带一阶RC滤波器的N位PWM DAC建立时间表达式的Puiseux型分辨率展开

《Electronics》：Puiseux-Type Resolution Expansion of the Settling-Time Expression for an N-Bit PWM DAC with a First-Order RC Filter

　　

脉冲宽度调制（PWM）输出后接一阶电阻–电容（RC）滤波器，是数模转换的一种低成本途径。研究人员以δ=2^?N为参数，发展了连续上升跳变建立计数的参考表达式的分辨率展开，并精确保留容差ε；其中N为分辨率，ε表示为一个最低有效位（LSB）的分数。展开系数含有ε的半整数次幂，因而呈Puiseux型形式。一阶表达式消去了参考表达式中的指数商，并显式给出对N和ε的依赖；该研究还推导了两个高阶截断式。对于1/8≤ε<1/2，一阶和二阶截断式被证明从不低估参考计数，两者在ε=1/8处与参考计数重合。在N=4–20、ε=0.125–0.45的1122个组合上，相对于参考计数的最大误差分别为0.21、0.050和0.0025个PWM周期，取整计数一致率分别为89.66%、99.82%和100%。在每个测试组合上，参考表达式与精确一阶模型给出相同的取整上升跳变计数；对每个取整截断计数加一个周期，可覆盖两个跳变方向上的精确最坏情况计数。这两个结果均为数值结果，且仅对所测试的网格成立。

脉冲宽度调制（PWM）输出后接一阶电阻–电容（RC）滤波器，是实现数模转换器（DAC）的低成本方案。该类设计受小纹波与短建立时间两个对立要求制约；传统估计只依据平均输出电压和纹波幅值，且仅在滤波器时间常数远大于PWM周期时有效。前期研究引入代码相关安全区与禁止区，要求整个输出波形进入并保持在目标码容差带内，据此得到最坏情况下所需PWM周期数；例如8位、容差ε=1/4时需要823个周期，而传统估计仅为355个。然而参考上升跳变建立计数表达式含指数商，在δ=2^?N趋于0时呈0/0不定式，无法直接看出所需周期数如何分别依赖分辨率N和容差ε。因此，本研究保留原有转换器模型与建立判据，以δ为小参数对连续上升跳变建立计数作分辨率展开，同时精确保留ε，旨在得到闭式设计公式并显式揭示参数依赖。该展开是δ的普通幂级数，但系数含ε的半整数次幂，故呈Puiseux型。

研究人员获得了一阶闭式表达式以及两个高阶截断式。一阶表达式消去指数商，直接表明在固定容差下计数近似随N·2^N增长；该式在ε=1/8时与参考表达式对所有N一致。其意义在于提供面向设计的解析估计，并明确截断误差随N、ε的变化规律。

主要关键技术方法如下：引入δ=2^?N与s=√ε，使δ承载分辨率依赖，s只依赖容差；利用解析函数φ(x)=(e^x?1)/x消去指数商的0/0不定式，得到Λ的幂级数并截断至δ的一次、二次、三次项，分别形成一阶、二阶、三阶判据P1、P2、P3；用严格不等式证明P1和P2在1/8≤ε<1/2内不低于参考计数；用Lambert W函数精确求解连续目标码最大位置，建立精确一阶模型；在N=4–20、ε=0.125–0.45共1122个组合的网格上用50位有效数字进行数值验证。

5.1 工作点
在报告给出的12个工作点及4个ε=1/8附加点上，P1仅在N=8、ε=1/3时取整后比参考计数大1；P2和P3取整后与参考计数完全一致。ε=1/8时三种截断的连续计数均与参考计数相同。

5.2 扩展网格
在1122个组合上，P1、P2、P3相对参考计数的最大连续误差分别为0.21、0.050、0.0025个PWM周期；取整一致率分别为89.66%、99.82%和100%。P1有116个组合向上偏差1个周期，P2仅在N=4、ε=0.405和0.425两个组合偏差1个周期，P3无取整偏差。所有截断在网格上均不低于参考计数。

5.3 误差随分辨率与容差的变化
P1的领先误差只依赖ε，与N无关，在ε=1/8处为零；P2和P3的领先误差分别随2^?N和4^?N下降。靠近ε=1/2时，P1和P2的误差增大，在距上限约0.003（N=4）或0.0002（N=8）处达到1个周期；P3误差保持在0.26周期以下。

5.4 与精确一阶模型的比较
在12个工作点，参考计数与精确计数相差约?2.5×10^?4至4.3×10^?3个PWM周期，取整计数一致；P2和P3复现全部12个点的精确取整计数，P1在11个点复现。扩展网格上，参考计数与精确计数在所有1122个组合取整一致；在测试网格上，每个取整截断计数加1个周期均可覆盖两个跳变方向上的精确最坏情况计数。

讨论部分指出，P1适合作为解析估计：在固定容差下计数近似按N·2^N增长，但取整后可能与参考计数相差1个周期；当需要整数建立计数时，应使用P2或P3。P3的截断误差已经小于参考表达式相对精确模型的误差，因此其精度受参考表达式本身限制。结果限于1/8≤ε<1/2：更小容差时参考计数会高估精确计数；接近1/2时一阶和二阶截断误差增大。该分析基于理想一阶模型，未考虑元件容差。

结论可概括为：在δ=2^?N下导出了参考上升跳变建立计数的分辨率展开；一阶表达式去掉了指数商并显式显示N和ε的依赖，在ε=1/8时与参考表达式对所有分辨率重合。对于1/8≤ε<1/2，P1和P2被证明不会低估参考计数；在全部1122个测试组合上，对每个取整截断计数加1个周期可覆盖双向精确最坏情况计数。P1用于解析估计，P2或P3用于需要整数计数时。