静电 MEMS 微梁中的调制诱导频率梳生成

《Sensors and Actuators A: Physical》：Modulation-Induced Frequency Comb Generation in an Electrostatic MEMS Microbeam

　　

•可调MEMS频率梳由调制静电驱动产生。•固有静电非线性使频率梳的生成成为可能。•幅度调制（AM）、相位调制（PM）和多频（MF）激励均能产生等间距频率梳。•频率梳间距通过改变调制频率来调节。•仿真与实验验证了该频率梳生成方案。

**引言**

频率梳（FC）最初出现在光学领域，具体应用于锁模激光器。其特征是频谱由围绕载波或参考频率的离散、等间距频率线组成，形似梳齿或刻度尺，可用于高精度测量未知频率。这一特性使一系列应用成为可能，包括计时、原子钟、天体物理学、光谱学和计量学[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]。

类似于光学（光子学）频率梳，声子频率梳（PFC）近年作为一个引人注目的领域崭露头角。在声子频率梳中，结构内的机械振动在其动力学响应中产生离散的等间距谱线。这些机械频率梳通常形成于表现出强非线性及模态耦合的系统中，尤其是在微纳尺度上，固有非线性调制动态响应，通过非线性混频[7]、[8]、[9]、参量激励[10]、[11]、[12]和内部共振[13]、[14]等机制产生梳状结构。

Cao等人[15]为PFC生成建立了早期的理论框架，表明Fermi-Pasta-Ulam（FPU-α）链中的非线性共振通过固有三次波混频产生频率梳。Ganesan等人[7]随后在压电驱动的悬空梁中实验观察到PFC，证明一旦驱动跨越某一振幅阈值，次谐波模态即被自参量激发，由此产生的固有耦合便生成了频率梳。同一团队在耦合悬空梁结构中报告了类似行为[8]。尽管令人信服，但这些方法要求谐振器具有特定频率关系的模态以实现混频，并且依赖响应被驱动到特定不稳定性阈值之上。

参量泵浦是产生PFC的另一条已确立的路径。Yang等人[10]通过低频轴向泵浦信号动态调制菱形MEMS谐振器的刚度，展示了频率梳的生成，梳间距由泵浦频率设定。Chen等人[11]报告了MEMS谐振器中通过共存态激励和腔体调制实现的高可调频率梳。这些方法有效，但通常需要专用电极或几何特征来施加参量泵浦，并在参量不稳定性附近谨慎操作。

已有大量工作展示了由内部共振（IR）现象引发的PFC涌现。内部共振是指频率成整数比关系的振动模态之间的非线性相互作用和能量传递[16]。Gobat等人[17]对拱形微梁中通过1:2 IR产生PFC进行了详细研究，包括实验和仿真，频率梳在两次Neimark-Sacker分岔之间涌现，响应从周期性运动过渡为由较慢不可通约频率调制的准周期运动。Wu等人[14]展示了MEMS谐振器中由弯曲模态与扭转模态间1:3 IR产生的频率梳，仅在IR足够强使激励超越频率锁定的区域中观察到。Czaplewski等人[18]表明在1:3 IR系统处于分岔附近时，一旦驱动跨越临界水平，响应振幅即被调制，导致频率梳的形成。Rahmanian等人[19]将IR方法扩展到静电NEMS，利用机械共振与电共振之间的1:1和1:2 IR产生多达150条等间距梳线，并报告了归因于模态相互作用实现频率稳定的响应相位相干性[20]、[21]、[22]。基于IR的方法可生成密集频率梳，但可能施加严格的设计约束，因为器件必须具有自然频率处于正确整数比的模态，且系统必须在共振被激活的特定动力学区域被驱动。

除这些PFC生成机制外，Guerrieri等人[23]展示了MEMS振荡器中由振动结构与其周围机械部件之间的接触产生的PFC。

近期工作提出了利用频率梳的实际应用。例如，Chen等人[24]提出利用通过固定-固定微梁中IR产生的PFC间距作为温度变化的感知指标。他们指出，随着温度下降，PFC间距相应变化，从而显著提高灵敏度。Chen等人[25]提出了一种基于MEMS的2位逻辑器件，利用PFC实现。频率梳通过参量激励利用两个独立泵浦信号产生，每个信号代表一个不同的逻辑位。通过选择性激活这些泵浦，器件执行各种逻辑运算，如AND、OR和XOR。此外，Ganesan等人[26]提出了一种利用频率梳响应的共振追踪方案。Zhang等人[27]报告了在PFC生成条件下能量收集能力的提升。

此外，MEMS动力学中另一条研究路线考察了静电驱动器件在多频率激励下的响应，其中驱动包含两个或多个正弦分量。Jaber等人[28]对固定-固定微梁在双源多频激励下的响应进行了全面的分析和实验研究，显示在两个驱动频率之和与差处出现共振。Ibrahim等人[29]考察了多频激励如何影响主共振和次级（次谐波、超谐波）共振。Ilyas等人[30]报告了扭转微镜在多频驱动下的加性组合共振和减性组合共振。这些研究确立了静电驱动在多频激励下的二次特性能够实现有效的频谱混频，从而产生加性和减性组合共振。

在本文中，我们从理论和实验上研究了静电MEMS在调制驱动信号下的可调梳状频谱响应的涌现，包括幅度调制（AM）、相位调制（PM）和多频（MF）激励。与之前报道的基于内部共振或参量泵浦的声子频率梳实现方式不同，所提出的方法不需要工程化的模态频率可公度性或专用参量泵浦电极。静电力对电压的固有二次依赖关系，结合间隙的非线性反平方特性，足以将调制输入转化为富含频率梳的动态响应。本文其余部分组织如下：第二节介绍初步背景和动机。第三节讨论分析模型和仿真结果。第四节描述受试器件和实验装置。第五节展示实验结果。第六节提供总结与结论。

**理论背景**

接下来，我们讨论导致频率梳涌现的基本原理。为此，我们考虑一个形式为[31]的调制信号x：

x(t) = a(t)cos(ωt + β(t))

其中t为时间，ω为基频，a(t)和β(t)分别为时变幅度和相位，表示为：

a(t) = a?[1 + αcos(ω_m t + θ)]；β(t) = β?cos(ω_m t)

其中ω_m为调制频率，a?、θ和β?为常数系数。因此，式(1)可视为幅度调制信号、相位调制信号，

**建模与仿真**

为了研究静电MEMS器件中频率梳的生成，我们开发了系统的分析模型。受试器件为静电驱动的固定-固定微梁，如图2所示。微梁的位移x由单自由度（SDOF）集总参数方程[32]支配：

m? + c? + kx + αx3 = εAv(t)2/[2(d?x)2]

其中m为有效质量，c和k分别为有效阻尼和刚度系数，α

**器件构型与实验装置**

MEMS器件由一根固定-固定微梁组成，与侧驱动电极之间隔有小间隙，如图9a所示，其几何和材料特性列于表1。该器件由Science Foundry[34]使用SOIMUMPS微加工工艺制造，硅器件层厚度为25微米。实验装置如图9b所示。使用DC电源（型号6487，Keithley）向微梁的锚点施加偏置电压，同时

**单一激励下的频率响应**

微梁被置于MSA-060激光测振仪下，在环境条件下捕获其动态响应。施加恒定直流电压V_dc = 10V，以及幅度为V_ac = 5V的交流电压。激励频率f_e在第一面内模态共振频率附近扫描。如图10a所示，在约114 kHz处出现明显的共振峰及其相关相位偏移。

图10b展示了动态响应的频谱

**结论**

在本文中，我们研究了静电驱动的固定-固定微梁在调制激励下动态行为中可调梳状频谱响应的涌现。与之前报道的依赖内部共振、参量泵浦或其他特定非线性模态相互作用的实现方式不同，本文提出的方法利用静电驱动的固有非线性来生成丰富的频谱响应，无需工程化的模态

**CRediT作者贡献声明**

Mohammad Younis：写作–审阅与编辑、监督、方法论、调查、概念化。Basil Alattar：写作–初稿撰写、可视化、方法论、调查、数据管理、概念化。

**利益冲突声明**

作者声明没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

Basil Alattar于2023年获得阿拉伯联合酋长国沙迦的美国沙迦大学机电一体化工程硕士学位。目前他在美国纽约宾汉姆顿州立大学机械工程专业攻读博士学位。其研究兴趣包括非线性动力学、MEMS和机电系统。

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