《International Journal of Engineering Science》：A three-dimensional conservative Allen–Cahn model with a curvature-dependent Lagrange multiplier
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摘要我们提出了一种带有曲率依赖拉格朗日乘子的新型三维守恒型Allen-Cahn模型。所提出的模型能够守恒总质量并减少不需要的曲率效应。与传统的CAC模型相比，它还更好地保留了小结构和复杂的界面形状。我们开发了一种简单的方法，该方法使用算子分裂、Fourier谱方法、反应项的精
摘要
我们提出了一种带有曲率依赖拉格朗日乘子的新型三维守恒型Allen-Cahn模型。所提出的模型能够守恒总质量并减少不需要的曲率效应。与传统的CAC模型相比，它还更好地保留了小结构和复杂的界面形状。我们开发了一种简单的方法，该方法使用算子分裂、Fourier谱方法、反应项的精确解以及用于曲率计算的有限差分方法。所提出的方法仅在界面附近计算曲率以提高稳定性。我们通过几个三维例子测试了所提出的模型，包括多个液滴、复杂形状、给定速度场下的界面运动以及与其Cahn-Hilliard模型的比较。计算结果表明，所提出的模型在模拟过程中保持原始形状、守恒质量并保持稳定。这些数值结果表明，所提出的模型是三维多相模拟的一种简单有效的方法。
引言
相场方法被广泛用于模拟科学和工程中涉及移动界面的问题。这些方法将界面描述为薄的过渡层，并避免显式跟踪界面。由于这一优势，它们被应用于许多问题，如拓扑优化、晶体生长和多相系统。在一些先进的工作中，相场模型被修改以基于任意点云构建复杂的固体几何形状。在相场方程中，Allen-Cahn模型是最基本和最著名的方程之一。AC方程描述了二元系统中的相分离和界面运动。然而，它不守恒总质量。因此，它不适用于必须保持总质量恒定的问题。
为了解决这个问题，研究人员提出了使用拉格朗日乘子来保持总质量随时间恒定的守恒型Allen-Cahn方程。由于它们是二阶方程，这些方程比Cahn-Hilliard模型更容易计算；然而，界面在总质量保持恒定的同时仍然在平均曲率下演化，这在许多物理情况下是合适的，因为它有助于平滑界面并减少能量。然而，存在一些曲率驱动运动不期望的应用。例如，在包含不同大小结构的多相系统中，小组件可能会由于其高曲率而收缩并消失，即使这种行为在物理上不相关。此外，在界面几何特征很重要的问题中，它们必须被保留。这些效应限制了传统CAC模型在需要同时满足质量守恒和形状保持情况下的适用性。为了减少由于界面曲率引起的局部质量损失，Su和Yang最近提出了一种具有曲率依赖流动性的三元相场流体系统，其中相场动力学根据界面曲率被抑制。为了满足总质量守恒，曲率依赖流动性仅在CH型方程中使用。此外，从理论角度来看，传统多相模型中小结构的自发收缩由特定的标度律支配，Yue等人对此进行了全面分析。类似地，对于具有空间恒定拉格朗日乘子的传统CAC模型，渐近分析表明界面演化遵循体积保持平均曲率流。在Lee等人中，作者还暗示当小结构的半径低于临界阈值时，它们不可避免地会收缩。
出于这些原因，调节曲率对界面运动的影响非常重要。我们在三维守恒型Allen-Cahn模型中引入了曲率依赖的拉格朗日乘子。所提出的模型在保持总质量的同时控制曲率的影响。因此，它减少了不需要的变形并保持了界面的关键几何特征。所提出的曲率依赖方法是一个数学模型。它不是基于经典热力学的。传统模型产生平均曲率减去平均平均曲率流。相比之下，所提出的模型减少了这种运动。这种方法对于强流体流动和拓扑优化非常有用，因为它可以防止小形状在平均曲率减去平均平均曲率流下消失。Kwak等人提出了一种带有曲率依赖项的修改二维CAC模型。该项控制曲率效应并保留质量。他们的模型减少了小结构的收缩，并比标准CAC方程更好地保持了界面形状。Lee提出了一种新的CAC模型，在演化过程中保留零水平界面，同时保持质量守恒。该模型引入了可变流动率函数和定制的校正项，以防止由传统调整引起的界面失真。Xie等人提出了一种修改的相场方程，去除了曲率效应，因为这种效应可能导致过度平滑并降低演化过程中的几何特征。
本文的组织如下。在第2节中，我们介绍了所提出的CAC模型以及用于求解该模型的数值算法。在第3节中，我们提供了几个计算测试以评估几何特征保持性能。最后，第4节总结全文。
章节片段
传统CAC模型
已经开发了多种形式的CAC方程以在经典AC方程中实施质量守恒。我们介绍了两种常用的CAC方程作为参考模型。第一个CAC模型引入了空间恒定的拉格朗日乘子以保留总质量。它写为：??? = ?F'(?)/ε2 + Δ? + λ?(t),其中拉格朗日乘子λ?(t) = (1/(ε2|Ω|)) ∫_Ω F'(?) dΩ,从质量守恒条件中得出。该模型满足质量
计算测试
我们进行了几次数值测试以验证所提出的CAC模型的性能。特别是，我们关注与传统CAC模型相比其保留界面几何特征的能力。我们引入符号ε? = hm/[2√2 tanh?1(0.9)]，其中m是正整数。该参数对应于扩散界面中大约m个网格点；更多细节请参见Yang和Kim及其参考文献。除非另有说明，我们设置ε = ε?
结论
在本研究中，我们提出了一种带有曲率依赖拉格朗日乘子的三维CAC模型。所提出的模型守恒总质量并减少了不需要的曲率效应。因此，与标准CAC模型相比，它更好地保留了小结构和复杂的界面形状。我们还开发了一种基于算子分裂、离散余弦变换、反应项的精确解以及用于曲率计算的有限差分方法的简单数值方法。数值结果表明，所提出的模型保留了界面
作者贡献声明
Soobin Kwak: 撰写 – 审阅与编辑，撰写 – 初稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析，概念化。Xinpei Wu: 撰写 – 审阅与编辑，撰写 – 初稿，可视化，软件。Junseok Kim: 撰写 – 审阅与编辑，撰写 – 初稿，验证，监督，项目管理，方法论，概念化。
利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些利益或关系可能影响本论文报告的工作。
Soobin Kwak|Xinpei Wu|Junseok Kim
