小齿差行星渐开线减速器中球联轴器的刚体与接触运动学矩阵表述

《Machines》：Matrix Formulation of Rigid-Body and Contact Kinematics of Ball Couplings in a Small-Tooth-Difference Planetary Involute Reducer

　　

小齿差行星渐开线减速器需要一种输出联轴器，能够将偏心运动卫星的减速旋转传递至同轴输出轴。本研究针对集成于该减速器中的两级连续三球联轴器，建立了其刚体与接触运动学的矩阵公式（matrix formulation）。该方法将广义坐标（generalized coordinate）、约束（constraint）、传递（transmission）、旋转（rotation）、分块（block）及周向分布（circumferential-distribution）矩阵与三维接触基（three-dimensional contact basis）、反对称算子（skew-symmetric operator）、投影矩阵（projection matrix）以及沿有限弯曲球-滚道接触线的连续最小二乘公式（continuous least-squares formulation）相结合。该模型区分了球心的绝对运动与相对运动，并表明两级联轴器具有相同的相对运动结构，仅相差一个恒定的几何比例因子。对于非零传递运动，完全无滑滚动（no-slip rolling）通常无法沿整个有限接触线同时满足；因此，均匀加权的最小滑动解（uniformly weighted minimum-sliding solution）提供了唯一的参考刚体球旋转，以及滚动（rolling）、自旋（spin）和残余滑动（residual-sliding）分布。该分析还建立了瞬时球旋转轴的进动（precession），区分了球心轨迹闭合与球取向闭合，并量化了归一化滚道深度的影响。所得框架为后续的接触力学和摩擦学分析提供了紧凑的基础。

小齿差行星减速器中球联轴器刚体与接触运动学的矩阵公式化研究解读

小齿差行星渐开线减速器依靠内外啮合齿轮副的微小齿数差实现大传动比。当齿数差达到最小值（Δz=1）时，每个卫星在输入轴驱动的偏心轨道上既缓慢自转又做偏心公转；这种平面-平行运动必须由输出联轴器转化为同轴输出轴的纯转动。已有研究分别考察了减速器的齿形、啮合、载荷分配、动力学以及销孔式输出机构，而经典滚动体文献也覆盖了滚动、自旋、摆动和微滑等局部运动，但尚缺一个统一框架，将两个连续球联轴器的机构级运动学与有限球-滚道接触线上的三维分布式运动学联系起来，同时保留绝对与相对球心运动、全线兼容、滚动-自旋分解、残余滑动、进动和球取向演化。本研究正是针对这一空白展开。

研究人员以一台齿数z₁=81、z₂=80（Δz=1）的减速器为研究对象，其偏心距e=0.75mm，球与滚道剖面半径均为r=3mm，滚道深度h_g=1.75mm，分布直径D₁₃=D₁₄=77mm。研究核心是统一的矩阵运动学建模方法。该方法将减速器运动学表示为广义坐标向量q∈?⁴，建立角约束矩阵C_θ、传递向量t_θ、相位反对称矩阵s?I₂、周向球分布矩阵A_α和刚性体定位矩阵P(c,θ)。对有限接触线，研究人员定义了三维局部运动学基E(θ₆)、接触基H_c(β)和绝对接触基C(θ₆,β)，引入三维反对称叉乘算子[a]_×和切向投影矩阵P_t(β)，将接触点的无滑条件写成点态约束矩阵A_c(β)。为求解刚体球在全接触线上的三维角速度，采用中点接触基H_m并构造连续均匀加权最小二乘，获得对角正定的法矩阵N_c和闭式最小滑动解。数值验证基于MATLAB R2025b的离散最小二乘和常微分方程积分。

研究结果按照减速器架构、球心运动学、接触线几何、连续兼容性求解和数值参数化研究五个层面展开。在减速器架构与球联轴器的矩阵表示方面，矩阵表述区分了两个耦合级：球联轴器13连接卫星9与卫星10的固连部件11，球联轴器14连接部件11与同轴输出子装配体12。角约束矩阵和传递向量给出θ₉=θ₁₀=θ₄=?μθ₆，其中μ=Δz/z₂=1/80。等半径球-滚道共形接触形成有限接触弧，其中心角γ_c≈1.141rad（65.4°），长度L_c≈3.423mm。

在刚性构件与球心的矩阵运动学中，球13的球心在固定坐标架中沿半径R的圆分布，球14的球心则是两个不同角速度圆周运动的叠加。相对运动学中，两级使用相同的相对角速度差，仅轨迹半径不同（ρ₁₃=e，ρ₁₄=e/2），因此相对速度、切向与法向相对加速度均满足精确的1/2比例。由相对运动学可直接确定圆形轨迹直径D′=2e=1.5mm和D=e=0.75mm，与构造几何一致。

在有限共形接触线的矩阵几何与局部运动学中，接触基由接触线切线e_??、横向切向e_τ和接触法向n构成。点态无滑条件给出两个独立方程，但角速度有三个分量，因此单点求解留下自旋自由度。切向投影矩阵表明等半径接触自动满足法向刚性兼容条件。

在连续矩阵兼容性与三维球旋转方面，对整条有限接触线0≤β≤γ_c，点态约束矩阵连续变化。由于2×2兼容矩阵行列式为-1，严格无滑刚体解仅当相对中心速度v=0时存在，因此非零传递运动下全线同时无滑滚动不可能。均匀加权最小二乘给出唯一参考角速度Ω_k=κ_cv_k/r，其中κ_c≈1.05374，自旋分量为零，转轴位于接触弧中点切线方向。滚动、自旋和残余滑动沿接触线分布：滚动分量在中心点最大，自旋分量在两端最大且过中点变号，残余滑动沿横向切线方向，其均方根约为相对中心速度的5%。绝对角速度加入公共轴向输送项后，两级的绝对角速度不再呈精确1/2关系。恒定输入转速下，球旋转轴绕减速器轴线进动。球取向矩阵用Rodrigues公式积分；一个输入周期后球取向一般不闭合，累计旋转约424.13°和392.51°，说明球心轨迹闭合不等价于球取向闭合。

在数值验证与参数化研究中，离散最小二乘与解析结果高度一致，球角速度误差约8.20×10^-7，残余滑动均方根误差约4.78×10^-5，随采样点增加呈二阶收敛；取向矩阵数值积分与Rodrigues解析解误差约10^-13。归一化滚道深度η_g=h_g/r增大时，接触弧中心角、有限接触系数、相对转轴倾角以及球取向参数均发生单调变化，说明滚道深度是影响接触几何、转轴方向和三维球运动的运动学设计参数。

讨论部分指出，全局减速器运动学、球心运动学和局部接触运动学构成耦合层级。两级的1/2比例来自机构架构而非经验参数；绝对运动是公共轴向输送与相对运动的仿射叠加。均匀加权最小滑动解是运动学参考基准，不代表载荷下的实际滑移。研究局限在于未包含弹性变形、接触压力、摩擦、润滑、磨损、制造公差和实验验证；未来需要引入压力加权、摩擦功耗和润滑模型，并开展多体仿真和实验。

研究结论可概括为：本研究开发了一个统一矩阵公式，用于小齿差行星渐开线减速器中两个连续三球联轴器的刚体和有限接触线运动学。该公式将球心的绝对与相对位置、速度和加速度运动学与球形传递元件的三维旋转运动整合在一起。两个耦合级具有相同的相对运动结构，球心速度和加速度呈精确的1/2因子关系；绝对角速度因公共轴向输送而不满足简单比例。有限共形接触分析证明，非零传递运动下沿整个接触线精确无滑滚动一般不可能；均匀加权连续最小二乘准则提供了唯一的参考刚体球旋转，局部运动由滚动、自旋和分布式残余滑动组成，名义几何下均方根残余滑动约为5%。即使输入转速恒定，绝对球旋转轴也发生进动；输入周期后球心轨迹闭合一般不蕴含球取向闭合。参数研究表明滚道深度影响有限接触线几何、参考相对旋转轴和三维球运动。该公式为后续弹性接触、压力与牵引力分布、摩擦和润滑研究提供了基础。