较基准模型更灵活，且与若干现有扩展不同，其密度在整个支撑上保持有界。研究人员推导了分布、密度、生存函数与风险率函数；以Lambert W函数表示的分位数函数；矩与不完全矩；平均偏差；Bonferroni与Lorenz曲线；次序统计量；记录值；以及Rényi与Shannon熵。蒙特卡洛研究比较五种估计方法：最大似然（maximum likelihood, ML）、最小二乘（least squares, LS）、加权最小二乘（weighted least squares, WLS）、Anderson–Darling（AD）和最大间距乘积（maximum product of spacings, MPS）。对于α以及p远离其范围边界时，五种估计量的均方误差（mean squared error, MSE）均随样本量增加而下降，这一模式与相合性一致，尽管有限样本量范围不能证明相合性；阈值是支撑边界参数并单独处理，因为模型在该参数上非正则。最大似然总体表现最佳，且在数值上显著最稳定。模型拟合两个真实数据集，一个医学数据、一个水文数据，并在所考虑的所有准则上均优于基准Pareto分布和变换Pareto分布（transmuted Pareto distribution）。与Pareto族之外的竞争模型相比，所提模型给出总体可比的结果，并在某些情形下表现相对较好。自助法校准的拟合优度检验（bootstrap-calibrated goodness-of-fit tests）表明医学数据具有足够的绝对拟合，而水文序列则不然，并明确陈述了模型适用的条件。

研究背景：Pareto分布是生存分析、可靠性、精算、水文以及收入与财富分析中常用的重尾模型；在生物医学中，它可描述具有自然下界和长右尾的事件时间，如治疗后缓解时间。经典二参数Pareto分布仅有单一形状参数且风险率严格递减，难以刻画非单调失败率或较强不对称性。既有扩展主要沿两条路径展开：一是通过生成函数嵌入更大分布族，如指数化Pareto、beta Pareto、gamma Pareto、Kumaraswamy Pareto、alpha power Pareto及odd Burr Pareto等；二是采用变换映射，如二次秩变换及其beta、Kumaraswamy、三次秩变换形式。记录值变换映射则将新模型构造为基准分布前两个上记录值的混合，第二记录值权重作为变换参数，具有概率解释。本文关注Pareto Type I参数化中阈值的特殊地位：阈值不仅是位置移动，还会导致非正则推断，使标准渐近理论不适用于该参数；同时，既有采用同一映射的基准多固定于原点，不包含自由下端点。因此，研究人员引入RBTPD，旨在获得闭式性质、可解释阈值、五类估计方法系统比较，并评估绝对与相对拟合优度。

关键技术方法（≤250字）：研究人员采用记录值变换映射将二参数Pareto分布扩展为三参数RBTPD；推导分布、密度、生存与风险率、Lambert W分位数、矩与不完全矩、次序统计量、记录值、Rényi与Shannon熵；采用最大似然（MLE）、最小二乘（LSE）、加权最小二乘（WLSE）、Anderson–Darling（ADE）和最大间距乘积（MPSE），以L-BFGS-B约束数值优化；蒙特卡洛设4组参数、样本量n=20、50、100、200、500，每组1000次重复（共20,000个样本）；拟合20例镇痛药缓解时间医学数据与1935—1973年Floyd River年最大流量水文数据，并用2,000次参数自助法校准Kolmogorov–Smirnov检验。

研究结果：
2.1 基于记录值变换映射的构建：通过基准分布前两个上记录值的混合得到记录值变换（RBTM）族的一般分布函数、密度函数与风险率函数，第二上记录值的权重p限定于[0,1]。
2.2 基准分布：给出二参数Pareto分布的密度、分布函数与风险函数，其中α为形状参数、θ为阈值参数。
2.3 记录值变换Pareto分布（RBTPD）：将Pareto基准代入一般RBTM表达式得到RBTPD的分布、密度与风险率；p=0时退化为基准Pareto；密度在支撑上非负且有界，p=1时仅在x=θ处消失；图形显示密度可单调递减或呈单峰，风险率可为递减型（DFR）或倒浴盆型（UBT）。
3.1 分位数函数：分位数以Lambert W函数下分支闭式表示；给出中位数及基于分位数的Bowley偏度与Moors峰度；RBTPD在各参数组合下正偏，α增大使偏度降低，p主要移动四分位数并影响尾部权重；逆变换法用于随机数生成并服务于模拟研究。
3.2 矩：推导r阶原点矩，其存在条件为r<α；均值、方差、偏度与峰度分别要求α>1、α>2、α>3、α>4；p增大使均值与方差增大，α增大使偏度与峰度降低；由于重尾，矩生成函数不存在。
3.3 不完全矩及相关测度：给出不完全矩闭式，并据此得到平均偏差、Bonferroni与Lorenz曲线；p增大使平均偏差增大，α增大使离散度降低；关于中位数的平均偏差小于关于均值的平均偏差。
3.4 次序统计量：给出第k次序统计量密度的显式形式；样本最小值除n=1或p=0外不属于RBTPD族；并给出样本最大值密度。
3.5 记录统计量：由累积风险函数得到第n个上记录值密度及前n个上记录值的联合密度，联合密度定义于θ12<…n的有序区域。
3.6 熵测度：Rényi熵以Rényi熵阶δ和上不完全gamma函数闭式表示；Shannon熵作为Rényi熵极限，需对含变换因子的期望作自适应数值积分；熵随p增大而增大、随α增大而减小；差分熵可为负。
4 参数估计：由于支撑依赖θ，模型在θ上非正则，θ的MLE为样本最小值，α与p的标准误为给定θ=样本最小值时的条件标准误；θ估计量以n速率收敛并具指数极限，p=1为边界特殊情形。4.1 最大似然估计（MLE）：给出对数似然，θ取样本最小值，α与p数值最大化。4.2 最小二乘估计（LSE）：最小化次序统计量经验分布与理论分布之差的平方和。4.3 加权最小二乘估计（WLSE）：按次序统计量方差倒数加权。4.4 Anderson–Darling估计（ADE）：最小化强调两尾的Anderson–Darling统计量。4.5 最大间距乘积估计（MPSE）：最大化间距几何均值，并对并列观测作调整。
5.1 蒙特卡洛模拟设计：采用四组参数设置、五个样本量、每组1000次重复；所有准则在α>0、0<θ≤样本最小值、0≤p≤1约束下用L-BFGS-B优化，并从三个分散初值出发；至少一个初值收敛的比例为91.9%—100%。
5.2 模拟结果讨论：全部MSE序列随n增大而下降；MLE总体最优（平均秩1.72），其后为MPSE（2.58）、ADE（2.70）、WLSE（3.19）、LSE（4.82）；对阈值θ，MPSE平均秩最优（1.30），MLE为2.50且θ估计存在系统正偏；MPSE的α估计存在负偏且对初值高度敏感，MLE数值最稳定；小样本中边界解常见；作者据此建议：关注尾部与形状参数时优先MLE，关注阈值时可用MPSE但需多初值。
6 应用与讨论：将RBTPD拟合20例镇痛药缓解时间数据与Floyd River年最大流量数据。Pareto族内，RBTPD在所有准则上最优，医学数据Kolmogorov–Smirnov统计量由Pareto的0.2363降至变换Pareto的0.1699和RBTPD的0.1636，水文数据由0.3380降至0.2351和0.2306；p=0的边界校正似然比检验p值分别为0.023与2.0×10^?5；两数据p估计为0.8238与0.9366。与Pareto族外模型比较时，Burr XII在两数据上更优，但医学数据AIC仅差0.28，水文数据差15.6且该序列被绝对拟合检验拒绝；指数化Pareto出现不可识别平坦脊，记录值变换幂Lomax分布估计落在β=1边界。自助法校准KS检验显示医学数据拟合可接受（p=0.207），Floyd River数据被拒绝（p<0.0005），最大偏离靠近阈值；Floyd River为年最大值而非超阈值，样本最小值不是物理下端点。水文数据拟合α=0.7988<1，拟合模型下均值与更高阶矩不存在，宜用中位数与分位数测度。p的百分位自助区间包含0，而剖面似然区间不含0，作者说明二者基于不同构造且推断为近似。
7 结论：RBTPD由记录值变换映射作用于二参数Pareto分布得到，具闭式分布与密度，p=0退化为Pareto；推导了Lambert W分位数、矩与不完全矩、平均偏差、Bonferroni与Lorenz曲线、次序统计量与上记录值密度、Rényi熵闭式及Shannon熵。五类估计的模拟表明MSE随样本量下降；MLE总体最佳且最稳定，MPSE在阈值估计上占优但初值敏感；距离与间距类准则单初值结果需谨慎。应用显示RBTPD在Pareto族内优于基准与变换Pareto；绝对拟合上适用于具真实下界的医学缓解时间，不适用于仅以样本最小值为最小观测的年最大流量序列。

讨论部分总结：Pareto族内两应用均显示RBTPD准则值最小，记录值变换相对二次秩变换至少不差；p估计远离0且可解释为第二上记录值权重。与外部模型比较需区分目标：Burr XII虽拟合更优但无阈值参数，不能提供带实质解释的下端点；指数化Pareto与记录值变换幂Lomax在本文数据上分别出现不可识别或边界估计，信息准则比较应谨慎。绝对拟合检验明确限定了适用条件：模型适合具有真实下界的数据，不适合最小值仅为观测中最小者的年最大值序列。阈值参数带来解释力，也带来非正则推断代价。

研究结论（翻译）：本文引入RBTPD并推导一系列统计性质；分位数用Lambert W下分支表示，矩与不完全矩、平均偏差、Bonferroni与Lorenz曲线在矩条件约束下具闭式，次序统计量与上记录值密度及Rényi熵闭式亦已给出。基于20,000个生成样本的蒙特卡洛研究表明，五种估计量MSE随样本量增加而下降；对α及远离边界的p，这可视为精度提高且与相合性一致的经验证据；阈值估计速率非标准，需单独解释。MLE总体表现最佳且相对优势随样本量增强，ADE在最小样本中接近；对阈值，MPSE平均秩最低且偏差较小。数值诊断显示收敛并非普遍、边界解在小样本常见、MPSE对初值敏感且随样本量增大更敏感，MLE最稳定。两数据应用表明，在Pareto族内RBTPD在所有准则上最优，边界校正似然比检验拒绝基准Pareto；与变换Pareto同参数数比较无需规模惩罚，记录值变换对这些数据至少与二次秩变换同样有效。与Burr XII等不同基准模型比较时，Burr XII拟合更优但不含阈值参数，不服务于本文模型目标；指数化Pareto与记录值变换幂Lomax分别出现平坦脊和边界最大，信息准则解释需谨慎。Floyd River估计与既有发表结果三位小数一致。绝对拟合方面，模型适用于医学缓解时间，不适用于Floyd River年最大流量序列，最大偏离集中于阈值附近；因此RBTPD适用于具有真实下界且下界本身有意义的数据，如最小缓解时间、固定阈值超量、免赔额以上损失，不适用于最小值仅为观测中最小者的序列。局限包括：矩仅到小于α的阶数；阈值远离数据主体时所有Pareto型模型拟合受约束；阈值参数非正则，p<1时其估计以n速率收敛且具指数极限，p=1更慢为n^1/2，故α与内部p可用正则渐近推断，阈值需重抽样。可拓展方向包括贝叶斯估计、删失与排序集抽样、带协变量的回归形式、其他重尾基准及基于下记录值的对偶构造。