基于根轨迹的解析式设计以增强具有惯容-负刚度谐振器的超材料的超阻尼效应

《International Journal of Engineering Science》：Root-locus-based closed-form design for enhancing metadamping in metamaterials with inerter-negative-stiffness resonators

　　

摘要
本文开发了一种针对带有惯性器 - 负刚度谐振器的局域共振超材料的闭式设计框架，旨在通过解析手段而非数值优化来增强元阻尼。对色散方程的根轨迹分析揭示，元阻尼行为由特征根的拓扑结构决定，并识别出一个临界点，在该点两对复根合并为双重根。这为最优阻尼设计提供了一个物理上透明的准则，并揭示了元阻尼增强的内在机制，得出了临界惯性、临界阻尼和合并阻尼比的闭式表达式。通过引入缩放因子，对亚临界阻尼区域进行了解析表征，提供了模态阻尼比、修正因子、模量和频率的显式公式，并建立了元阻尼与缩放因子之间的普适关系。这些结果将临界点转化为连续设计空间，使得能够系统地权衡元阻尼与带隙。推导了考虑固定 - 自由边界的有限链稳定性判据，白噪声和地震激励下的时域仿真表明自由端加速度显著降低。所提出的框架为惯性器 - 负刚度超材料的设计提供了一种实用且计算高效的工具，架起了解析理论与工程隔振之间的桥梁，并为广泛性能要求下的实际应用提供了明确的设计指南。

引言
有效缓解不需要的振动仍然是确保现代工程系统安全、适用性和寿命的持久挑战，涵盖机械设备、航空航天结构和民用基础设施（Badino & Bacigalupo, 2026; Mu 等，2026; Xu 等，2016）。传统策略，如粘弹性阻尼和隔振支座，通常受限于狭窄的有效频率范围，并且需要大量的体积或质量才能实现足够的性能（Cao 等，2022; Xu 等，2016）。弹性超材料作为一种有希望的替代方案应运而生，提供了操控弹性波传播的能力，这是天然材料无法企及的方式（Badino & Bacigalupo, 2026; Oudich 等，2023）。其中，局域共振超材料（LRM）特别引人注目，因为它们的带隙源于亚波长内部单元的共振运动，而不是布拉格散射，从而使得在紧凑尺寸下实现低频波衰减成为可能，且该尺寸在很大程度上与晶格周期性无关（Mu 等，2026; Zhao 等，2026, 2026）。自 Liu 等人（2000）的开创性工作以来，已证明 LRM 表现出负有效质量密度和模量（Capuano 等，2026; Gao & Wang, 2022），并已成功应用于梁、板、壳和地震屏障的隔振（Demetriou & Rizzi, 2026; Huang 等，2025, Karami & Ghayesh, 2025; Li 等，2025, Lin 等，2022; Zhang 等，2025）。最近的综述系统地总结了这些进展，突显了对能够提供可预测且稳健性能的低频衰减设计方法日益增长的需求（Badino 等，2026; Xu 等，2023）。

迄今为止，已经探索了多种多样的 LRM 构型。最简单且最广泛采用的是质量 - 质量单元，其中重核心通过软涂层或弹簧 - 阻尼器组件连接到宿主质量上，在局域共振频率附近产生狭窄的带隙（Wu 等，2026; Zhou 等，2026）。为了克服单个谐振器固有的窄带限制，开发多谐振器设计，将一个单元内的几个具有不同固有频率的谐振器并联或串联排列，使得相邻带隙重叠并合并为更宽的衰减区域（Gao 等，2024; Wang 等，2016）。除了离散质量 - 弹簧拓扑结构外，LRM 还已实施于梁型、板型和夹层构型中，其中谐振器是表面附着、嵌入或作为内部夹杂集成（Mei 等，2026; Mizukami 等，2026; Ren 等，2026; Zhou 等，2026）。这些结构形式将 LRM 概念从一维链扩展到二维和三维承重构件，并已被证明能在实际工程结构中实现弯曲波和纵波衰减（Huang 等，2025; Wang 等，2020）。

在构型开发的同时，大量工作致力于调谐带隙位置并拓宽其宽度。早期策略依赖于调整谐振器质量和刚度以移动局域共振频率，该频率直接决定带隙的下边缘（Chen 等，2021; Wang 等，2025）。后续研究引入了准零刚度谐振器、负刚度元件和惯性放大机制，以在不产生禁止性质量惩罚的情况下将带隙推向超低频率（Hao 等，2025; Muhammad, 2021; Zhu 等，2026）。多模态耦合和多构型排列也得到了利用，其中与不同共振模式或非均匀单元相关的带隙合并为连续衰减带（Chen 等，2026; He 等，2026）。最近，拓扑优化和机器学习辅助反设计已被应用到 LRM 单元中，实现对目标带隙特性设计空间的系统探索（Chen 等，2026; Wu 等，2026）。

与带隙工程并行，元阻尼的概念作为一个独特的耗散相关现象在耗散超材料中引起了越来越多的关注（Hussein & Frazier, 2013）。元阻尼指的是相对于其静态等效声子晶体对应物，周期结构有效阻尼容量的涌现增强（或退化），源于内部谐振器与传播波之间的动态耦合（Hussein & Frazier, 2013; Hussein 等，2022）。这种效应使得在通带内而非仅在带隙内实现强波衰减成为可能，并已在惯性放大构型（Banerjee & Bera, 2026; Das 等，2024）、耗散多谐振器晶格（Chen & Ma, 2024）和超梁（Aladwani & Nouh, 2020）中得到证明。最近，元阻尼已在惯性器增强的局域共振超材料中得到研究，其中惯性器的质量放大效应显著提高了谐振器的耗散效率（Zhao 等，2026, 2026），以及在压电分流或电谐振超材料中，其中分流电路引入了一个可实时调谐的额外耗散通道（Bera & Banerjee, 2023; Bera 等，2024）。

为了克服低频带隙与增加质量之间的固有权衡，最近两种机械机制引起了特别关注：惯性器和负刚度。惯性器是一个产生与其端子相对加速度成正比的力的二端元件，最初是在机械网络综合中构想的（Smith, 2002）。与常规质量不同，它通过相对运动产生惯性，从而在不增加物理质量的情况下实现质量放大效应（Li 等，2024; Ma 等，2021），这促成了其在具有显著增强阻尼放大的被动振动控制装置中的使用（Wang 等，2022; Zhang 等，2020）。并行地，通过预压缩弹簧、屈曲梁、磁排列或多稳态晶格实现的负刚度机制，提供了一种通过减少有效刚度而不增加质量来实现低频可调性的互补途径（Li 等，2025; Sarlis 等，2013; Wu 等，2023），此外还表现出固有的阻尼放大效应，从而改善能量耗散（Su 等，2023; Zhao 等，2023）。

在动态吸振器（DVA）的背景下，惯性器和负刚度都得到了广泛研究，目前存在丰富的解析调谐理论体系。登哈托固定点法和 H2 优化等经典方法已被推广到基于惯性器的吸振器，得出了最优惯性、阻尼和刚度的闭式表达式（Argenziano 等，2022; Barredo 等，2019）。调谐粘性质量阻尼器（TVMD）及其变体已使用 H∞ 和 H2 准则进行了最优调谐（Cheng 等，2022; Ikago 等，2012; Su 等，2025），而调谐惯性器负刚度阻尼器（TINSD）则进一步降低了吸振频率，并相对于常规基于惯性器的吸振器增强了抗震性能（Su 等，2024; Wang 等，2021）。包括调谐质量阻尼器惯性器、基于惯性器的双调谐质量阻尼器以及混合 H∞-H2 设计的相关构型也已得到系统优化（Marian & Giaralis, 2014; Su 等，2024），实际安装方案也扩展了它们的适用性（Marian & Giaralis, 2014; Su 等，2024；Liu 等，2023, Su 等，2025, Zhang 等，2012）。

与这些基于范数的方法并行，基于极点或根轨迹的设计提供了一种互补视角，即在复平面上直接放置或追踪闭环极点。这种方法不是最小化标量范数，而是揭示吸振器如何修改主结构的模态特性（Bisegna & Caruso, 2012; ?ekara & Rapai?, 2015）。这两类方法基于不同的基本假设。登哈托固定点法假设主结构是无阻尼或轻阻尼的，其设计目标是使主质量的频率响应曲线上的两个不变点相等。相比之下，Krenk 的等模态阻尼法源自特征方程的极点位置，其目标是使两个模态阻尼比相等，从而使组合系统表现出平坦且阻尼良好的响应。对于常规调谐质量阻尼器，Krenk 表明固定点法得到的最优调谐频率与根轨迹结果一致（Krenk, 2005），在两种设计哲学之间建立了明确的联系。然而，这种等效性并不普遍成立。当阻尼网络拓扑结构改变时，两种方法会产生不同的调谐频率（Chen 等，2022; Wang 等，2024; Zhang 等，2023）。在 LRM 的背景下，这种区别变得更加重要，因为相关的性能指标，即元阻尼和带隙，本身是由色散根在复平面上的分布决定的。元阻尼由这些根的实部控制，其实部量化了时间或空间衰减，而带隙则由频域中各分支之间的间隔决定。因此，基于极点的公式化提供了谐振器参数与这两个指标之间的直接解析联系，而不是将它们视为数值优化的结果。然而，尽管有这种潜力，惯性器 - 负刚度超材料的系统根轨迹表征尚未建立，现有研究大多局限于单自由度系统或目标模态（Krenk, 2019; Krenk & H?gsberg, 2014; Krenk & H?gsberg, 2016; Qiao 等，2023; Su 等，2025; Su 等，2023; Wang 等，2025）。

尽管取得了这些进展，但仍存在一个关键差距。惯性器和负刚度元件越来越多地被引入超材料单元中（Bian 等，2026; Hao 等，2025; Zhang 等，2026; Zhong 等，2026; Zhu 等，2026），然而，它们在统一框架内的同时集成仍未被探索，并且解决其耦合效应的解析设计方法仍然缺乏（Zhou 等，2026）。更根本的是，虽然元阻尼已被广泛记录，但大多数研究依赖数值方法，因此系统参数与元阻尼性能之间的明确解析关系仍然不可用。特别是，不存在闭式框架来识别两个根分支合并的临界点，或表征可以权衡元阻尼 - 带隙的亚临界区域。为了解决这些差距，本文开发了一种闭式设计框架，解析地表征了临界点和亚临界区域，并建立了一种在惯性器 - 负刚度 LRM 中平衡元阻尼与带隙宽度的系统方法。

本文其余部分组织如下。第 2 节建立了分析框架，包括超材料构型、控制方程、色散函数和元阻尼定义。第 3 节进行根轨迹分析，揭示根拓扑演化并识别临界点。认识到临界设计增强了元阻尼但 inevitably 抑制了带隙，第 4 节表征了亚临界阻尼区域，并建立了元阻尼 - 带隙权衡的设计框架。第 5 节检查了刚度比和主链参数的影响。第 6 节通过频域透射率和时域分析在有限链上验证了设计。最后，第 7 节总结了本工作的主要贡献。

第 2 节 超材料模型与预备知识
本节建立了 KCB-TINSD 超材料的分析框架。首先描述单元构型，随后推导时域和拉普拉斯 - 弗洛凯矩阵形式下的控制方程。然后获得色散函数并将其转化为无量纲形式。

基于色散关系的复数根，元阻尼性能指标被定义为第3节中基于根轨迹分析的中央设计指标。

**基于根轨迹的临界点分析及闭式特征描述**

基于前节建立的解析框架，本节发展了本文的核心设计方法论。我们首先进行根轨迹分析，以揭示谐振器惯容$\beta_d$和阻尼$\xi_d$在控制根拓扑结构中的关键作用。识别出一个临界点$(\beta_d^*, \xi_d^*)$，在该点处四个根合并为一对双重复根，表征了元阻尼性能。该临界点的闭式表达式为

**元阻尼与带隙之间的临界点困境**

对于局域共振超材料，元阻尼和带隙是两个不同但同等重要的性能指标。元阻尼量化了通带内的波衰减特性，由第2.4节定义的平均阻尼比$\zeta_{\text{meta}}$表征；而带隙则反映了完全禁止波传播的频率区间是否存在。在本工作采用的复频率框架中，带隙宽度通常定义为之间的间隔

**参数分析**

本节探索了所提超材料设计的参数景观。首先考察了谐振器刚度比（$\eta_p$和$\eta_n$）对临界点解及其可行范围的影响，随后评估了主链惯容和阻尼（$\beta_m$和$\xi_m$）如何塑造带隙和元阻尼特性。

**有限周期链上的数值验证**

本节在所提闭式设计的基础上，对基础激励下的有限周期链进行了验证。考虑了一条具有固定-自由边界条件的有限链，并推导了该构型的稳定性判据。随后计算了临界设计的KCB-TINSD链的传递率，并与参考链（KC和KCB）进行了比较。此外，还给出了地震激励下的时域实例，以进一步展示隔振性能。不同于大量的

**结论**

本文开发了具有惯容-负刚度谐振器的局域共振超材料的闭式设计框架，旨在通过解析可行的方法增强元阻尼。本文所提方法偏离了传统的数值优化策略，基于色散方程的根轨迹分析，揭示了元阻尼行为由复平面中特征根的拓扑结构所控制。在临界

**CRediT作者贡献声明**

苏宁：撰写—原始草稿、监督、正式分析、概念化。郑敬晓：可视化、验证、调查、数据整理。卢小南：软件、方法论、调查。

苏宁 | 郑敬晓 | 卢小南