基于临界分切应力（CRSS）约束的单晶生长后最优冷却策略及缩放规律

《Crystal Research and Technology》：Toward Optimal After-Growth Cooling of a Single Crystal

　　

研究人员提出了一种新颖且计算高效的生成最优生长后冷却剖面（after-growth cooling profiles）的方法，并给出了针对不同晶体材料和尺寸的若干示例。其前提是，随时间变化的冷却会在晶体内部诱导热弹性应力（thermoelastic stress），而最优冷却策略应在使热弹性应力低于预定义阈值（此处为临界分切应力（critical resolved shear stress, CRSS））的同时最小化工艺时间。针对若干理想化冷却剖面计算了最优策略。由这些结果得到了最大冷却速率（maximum cooling rate）和总冷却时间（total cooling time）作为材料与晶体性质函数的通用缩放规律。

研究背景与问题：晶体生长通常追求高结构完整性和低位错密度，这要求在晶体生长及随后冷却阶段维持低热应力条件。经典Alexander–Haasen（AH）模型可用于计算热条件导致的位错密度，但其计算量较大；更常用的优化判据是将晶体中的热弹性应力与最大可接受应力σ_max比较。Jordan et al.引入临界分切应力（critical resolved shear stress, CRSS）作为最大可接受应力判据，其经验规则是：若热弹性应力始终低于CRSS，则晶体中已有位错不会增殖。垂直梯度凝固（vertical gradient freeze, VGF）和垂直布里奇曼（vertical Bridgman, VB）技术因轴向和径向温度梯度低于Czochralski法，有利于获得低热应力和低位错密度。以往大量数值模拟及反演建模等优化多集中于生长步骤，对晶体完全固化后冷却至室温的过程研究较少；但冷却不当同样可能引入晶体缺陷，且冷却条件、材料性质和晶体尺寸会显著影响诱导热弹性应力。因此，需要寻找一种冷却策略，使整个冷却过程中热弹性应力不超过CRSS且工艺时间尽可能短，这自然构成最优控制问题。研究人员采用模型预测控制（model-predictive control, MPC）一类算法进行求解；原文指出MPC是控制工程中的成熟技术，并非狭义的AI方法，但可由AI技术补充和改进。该研究给出了不同晶体材料和尺寸的最优冷却示例，并提取缩放规律，为生长后冷却的应力控制与工艺时间优化提供了计算高效框架。

关键技术方法：研究人员基于简化VGF炉的轴对称几何，将边界温度设为沿轴向线性分布，并以整体温度和轴向温度梯度参数化控制；建立仅考虑导热的瞬态热传导模型和准静态热弹性应力模型，以最大冯·米塞斯应力（von Mises stress）为约束。为降低计算量，将温度拆分为由边界条件决定的动态部分与弱时变偏差温度，构造稳态代理模型（surrogate model），并利用Pontryagin最小值原理（Pontryagin's Minimum Principle）导出最优控制常微分方程。材料热物性与力学参数取自论文附录汇总的已发表文献数据；不涉及生物或临床样本队列。

4.1 参考算例的数值研究（Numerical Study of a Reference Case）：针对半径6 cm、锥角140°、初始轴向温度梯度6.66 K/cm的GaAs晶体，将其冷却至全晶体900 K均匀温度。研究人员用最优策略计算时变边界剖面，再代入瞬态热传导方程获得温度场并计算热弹性应力。结果表明，优化条件下冷却起始较慢、随后加快，原因在于GaAs晶体在较低温度下对应力更具耐受性；由冷却产生的应力几乎精确保持在CRSS约束以下，说明代理模型适合估算冷却过程中的晶体内部应力，其原因是冷却速率变化仍足够小，使代理模型中时不变右端项近似足够准确。

4.2 不同半导体材料的参数研究（Parameter Study for Different Semiconductor Materials）：研究人员将代理模型用于具有金刚石或闪锌矿结构的多种半导体材料，设定晶体半径5 cm、初始轴向温度梯度2 K/cm、锥角120°。结果表明，各材料在接近熔点T_m时冷却均起始缓慢，并随冷却时间增加而加速；100 mm直径晶体的总冷却时间在Si中仅约1 h，在CdTe中可达72 h。冷却速率随时间近似指数增加，主要归因于CRSS随温度降低而升高，因此最关键的冷却速率位于冷却初期；最大冷却速率与总冷却时间随材料呈相反趋势。研究人员进一步用Brice提出的关系分析最大可接受冷却速率与热扩散率（thermal diffusivity）、最大可接受应变（strain）、热膨胀系数（thermal expansion coefficient）和半径的关系，并以CRSS与弹性常数之比替代最大可接受应变；总冷却时间则与最大冷却速率近似间接相关并依赖总温度区间。结果发现最大冷却速率和总冷却时间随该组合参数良好缩放，最大冷却速率几乎呈完美正比，总冷却时间偏差稍大，归因于材料性质的温度依赖性。对GaAs改变半径和轴向温度梯度后，缩放规律匹配更好，相关系数为1，并表明在所考察参数范围内轴向温度梯度几乎无影响。

4.3 相空间中的最优路径（Optimal Paths in Phase Space）：研究人员在整体温度与轴向温度梯度构成的相空间（phase space）中，比较标准策略、梯度最后、梯度优先及两种优化算法得到的最优路径。以GaAs晶体为例，标准策略总时间为17:14；梯度最后为17:23（慢9 min）；梯度优先为16:52（快22 min）；最优路径I为16:50（快24 min）；最优路径II为16:49（快25 min）。结果表明，先降低轴向温度梯度再降低整体温度略有优势，但总冷却时间改善很小；允许整体温度初始上升及负轴向梯度的两种最优策略仅边际缩短总时间，且复杂度较高，在实际应用中并不真正有用。研究人员用成本因子解释轴向梯度影响小的原因：沿最优冷却剖面，整体温度冷却的平均成本比降低轴向梯度高一个数量级，因此应力计算中整体温度降低的贡献主导，初始轴向梯度对总冷却时间无显著影响；若要观察到明显影响，初始轴向梯度需大一个数量级，但这在VGF工艺中是不现实的生长场景。

讨论部分总结：该研究验证了稳态代理模型在计算最优冷却策略方面的有效性，并通过无量纲分析确认了Brice关于冷却过程的缩放规律；相空间不同路径对实际总冷却时间的改善可忽略。研究结论部分翻译如下：在本工作中，研究人员研究了材料完全固化后从工艺温度冷却至室温时由冷却引起的热弹性应力。由于时间相关问题计算成本很高，研究人员推导了一个近似稳态代理模型，并表明其在计算最优冷却策略方面有效。该代理模型通过无量纲分析使研究人员能够确认Brice开创性工作所发展的冷却过程缩放规律。最后，研究人员利用代理模型的效率研究了相空间中不同冷却策略的影响。研究人员发现，对于实际目的而言，不同策略带来的冷却时间缩短可忽略不计。该主题的进一步研究将包括对更真实冷却场景建模的影响，这些场景将产生非线性边界剖面，以及它们对由此产生的热弹性应力和总冷却时间的影响。