《Journal of Survey Statistics and Methodology》：Small Area Estimation Using Area-Level Linked Data
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官方统计日益将调查与行政数据链接用于小域估计，但记录链接误差可能扭曲区域级Fay–Herriot（FH）模型中的直接估计量。研究人员在可交换链接误差（Exchangeable Linkage Error，ELE）机制下开发了一种基于似然的估计框架，利用缺失信息
官方统计日益将调查与行政数据链接用于小域估计，但记录链接误差可能扭曲区域级Fay–Herriot（FH）模型中的直接估计量。研究人员在可交换链接误差（Exchangeable Linkage Error，ELE）机制下开发了一种基于似然的估计框架，利用缺失信息原理（Missing Information Principle，MIP）获得回归系数和方差分量的链接误差校正最大似然估计量、真实区域均值（true area means）的经验最佳预测量（empirical best predictor，EBP）以及均方误差（mean squared error，MSE）估计量。模拟结果表明，忽略链接误差会导致显著偏倚和效率损失，而所提出的方法能够恢复无偏性并提供准确的不确定性量化。将所提方法应用于基于欧盟收入与生活条件统计（European Union Statistics on Income and Living Conditions，EU-SILC）数据与行政登记记录链接所得的意大利中部113个劳动力市场区域（labor market areas，LMAs）的平均等值化收入估计，验证了该方法的实际应用价值。
**一、研究背景与问题**
在有限总体推断中，可靠估计总体均值或总量等描述性统计量不仅需要对整个人口，还需对地理划分或其他子集（即域）进行估计。近年来，对所谓小区域（small areas）子集估计的需求日益增长，这些区域的样本量通常不足以使直接估计达到足够的精度。小域估计（Small Area Estimation，SAE）方法通过补充来自普查、行政档案或遥感等替代来源的辅助信息来克服这一局限。在广泛的小域估计文献中，Fay–Herriot（FH）模型（Fay III和Herriot，1979）是应用最广泛的区域级模型，其基本思想是在区域层面整合调查和辅助信息。
经典FH模型应用隐含地假设基于调查的直接估计量和区域级协变量均无误差，或直接估计量仅受抽样误差影响。然而，现代官方统计日益依赖单位级记录链接（record linkage）从外部登记系统获取辅助信息。当链接不完美时——例如标识符缺失或不唯一——记录链接误差可能发生。即使错误链接比例不高，也可能在回归分析中产生显著偏倚和方差膨胀，包括回归斜率衰减和混合模型预测失真。在SAE中，链接误差还可产生非代表性离群值，导致基于模型的预测器出现有效性和稳定性问题。
现有处理链接误差的SAE研究几乎完全集中于单位级混合模型：Salvati等人（2021）在可交换链接误差（Exchangeable Linkage Error，ELE）结构下开发了线性混合模型和M-分位数预测器的调整方法；Fabrizi等人（2025）考虑了链接误差的混合模型表示，仅需更弱的假设。然而，据研究人员所知，此前尚无研究考察记录链接误差对FH区域级模型的影响。这一空白具有重要意义：与单位级混合模型不同，FH模型完全依赖于辅助变量的区域级汇总值，而这些汇总值本身来源于链接后的登记数据。微观层面的错误链接会扭曲这些汇总值，进而影响（i）直接估计量、（ii）抽样方差以及最终（iii）FH模型中回归系数和方差分量的估计。当单位被错误地跨区域链接时，由此产生的扭曲会直接传播到FH似然函数中，导致模型参数估计有偏（通常表现为衰减效应），并造成随机效应后验方差的膨胀。因此，存在链接不确定性时，标准FH估计量和预测器不再适用。类似情形还包括：出于数据披露考虑，用于定义研究域的地理参照或其他变量被扰动，导致样本单位被错误分配到错误的区域。在上述所有情况下，域归属本身变得不确定，直接估计量可能因此继承与链接误差类似的扭曲。
本研究首次对FH区域级模型中的链接误差进行了方法论处理。研究人员利用缺失信息原理（Missing Information Principle，MIP；Chambers等人，2012；Chambers，2023），推导了链接误差下FH模型的最大似然估计量，提出了修正的FH预测器并推导其均方误差的一阶近似。
**二、研究内容与结论**
研究人员针对FH模型在链接误差下的估计与预测问题，系统开展了以下工作：提出ELE机制下的修正FH模型；基于MIP推导参数估计量；构建经验最佳预测量（EBP）；发展均方误差估计方法；通过模拟实验和真实数据应用验证方法的有效性。
模拟实验在D=80个区域、每个区域Ni=100个单位、N=8,000的有限总体设定下，分别设定正确链接概率λ=0.9和λ=0.8，比较四种方法：FH Gold（无误差基准）、FH Naive（忽略链接误差）、FH ROB（Warnholz, 2016的稳健FH）和FH MLE（所提出的ELE调整最大似然估计）。结果表明：FH Naive的回归系数呈现明显衰减，σu2严重向下偏倚；FH ROB虽能减少极端受污染区域的影响，但无法消除链接误差引起的结构性衰减；FH MLE对β和σu2均近似无偏，蒙特卡洛变异性接近FH Gold基准。在预测性能方面，FH Naive对均值高于总体均值的区域系统性地低估，对低于总体均值的区域系统性高估，反映了命题1所描述的衰减效应；FH MLE与FH Gold在经验MSE上非常接近，显著优于FH Naive和FH ROB。在λ=0.8的更严重链接误差下，FH Naive和FH ROB的性能进一步恶化，而FH MLE仍保持稳定并接近FH Gold。MSE估计方面，标准FH plug-in MSE估计器应用于忽略链接误差的朴素FH模型时会低估真实经验MSE，产生过于乐观的不确定性量化；所提出的混合MSE估计器产生的比率集中于1附近，表明在ELE下具有准确的二阶不确定性评估。
**三、关键技术方法**
本文采用的主要技术方法包括：
（1）ELE机制建模：假设链接过程满足可交换链接误差结构，正确链接概率λ已知且恒定，错误链接概率η=(1?λ)/(N?1)，构建N×N随机置换矩阵A的期望形式T=(λ?η)IN+η1N1N′，刻画单位级链接误差对区域级汇总统计量的影响。
（2）修正FH模型构建：基于命题1推导链接数据直接估计量的一阶矩（衰减公式）和二阶矩表达式，将标准FH模型中的(1)和(2)分别修正为mi?=xi?′β+ui?和yˉ^i?=mi?+ei?，其中xi?和ui?的方差-协方差结构由命题2给出。
（3）MIP参数估计：在(yˉ,yˉ^?)联合高斯性的copula近似下，对标准高斯得分函数取关于yˉ^?的条件期望，获得MIP修正得分函数（命题3），通过求解sc?(σu2)=0获得方差分量σ^u2的数值解，再代入(22)得到β^?。
（4）EBP预测器与MSE估计：在联合正态性下，ELE调整的BLUP形式为yˉ?FH?=Xβ+C?W?(yˉ^??X?β)，用σ^u2代入获得EBP yˉ^FH?。MSE估计采用两策略：泰勒展开的解析近似和参数自助法（parametric bootstrap），最终形成混合估计量MSE^(yˉ^FH?)=H^+B^boot?N^。
（5）模拟验证与实证应用：在R=1,000次蒙特卡洛重复下评估所提方法的有限样本表现；将方法应用于基于2016年EU-SILC数据与意大利综合经济人口微观数据档案链接所得的113个劳动力市场区域的等值化收入估计，据ISTAT提供的正确链接概率为λ=0.92，直接估计量及其抽样方差由ISTAT基于复杂抽样设计计算并提供。
**四、研究结果**
**参数估计结果。**在ELE下，FH Naive估计器呈现明显的回归系数衰减和σu2的显著向下偏倚。稳健FH备选方案减少了极端受污染区域的影响，但未消除链接误差引起的结构性衰减。所提出的基于MIP修正得分方程的FH MLE估计器对β和σu2均近似无偏，蒙特卡洛变异性接近FH Gold基准估计器。在不到1%的蒙特卡洛重复中，随机效应方差分量σu2的极大似然估计达到边界值零，这一现象在FH文献中已有充分记载，可通过Li和Lahiri（2010）提出的调整极大似然估计器来解决。
**预测性能。**经验偏倚结果揭示了FH Naive估计器的清晰系统模式：真实均值高于总体均值的区域倾向于被低估，而真实均值低于总体均值的区域倾向于被高估，这反映了命题1中描述的链接误差衰减效应。FH Gold和FH MLE在偏倚与真实区域均值之间均无可见的系统关系，表明两者在数据全范围内近似无偏。FH ROB预测器缓解了极端偏差，但仍呈现残余衰减模式。经验MSE结果表明，FH Naive的MSE明显大于FH Gold和FH MLE，特别是在受ELE影响更严重的区域；FH ROB可减轻严重受污染区域的影响，但无法完全恢复因忽略链接误差而导致的效率损失。FH MLE的经验MSE与基准FH Gold非常接近，大幅改善了FH Naive和FH ROB。在λ=0.8下，总体模式与λ=0.9情形一致，但FH Naive和FH ROB的性能退化更为严重，FH MLE保持稳定并接近FH Gold。
**MSE估计结果。**标准FH plug-in MSE估计器应用于拟合链接数据的朴素FH模型时，倾向于低估真实经验MSE，产生过于乐观的不确定性量化。所提出的基于(29)式的FH MLE预测器混合MSE估计器产生的比率Ri=MSE^i/MSEi集中于1附近，表明在ELE下具有准确的二阶不确定性评估。
**实证应用结果。**回归系数比较显示，FH Naive估计器呈现明显的衰减效应，年龄、性别、收入和劳动强度协变量的效应量均收缩至零附近。相比之下，FH MLE恢复了更强且更一致的关系，同时保持了收入社会经济预测因子预期的量级和方向。精度改进方面，FH MLE显著降低了预测的变异系数（CV），特别是对ni<100的劳动力市场区域，直接CV常超过6-10%，FH MLE将这些值大幅降低，同时保持了区域的相对排序；对样本量较大的LMA，改进较小但系统性地存在。最终预测图显示，佛罗伦萨、锡耶纳和沿海托斯卡纳等大都市LMA的预测收入较高，而翁布里亚和拉齐奥北部的农村地区预测值较低，与已知的社会经济特征一致。
**五、讨论与结论**
研究人员指出，本文的主要方法论贡献是通过(5)式明确刻画了链接误差引起的衰减效应。这一一阶结果确定了链接误差传播到区域级直接估计量并进而影响FH估计和预测的基本机制。(6)式中伴随的方差表示提供了简单随机抽样框架下的解析刻画，将其推广到更一般的多阶段、不等概率和校准调查设计是未来研究的重要方向。
研究结论部分指出，本文开发了FH区域级模型的第一个方法论扩展，通过ELE机制显式地考虑了记录链接误差。通过将ELE结构与MIP相结合，研究人员推导了回归系数和方差分量的调整最大似然估计量、真实区域均值的经验最佳预测量以及MSE估计量。模拟结果表明，忽略链接误差会导致显著的衰减和效率损失，而所提出的ELE调整估计量恢复了无偏性并提供了准确的不确定性量化。对意大利中部LMA平均等值化收入的应用进一步说明了在官方统计中对链接不确定性进行建模的实际效益，而非将链接后的区域级数据视为无误差数据。未来的研究方向包括：将当前模型扩展到允许多个ELE区组（例如年龄组、行政子总体或管辖分区），每个区组具有自身的链接准确度；将Fabrizi等人（2025）的混合分布链接模型纳入区域级设定；将Li和Lahiri（2010）的调整极大似然估计器纳入MIP框架以确保方差分量的严格正值估计；以及发展ELE调整的REML估计器以改善方差分量估计的有限样本性能。
