《Water Research》：Quantum-classical estimation of physically scaled groundwater flow and solute transport from normalized quantum states
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•精确归一化态保留了场结构，但缺乏量纲尺度。•约束重标度恢复物理缩放的地下水场。•算子级估计将恢复的尺度通过瞬态输运进行传播。•在2%噪声下，自适应HLR将64个观测点的P06均方根误差从0.581降至0.0769。•针对性的泵回监测在固定观测预算下改进了估计效果。引言在非均
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精确归一化态保留了场结构，但缺乏量纲尺度。
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约束重标度恢复物理缩放的地下水场。
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算子级估计将恢复的尺度通过瞬态输运进行传播。
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在2%噪声下，自适应HLR将64个观测点的P06均方根误差从0.581降至0.0769。
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针对性的泵回监测在固定观测预算下改进了估计效果。
引言
在非均质含水层中精确模拟地下水流场和溶质输运仍是水文学中的一大核心挑战，其直接关系到含水层修复（Sharma等，2020年）、核废料处置（Zhang等，2022年）、地质CO?封存（Dai等，2020年）以及地热能源开发（Olasolo等，2016年）。在连续介质尺度上，这些过程通常采用达西流耦合平流-弥散方程来描述，其中羽状迁移受水力传导系数空间变异性强烈控制（Ma等，2026年）。天然含水层往往表现出跨数个数量级的传导系数对比，从而产生优势流路径、停滞区和陡峭的速度梯度（Gelhar等，1992年；Hansen & Berkowitz，2020年）。这些结构影响早期突破、不完全混合以及长尾停留时间分布，若数值模型未能充分解析控制流连通性的非均质性，则难以准确复现（Brunetti等，2022年；Neuman & Tartakovsky，2009年）。
在高精度地下水流场和溶质输运模型中解析此类非均质性，需要反复求解大型稀疏线性方程组，其计算成本在随机水文学、反演建模和不确定性量化中急剧增加（Engdahl，2024年）。蒙特卡洛研究可能涉及103–10?次实现，每次对应不同的传导系数场、源项历史或应力期配置（Wang等，2023年）。在三维应用中，每次实现的自由度可达10?–10?（Janetti等，2019年；Maxwell等，2015年）。瞬态输运进一步加重了这一负担，因为离散化的输运方程需要在多个时间步上进行推进，通常每步都需要求解一次线性方程组（Ma等，2025年）。成熟的数值方法，包括代数多重网格法（Sbai & Larabi，2021年）、Krylov子空间方法（Hammond等，2014年）和降阶模型（Dey & Dhar，2020年），已显著提升了模拟能力。然而，这些方法在高非均质含水层中的性能往往强烈依赖于系数对比、各向异性、网格连通性和预处理策略（Jones & Woodward，2001年；Zhao等，2022年）。
量子线性方程组算法可能为加速此类模拟中部分线性求解过程提供未来的途径。从Harrow-Hassidim-Lloyd算法（Harrow等，2009年）开始，经过改进的量子线性方程组求解器和基于量子奇异值变换的方法（Childs等，2017年；Gilyén等，2019年），这些算法原则上可以以有利的渐近标度求解某些稀疏且良态的线性方程组。然而，这些优势依赖于严格的前提条件，包括态制备、矩阵条件数、预言机或分块编码访问以及读出。它们并不意味着在近期硬件上能够实现端到端的即时加速。量子方法也已被开发用于微分方程和输运相关问题，包括线性偏微分方程的高精度求解器以及平流-扩散和流体动力学系统的变分或混合处理（Berry等，2017年；Childs等，2021年；Demirdjian等，2022年；Liu等，2021年；Lubasch等，2020年）。近期研究已开始探索量子计算在水文反演分析、裂隙网络流、地下不确定性量化以及更广泛的地球科学建模中的应用（Greer & O'Malley，2023年；Hendersen等，2024年；Kath等，2025年；Mohammadi等，2025年；O'Malley，2018年；Sahimi & Tahmasebi，2022年）。这些工作主要涉及算法可行性、预处理、态制备、不确定性估计或特定可观测量；相比之下，从归一化量子态输出中重建具有物理缩放的含水层水头和瞬态浓度场，以适应质量和通量计算，这一方向受到的关注较少。
这一区别很重要，因为水文学状态变量并非任意向量。水头受边界条件和抽水应力的约束，而溶质浓度还受源项载荷和输运历史的控制。振幅编码的量子线性方程组求解器返回的是与解向量成正比的归一化量子态，而非本身具有量纲的物理场（Bravo-Prieto等，2023年）。虽然这些态可能保留了相对空间结构，但在没有额外物理或算法信息的情况下，计算水力梯度、溶质质量、突破浓度和井捕捉所需的绝对幅度并不可直接获得（Aaronson，2015年；Dalzell等，2023年）。我们将这种量纲幅度的丧失称为振幅编码尺度恢复问题。解决这一问题需要通过稀疏且可辩护的约束重新引入物理信息，这与成熟的地下水模型率定和监测网络设计原则一致（Hill & Tiedeman，2007年）。
本研究开发了一个混合量子-经典框架，以评估从归一化量子态输出中恢复具有物理缩放的地下水流场和溶质输运场的物理读出可行性。由于这种恢复需要物理观测，一个次级问题在于瞬态系统中它们的数值信息如何随应力期变化。本研究不评估量子态读出的计算复杂度，也不宣称高效的端到端量子地下水求解器。该框架引入了多点约束重标度（MCR）和一种算子级输运公式，后者将恢复的浓度尺度通过序列输运更新进行传播。对于瞬态井反转场景，应力期感知的观测点布置和自适应区域重标度作为辅助组件，提供并利用约束此恢复所需的物理信息。在此，"锚点"指的是基于边界条件、源项位置、监测设计或应力期信息所设定的物理约束，而非保留的参考场。通过普通克里金、流信息协同克里金和局部化集合卡尔曼滤波（EnKF）的对比比较，评估了归一化态物理读出相对于仅基于观测的空间插值和序列地下水数据同化的效果。该框架在通道化双源非均质合成含水层和公开的MODFLOW 6 P06注采基准中通过经典模拟进行了评估（Langevin等，2022年）。
章节摘要
方法论
本研究开发了一种具有物理缩放的量子-经典估计程序，用于将归一化量子态输出转化为水文学可解释的水头和溶质浓度场。核心流程如图1所示，由四个组件组成：模型设置与问题定义、量子态模拟、带算子级输运更新的约束物理尺度估计，以及水文学评估。该程序旨在指定
数值实验设计
数值实验首先设计用于检验约束重标度是否能够恢复因振幅编码而丧失的物理幅度。随后的实验则考察状态和观测扰动如何影响该恢复过程，以及在注采反转条件下，应力期相关的观测点布置是否提供了在流动条件变化下约束读出所需的物理信息。实验分为两组测试。合成非均质
从归一化量子态中恢复幅度
合成非均质含水层首先考察了在非平凡羽状几何下由振幅编码引发的基本失效模式。该案例包含通道化水力传导系数结构、低传导透镜体以及两个内部溶质源，导致不对称的羽状迁移和路径依赖的浓度恢复。当将归一化量子态输出直接解释为浓度场时，羽状图案仍然在视觉上可辨认，但
结论
本研究开发了一种混合量子-经典估计框架，用于从归一化量子态输出中恢复具有物理缩放的流场和溶质输运场。核心挑战不仅在于求解底层的线性方程组，还在于恢复水文学解释所需的具有量纲的水头和浓度幅度。在合成非均质含水层中，直接使用归一化的浓度态会产生较大的幅度误差，尽管
CRediT作者贡献声明
马福宁： 撰写 – 原稿、方法论、调查研究。贾思达： 撰写 – 审阅与编辑、概念化。戴真学： 撰写 – 审阅与编辑、监督指导。蔡方菲： 撰写 – 审阅与编辑、可视化。
利益冲突声明
作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。
致谢
本工作由中国国家自然科学基金（42502246 和 42402248）和中国国家重点研发计划（编号：2024YFC3713802）资助。
马福宁 | 贾思达 | 戴真学 | 蔡方菲
