基于物理信息神经网络的交错壁挂方形等温通道内传热与流体流动重构研究

《Technologies》：Physics-Informed Neural Networks for Heat Transfer and Fluid Flow in a Channel with Isothermal Staggered Wall-Mounted Squares

　　

摘要专业翻译 物理信息神经网络（Physics-informed neural networks, PINNs）已越来越多地应用于热流体问题。本研究评估了PINN方法在重构矩形通道内带有四个交错壁挂方块的层流强制流场方面的性能。以空气为工作流体，雷诺数（Reynolds number, Re）= 100，普朗特数（Prandtl number, Pr）= 0.71。四个方块保持80 °C等温，而入口流体温度为20 °C。PINN用于预测速度、压力和温度场，以及局部和平均努塞尔数（Nusselt number, Nu）。PINN解与具有262,400个控制体的参考有限体积解进行了验证。有限体积方法针对等温平板间层流（泊肃叶流（Poiseuille flow）和格雷茨问题（Graetz problem））的精确解进行了验证。研究人员分别使用100、250、1000和4000个速度与温度采样点对PINN进行训练，每种情况使用不同随机种子训练五次。无采样点时PINN失效，流向速度和温度误差分别为49%和137%。在域内均匀布置1000个采样点时，流向和横向速度误差分别为0.5%和2.9%。网络预测的压力误差为0.9%，温度场误差为1.6%。平均努塞尔数被低估11%，将采样点数量增加到4000个并未降低该误差。将采样点布置在等温方块热边界层内部可获得显著改善。当1000个采样点中的35%布置在热边界层内时，平均努塞尔数误差降至8%，且各次训练运行之间的离散度降低四倍。重构场比相同采样点的线性、径向基函数和克里金插值更为精确。

论文解读文章

一、研究背景与问题

在热工工程中，加热凸起阵列（如翅片、销钉、百叶窗和凸块）是冷却通道中的常见几何结构，广泛出现在印刷电路板上的电子元件、紧凑式换热器的扩展表面、涡流发生器和表面粗糙度图案中。这些表面特征会打断边界层，使核心流在障碍物之间和周围交替加速和减速，产生流动分离与再附着，形成回流区。由于压降损失往往超过传热增强收益，整体热-水力性能通常下降。这类具有间断几何结构的通道无法用一般光滑通道关联式预测其非均匀传热和流动特性，设计此类通道需要求解耦合的速度、压力和温度场，传统上通过计算流体力学（computational fluid dynamics, CFD）完成。

过去十年中，机器学习方法在热流体科学中得到广泛应用，研究方向包括湍流封闭、从不完整场重构以及降阶建模。物理信息神经网络（physics-informed neural networks, PINNs）将守恒定律、边界约束和稀疏测量数据整合到复合损失函数中，无需网格和微分方程离散化即可求解。然而，现有研究未能确定PINN重构实际需要多少数据、能达到何种精度，速度-压力-温度场的联合重构鲜有报道，采样点数量与PINN精度之间的权衡也未被充分研究。此外，努塞尔数的重构是一项具有挑战性的测试，因为它依赖于壁面法向温度梯度。

二、研究内容与意义

本研究针对上述空白，在包含四个交错布置等温壁挂方块的平面通道内，测试了PINN在稳态二维层流强制对流问题上的预测精度。参考解由有限体积法（finite volume method, FVM）提供，作为实验室测量的替代。PINN以相同问题为对象，将x、y坐标映射到流函数、压力和温度，在0、100、250、1000和4000个采样点分辨率下进行训练。研究将PINN对速度、压力和温度的预测精度解释为仅测量预算的函数，并与相同采样点的线性、径向基函数（radial basis function, RBF）和克里金插值进行对比。研究还通过比较四个等温方块局部努塞尔数与参考FVM解来评估PINN的传热预测性能。

本研究的贡献包括：（i）PINN对速度、压力、温度场以及局部和平均努塞尔数的重构，其精度对照已验证的有限体积参考解进行评估；（ii）PINN预测精度作为采样点数量的函数，每种情况五次训练运行并与三种插值基线对比；（iii）采样点布置在热边界层内对努塞尔数精度的影响；（iv）网络直接预测压力与从预测速度场恢复压力之间的比较。

三、关键技术方法

研究人员采用有限体积法生成参考解，使用均匀交错网格（1200 × 240控制体，其中262,400个流体单元被求解），压力与温度位于单元中心，速度分量位于单元面。动量方程采用二阶中心差分格式和显式伪时间推进至稳态。能量方程在速度场已知后为线性方程，采用van Leer限制器的迎风格式离散。PINN采用六层隐藏层、每层256个神经元、双曲正切激活函数，前置双尺度随机傅里叶特征嵌入以抵消谱偏差。网络将坐标映射到流函数、压力和温度三个输出，速度由流函数自动微分获得，从而自动满足连续性方程。损失函数包含PDE残差、边界条件、流函数、等温壁面、入口、出口和数据项，权重固定。训练使用Adam优化器12000次迭代和L-BFGS 3200次迭代，5000个配点每250次迭代重采样。压力恢复通过将离散动量算子应用于预测速度场并求解压力泊松方程实现。网格收敛性通过Roache的网格收敛指数（grid convergence index, GCI）验证，有限体积求解器针对泊肃叶流和格雷茨问题的精确解进行了验证。

四、研究结果

参考流场、压力场与温度场。 参考CFD解显示，流场在S1下方转向、S2上方转向、S3下方转向、S4上方转向，接近方块时通道截面减小、流速加速。热层在方块暴露面上生长，核心流几乎保持未加热状态，出口混合温度为θ_b = 0.1957（31.74 °C），回流区内流体平均温度θ = 0.53（51.8 °C），是未加热核心流（θ = 0.18，30.8 °C）的三倍。无量纲压降为5.52，其中98.2%发生在包含四个方块的7D长度内，表现为形阻。

涡量、分离与解的稳定性。 剪切层在方块暴露角生成并向下游输运，来自相对方块的剪切层被核心流隔开。域内形成八个回流单元，其中单元8在出口处未闭合，42%的出口截面存在弱反向流。30D域测试表明，15D域在0 ≤ x ≤ 15D区域内速度与压力场差异小于1.3%，平均努塞尔数差异小于0.1%。Re_D = 100低于壁挂障碍物流动失稳的临界雷诺数范围（250 < Re_D < 1500），交错布置通过核心流隔开剪切层而稳定了流动。

传热与努塞尔数。 局部努塞尔数在暴露角B处达到峰值19.5–23.2，沿暴露面下降，在尾角C出现较弱的第二峰值，背风面传热低（平均值0.9–1.4）。方块S1–S4的平均努塞尔数分别为3.77、3.60、3.23和3.28，总体均值为3.47。四个方块分别贡献总传热量的27.2%、25.9%、23.3%和23.6%。

精确解验证。 有限体积求解器在移除方块并延伸通道至60D后，针对等温平行壁间充分发展层流进行了验证。压力梯度误差在细网格上为?0.0042%，速度剖面偏离精确抛物线不超过最大速度的0.0017%，局部努塞尔数与格雷茨解在0.17%内一致。

PINN温度与速度场重构。 使用1000个采样点（占参考CFD单元的0.38%）时，温度场全局相对误差ε_θ = 1.8%，最大误差出现在S2和S3前缘角上游的冷流体中。流向速度全局相对误差ε_u = 0.6%，四个回流区中的平均误差（1.9%）大于核心流（0.6%）。横向速度全局相对误差3.6%，约为流向速度误差的六倍，这反映了误差归一化效应而非精度差异——两个分量的绝对误差几乎相等（分别为U_in的0.98%和1.05%），但横向速度本身远小于流向速度。

PINN压力场重构。 网络直接预测的压力全局相对误差为0.9%（五次运行0.9 ± 0.2%），而从预测速度场恢复的压力误差为5.5%（5.4 ± 2.0%）。恢复压力仅在采样点较少（N_d ≤ 100）时更准确，否则离散动量算子会放大速度误差。网络预测的压降为5.52，与参考值5.52一致。

温度与速度剖面。 在五个站位（x/D = 2.0、4.5、6.5、8.5、12.0）的比较显示，速度误差随采样点增加而减小。x/D = 4.5处流向速度相对误差从100个采样点时的15.4%降至1000个采样点时的0.9%。温度剖面收敛更不规则，x/D = 2.0处尤为明显——100个采样点时PINN在顶壁附近预测θ = 0.41，而参考解为θ ≈ 0.001；1000个采样点时降至θ = 0.030。原因在于PINN平滑了S1根部的暖角涡，导致能量残差趋于可忽略。

采样点数量的影响。 无采样点时（N_d = 0），流向速度误差49.2%，温度误差137.2%。100个采样点将流向速度误差降至6.7%、温度误差降至23.7%。1000个采样点进一步将流向速度误差降至0.5%、温度误差降至1.6%。4000个采样点仅将误差降至0.4%和1.2%，增益递减。横向速度误差始终为流向速度的六到七倍，但按入口速度归一化的均方根误差几乎相等（1000采样点时分别为0.79%和0.83%）。基线线性插值在1000采样点时流向速度误差为7.9%、温度误差为14.0%；RBF插值为5.6%和7.4%；克里金插值为3.9%和6.7%——PINN分别优于基线8–16倍（流向速度）和4–9倍（温度）。

采样点布置的影响。 热边界层定义为距等温方块面0.1D内的流体，仅占域内总单元的3.1%。均匀随机布置时，1000个采样点中仅33个落入热边界层。将35%的采样点布置在热边界层内（N_d = 1000）使横向速度误差从2.9%降至2.2%，流向速度和压力误差在五次运行离散范围内，温度误差从1.6%略增至1.9%。N_d = 4000时，同一布置将ε_u从0.42%降至0.22%、ε_v从2.8%降至1.0%。对努塞尔数的影响更为显著：1000个均匀采样点使平均努塞尔数低估11.1 ± 2.1%，4000个均匀采样点未改善（12.7 ± 1.6%）；35%采样点置于热边界层后误差降至8.3 ± 0.5%（N_d = 1000）和7.2 ± 0.4%（N_d = 4000），且训练运行间离散度降低约四倍。五种采样抽取验证了该效应与抽取方式无关。

局部努塞尔数重构。 局部努塞尔数分布改善程度低于面平均值。35%采样点置于热边界层时，迎风面面平均努塞尔数低估5–9%，暴露面低估9–12%，背风面在参考解7%以内。预测精度最差处位于前缘角和尾角B、C，局部峰值仅达参考CFD峰值的39–49%。

计算成本。 参考CFD模拟（1200 × 240网格）在AMD Ryzen 5 3600处理器上耗时4949秒（水动力场）加4.1秒（温度场）。PINN在NVIDIA GeForce RTX 3060 GPU上单次完整训练约2.5 ± 0.1小时，约为参考CFD模拟的1.8倍，计算时间与采样点数量基本无关。

五、结论

本研究用有限体积法计算了带有四个壁挂等温方块的平面通道内的稳态流动与传热，并用PINN进行了重构。主要结论如下：

迎风面和暴露面增强局部传热速率，努塞尔数在3.8–6.0之间，前缘角局部峰值达19.5–23.2。方块后方空腔和尾迹泡传热速率低，回流区（51.8 °C）比核心流（30.8 °C）热三倍。

无采样点的PINN（仅学习守恒方程和边界条件）重构性能差：流向速度误差49.2%，横向速度误差83.1%，温度误差137.2%，压力误差101.5%。

1000个采样点（占CFD总单元数的0.38%）将全局相对误差降至流向速度0.5%、横向速度2.9%、温度1.6%、压力0.9%。PINN优于线性、RBF和克里金插值，速度场改善幅度大于温度场。

温度误差比速度误差更难降低，因为温度场梯度更陡，PINN倾向于平滑化。误差集中在强温度梯度区域，即方块面热边界层和分隔热回流区与冷核心流的剪切层。

努塞尔数比温度场更难重构。1000个采样点使平均努塞尔数低估11.1%，增加到4000个均匀采样点无改善。

采样点布置对努塞尔数的影响大于单纯增加数量。1000个采样点含350个在热边界层内时，努塞尔数误差降至8.3%，训练运行间离散度降低约四倍；4000个采样点保持35%在热边界层内时误差降至7.2%。

网络直接预测的压力比从预测速度场恢复的压力更准确（1000采样点时0.9%对5.4%），恢复方法仅在速度场重构较差时（N_d ≤ 100）更优。

本研究的局限性包括二维、稳态、层流假设，单一雷诺数、单一普朗特数和单一几何结构，仅考虑强制对流而忽略浮力效应，以及出口处因域长折中产生的弱反向流。采样点取自参考CFD解，排除了实际实验中的测量噪声、校准误差和探针位置不确定性，边界条件也精确已知，这是重构最有利的设置。未来工作应研究测量不确定性对PINN精度的影响，用粒子图像测速（PIV）、激光多普勒测速（LDV）、红外相机或温度传感器获得的实验数据替代合成测量，并优化采样点布置而非单纯增加数量或调整PINN参数，还可通过坐标拉伸或多尺度傅里叶嵌入改善网络对近壁水动力和热边界层的分辨能力。