关于可变形球体与嵌入球形颗粒在刚性平面上接触时的弹性力学问题

《International Journal of Engineering Science》：On the elastic contact mechanics of a deformable sphere with an embedded spherical inclusion against a rigid flat

　　摘要：建立了一个有限元接触模型，用于预测含有球状夹杂物的可变形球体与刚性平面接触时的机械接触行为。由于轴对称性，球状夹杂物和球状基体分别被建模为半圆和四分之一圆，并在夹杂物-基体界面共享节点。假设球状基体表现出弹性-完全塑性行为，而球状夹杂物则被视为纯弹性体。分析了夹杂物与基体之间的杨氏模量比γ、无量纲夹杂物半径r?和无量纲夹杂物深度h?对球状基体接触行为的影响。通过拟合有限元结果，得到了临界干涉、峰值接触压力和接触载荷的解析表达式。研究结果表明，当γ=1.0、r?∈[0.05, 2.0]和h?∈[0.02, 0.5]时，临界干涉大于无夹杂物的球体；而峰值接触压力和接触载荷保持不变。当γ≥2.0、r?∈[0.05, 2.0]和h?∈[0.02, 2.0]时，临界干涉减小，而峰值接触压力和接触载荷增加。当0≤γ<1、r?∈[0.05, 2.0]和h?∈[0.02, 2.0]时，临界干涉可能随r?和h?的变化而变化，而峰值接触压力和接触载荷减小。

引言：在经典接触力学中，通常假设接触物体的材料是纯净的，不含夹杂物。基于这一假设，建立了一系列接触模型，为机械系统中的许多实际工程问题提供了有效的解决方案。然而，在实际工程应用中，没有任何材料可以被认为是完全纯净的。在熔炼过程中，原始金属矿石中的微量杂质元素（如O、N、S、Al、Ca、Mn、Ti）无法完全消除，从而导致形成了细分散的非金属夹杂物，如硫化物、氧化物、氮化物和硅酸盐。在微观尺度上，根据夹杂物与基体之间的弹性模量差异，夹杂物被分为两类：弹性模量超过基体的夹杂物被称为硬质夹杂物（Mahdavi等人，2020；Zerbst等人，2019）（例如氧化物和氮化物），而弹性模量较低的夹杂物被称为软质夹杂物（Wang等人，2023, 2022）（例如硫化物和硅酸盐）。当非金属夹杂物位于接触表面附近时，硬质夹杂物会在基体中引起较高的接触应力（Wang等人，2023），而软质夹杂物则会导致基体产生更大的垂直变形（Peela等人，2025）。这两种情况最终都可能引发基体的接触失效（Rajput和Paul，2021）。因此，系统研究夹杂物如何影响基体的接触特性至关重要。

为了准确预测含夹杂物的基体的机械性能，Eshelby（Eshelby，1957）提出了一种等效夹杂物方法（EIM），用于研究嵌入无限空间中的椭球形夹杂物问题。在Eshelby的方法中，非均匀夹杂物可以被认为是具有初始特征应力和等效特征应力的均匀夹杂物，从而确定了椭球形夹杂物内外侧的弹性场。除了椭球形夹杂物外，弹性场的解析解已进一步扩展到其他形状的夹杂物（Chiu，1977；Hasegawa等人，1992）（例如长方体、圆柱体）。随着研究的进展，人们付出了巨大努力将问题扩展到更一般的场景。Zou等人（2010）推导了非椭球形夹杂物的Eshelby张量场及其平均值，阐明了张量的非均匀性和椭圆近似的有效性，从而明确了经典Eshelby理论的应用范围。Ma和Korsunsky（2014）提出了EIM，该方法用等效的均匀夹杂物替代了任意连通性和形状的非均匀夹杂物，从而打破了传统Eshelby方法在形状和均匀性上的限制。Wu和Yin（Wu和Yin，2024）推导了夹杂物边界和顶点处的Eshelby张量不连续性，进一步完善了多边形夹杂物的局部特性，揭示了控制顶点处应力不连续性和奇异性的数学规律，并补充了对复杂形状边界效应的详细理解。此外，Moschovidis和Mura（Moschovidis和Mura，1975）通过扩展EIM来考虑两个不相交的椭球形夹杂物，从而弥合了单个夹杂物和多个夹杂物之间的理论差距。后来，Zhou等人（Zhou等人，2011）提出了一个半解析解，用于处理任意形状的多个三维（3D）夹杂物之间的相互作用。同时，EIM已越来越多地应用于不同的工程领域，例如通过夹杂物与裂纹（Wu等人，2024；Yang等人，2021）或位错（Li等人，2022）之间的相互作用来解决机械问题。

无限空间夹杂物模型无法捕捉表面效应，如基体自由表面附近的应力集中和近表面夹杂物引起的表面变形扰动。因此，嵌入无限空间中的夹杂物模型不适合解决接触问题。Miller和Keer（Miller和Keer，1983）提出了一个二维（2D）模型，研究了刚性压头与含有圆形空洞或刚性夹杂物的弹性半空间之间的接触问题，使用Muskhelishvili的复变量方法求解了半空间内的接触应力分布。Kuo（Kuo，2007）采用边界元素方法（BEM）分析了圆柱形压头与含有一个或多个任意形状夹杂物的弹性半空间之间的接触问题。研究结果表明，软质夹杂物可以降低半空间内的应力，而硬质夹杂物则会导致应力增加。Leroux等人（Leroux等人，2010）提出了一种快速算法，结合EIM来解决含有多个球状夹杂物的弹性半空间的接触问题，显著减少了计算时间。近年来，半解析模型（SAM）已被证明在解决含有夹杂物的非均匀材料的接触问题方面非常有效。利用其有效性和多功能性，含有夹杂物的弹性半空间的接触问题被分解为三个子问题：

(1) 通过算法优化提高SAM的计算效率：提高SAM对非均匀接触建模的计算效率一直是关键研究焦点，这通过迭代算法改进和框架精炼得以实现。Liu等人（Liu等人，2012）为含有任意夹杂物的弹性半空间的弹性场推导出了显式解析解，通过离散卷积快速傅里叶变换（DC-FFT）、离散相关快速傅里叶变换（DCR-FFT）和三维快速傅里叶变换（3D FFT）算法的结合，实现了高效数值计算。与Chiu的解（Chiu，1978）相比，所提出的弹性场解析解几乎得到了相同的结果，计算时间减少到了大约四分之一。在此基础上，Zhou等人（Zhou等人，2016）将3D FFT算法纳入网格差分精炼方案，实现了对含有分布夹杂物的光滑或粗糙表面的有效接触问题求解。作为先前工作的扩展，Zhang等人（Zhang等人，2018，2019）分别在SAM中嵌入了双网格方案和多尺度计算框架。参数研究表明，这些新方法至少将计算时间减少了50%，从而显著提高了SAM的效率。随后，Li等人（Li等人，2024）将共轭梯度方法（CGM）和DC-FFT集成到SAM中，建立了含有立方体夹杂物的四分之一空间接触模型。与有限元方法（FEM）相比，该方法将计算时间减少了约93.6%，进一步验证了先进半解析方法的显著效率。

(2) 处理材料中存在并相互作用的夹杂物的接触问题：值得注意的是，当夹杂物与自由表面距离相对较近时，表面效应变得明显。Zhang等人（Zhang等人，2015）表明硬质夹杂物会局部增加接触压力，而柔性夹杂物则会降低接触压力。类似地，Zhao等人（Zhao等人，2023）报告说，相邻的长方体空洞和硬质夹杂物会导致显著的次表面应力集中，最大冯米塞斯应力是相应均匀半空间的三倍以上。Zhang等人（Zhang等人，2017）指出，双层夹杂物的柔性外层可以缓冲由刚性核心引起的应力扰动，而偏心或暴露的刚性核心则会导致显著的次表面应力集中。此外，Yang等人（Yang等人，2019）发现裂纹和夹杂物相互作用会改变接触压力和次表面应力分布；Li等人（Li等人，2022）发现空洞尖角会影响接触压力，其中空洞尖端与接触表面平行（θ=0°）时对基体的不利影响更为明显。

(3) 在具有非均匀性质的材料中的正在进行的研究：近年来，结合EIM的SAM框架已被广泛应用于涉及非均匀材料的接触问题。这一集成框架为准确预测结构接触性能和优化设计提供了关键支持。Yang等人（Yang等人，2019）通过SAM开发了含有夹杂物的薄膜-基底系统在接触载荷下的塑性变形模型，同时研究了接触载荷、非均匀性和薄膜材料之间的相互作用。此外，Sun等人（Sun等人，2024）将SAM扩展到宏观悬臂梁边缘非均匀接触模型，重点研究了微观非均匀性和宏观弯曲之间的耦合以及边缘效应。Liu等人（Liu等人，2018）通过SAM提出了含有夹杂物的弹性半空间的热机械接触模型，发现非均匀性的较高导热性可以降低基体接触区域的温度上升。同样，Yang等人（Yang等人，2019）研究了含有球状夹杂物的热弹性接触行为，并分析了它们对半空间体积应力分布的影响。此外，Dong等人（Dong等人，2015）将SAM扩展到探索裂纹和夹杂物在弹性流体动力润滑接触中的作用。Yang等人（Yang等人，2024）使用SAM分析了两种不同弹性材料通过界面裂纹连接的弹性场，旨在更深入地理解由界面裂纹引起的此类连接材料的失效机制。另外，Beyer等人（Beyer等人，2019）和Zhou等人（Zhou等人，2021）将SAM扩展到研究滚动接触疲劳（RCF）中夹杂物周围的“蝴蝶翼”图案的形成机制。虽然半无限空间模型有效地捕捉了加载特性、结构的局部平面边界效应以及夹杂物内部和外部的应力场之间的关系，但它缺乏对特定边界尺寸的明确考虑，也无法考虑边界效应的变化如何影响夹杂物内部和外部区域的机械响应。Kinoshita和Mura（Kinoshita和Mura，1984）率先开发了具有特征应变的有限弹性体的力学模型（包括与夹杂物相关的问题），利用Neumann张量来解决边界约束下的弹性场问题，从而克服了传统无限域假设的长期限制。Li等人（Li等人，2006）建立了含有同心球状夹杂物的有限球形RVE模型。通过在RVE外表面施加均匀的Dirichlet和Neumann边界约束，他们为夹杂物内部和外部区域推导出了显式的封闭形式Eshelby张量解。随后，该模型逐渐得到改进：球形夹杂物不再局限于弹性球的中心（Zou和He，2017），夹杂物的形状也可以是任意的（Pan和Yu，2017）。在这些改进的基础上，利用FEM对含有夹杂物的有限弹性体的接触行为进行了深入分析。具体来说，Kumar等人（Pokkalla等人，2017）首次使用FEM分析了微小空洞对疲劳应力分布的影响，表明剪切应力的峰值从接触界面转移到了微小空洞处，夹杂物对剪切应力的影响比对正常应力的影响更为明显。随后，通过在微观孔隙的分布上从规则分布变为随机分布，这种有限元方法（FEM）得到了进一步的改进（Diego等人，2019年）。Allison和Pandkar（Allison和Pandkar，2018年）利用FEM量化了夹杂物对轴承钢疲劳极限的影响，研究表明孔洞和脱粘的夹杂物具有最显著的不利影响。Ravi等人（Ravi等人，2023年）模拟了非金属夹杂物对滚动接触疲劳的影响，发现脱粘会导致基体与夹杂物之间的几乎瞬时分离，并加速损伤的起始过程，较大的夹杂物对损伤的影响最为严重。相比之下，对于不含内部夹杂物的有限尺寸接触体，已经建立了包括均匀球形接触模型（Kogut和Etsion，2002年）、涂层球形接触模型（Chen等人，2016年）、球形壳接触模型（Li等人，2010年）以及球形加载-卸载接触模型（Etsion等人，2005年）在内的代表性模型。此外，还推导出了描述弹塑性接触响应的相关公式，为预测接触力学行为提供了可靠的框架。

在现有研究的基础上，本文探讨了含有球形夹杂物的可变形球形基体的弹性接触力学响应。我们使用FEM研究球形夹杂物的弹性模量、半径和深度如何影响球形基体的弹性接触力学响应。进一步通过数值拟合得到了球形基体的临界干涉、接触载荷和峰值接触压力的解析表达式，这些表达式作为关键几何参数和材料参数的函数。因此，本文建立了一个直接用于预测含有球形夹杂物的可变形球形基体弹性接触力学响应的框架。

**段落摘录：**
一个可变形的球体与一个刚性平面接触**，如图1所示。球的半径为R，材料的杨氏模量、泊松比和屈服强度分别为Em、υm和σmy。当球的干涉量ωm小于球的临界干涉量ωHc时，球体会发生弹性变形。球体与刚性平面之间的接触区域是圆形的。此外，由于R远大于ωm，接触区域的半径aH可以...

**有限元模型的正确性验证**
在本文中，使用商业有限元软件ABAQUS来研究含有球形夹杂物的球形基体的接触问题。在解决接触问题之前，首先验证了有限元方法的合理性和正确性。目前，似乎缺乏关于含有球形夹杂物的球形基体接触问题的研究。因此，所提出的有限元模型不能直接与现有研究进行比较。

**确定夹杂物的无量纲最小半径r?**
图11(a)显示了弹性-完全塑性球体与刚性平面接触时von Mises应力的变化情况。当干涉量ωm等于0.3ωHc时，球体发生弹性变形，最大von Mises应力小于球的屈服应力。当ωm达到ωHc时，最大von Mises应力等于球的屈服应力，球体开始发生初始屈服。对于泊松比为υ=0.3的球体，初始屈服发生...

**结论**
本文提出了一个有限元接触模型，用于研究夹杂物的杨氏模量与基体杨氏模量之比γ、夹杂物的无量纲半径r?和无量纲深度h?对球形基体接触力学行为的影响。主要结论总结如下：
(1) 由赫兹接触模型预测的可变形球的临界干涉量表示为ωHc。当球体内含有弹性球形夹杂物时...

**作者贡献声明**
Wenting Zhai：撰写——原始草稿，可视化，软件开发，数据管理。
Yuan Yuan：撰写——原始草稿，撰写——审阅与编辑，概念构思。
Ruyi Chang：撰写——审阅与编辑，软件开发，概念构思。
Xinyi Dong：撰写——审阅与编辑，指导。

Wending Zhai | Yuan Yuan | Ruyi Chang | Xinyi Dong