一种用于延性相场断裂的增量图 KAN 深能方法

《INTERNATIONAL JOURNAL OF PLASTICITY》：An incremental graph KAN deep energy method for ductile phase-field fracture

　　

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  GKAN–DEM将图KAN位移更新与网格相位场求解相耦合。
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  承诺/试验状态可防止优化过程中产生人为塑性累积。
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  缩减增量势将J2塑性嵌入能量最小化中。
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  十个基准测试中，峰值载荷与有限元结果误差在2.23%以内。
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  双轴裂纹萌生与完全失效已与FEM进行交叉验证。

部分摘录

符号说明

连续介质与材料		相位场与驱动力
$\Omega$、${\Gamma }_D$、${\Gamma }_N$	域；狄利克雷/诺伊曼边界	$s$、$d$	裂纹相位场（$s=1$ 完整；$d=1?s$）
$\mathbf{u}$	位移场	$g(d)$	二次退化函数
$\stackrel{?}{\mathbf{u}}$、${\mathbf{t}}_N$	规定位移/面力
$\mathit{?}$、${\mathit{?}}^e$、${\mathit{?}}^p$	总/弹性/塑性应变	$k$；$\eta$	残余刚度（主模型；传递检查）
$\mathit{\sigma }$；$\stackrel{?}{\mathit{\sigma }}$	退化柯西应力；未损伤有效应力	$l_0$	正则化长度
$\kappa$、$\mu$、${\lambda }_{\mathrm{L}}$	体积/剪切模量；拉梅常数	$G_c$	单位面积断裂能
${\sigma }_{y0}$、$h$	初始屈服应力；

小应变延性相位场公式

本节介绍主算例中使用的J2塑性和塑性功驱动AT2相位场小应变公式。所有结构算例均为准静态平面应变问题。第4.1节的单单元验证则是一个均匀单轴应力材料点问题。平面应变假设与二维参考基准一致；广义平面应变将引入额外的面外运动学变量和全局约束，

基于图Kolmogorov–Arnold网络的延性断裂深度能量法

本节介绍所提出的求解器。其总体架构如图2所示：一个定义在有限元网格上的图神经网络输出增量节点位移，通过最小化嵌入J2返回映射的可微增量能量进行训练，并在第2.3节交替迭代循环中与网格原生相位场子求解器交换损伤场。网络从不输出损伤或塑性状态：相位场以节点形式存储于

数值验证与交叉验证

本节针对Fang塑性功公式（见表3汇总）验证并交叉验证求解器。单单元问题（第4.1节）是将本构核心与解析解进行验证。平底槽板和偏置缺口板构成了针对内部Gridap有限元参考A的主要交叉验证算例，该参考与本方法共享本构更新、驱动力定义、交替规则以及匹配的P1三角形离散化，

敏感性研究与讨论

第4节的基准测试确立了求解器与其有限元参考及已发表曲线的吻合度；本节考察在结果发生变化之前，求解器可被扰动到什么程度。所有研究均在$h=0.3E$和$l_0=0.2$ mm的偏置双缺口板上进行——这是一个结构苛刻的案例，裂纹必须从强硬化、几乎全塑性的韧带中沿对角线局部化——以便以……为对照，测量每个组分的隔离效应

结论

本文针对金属延性相位场断裂中的塑性路径依赖问题，提出了一种增量式图Kolmogorov–Arnold网络深度能量法。该方法用图网络表示非结构网格上的位移增量，将塑性本构更新嵌入增量能量最小化中，并采用结合基于网络的位移求解与基于网格的裂纹求解的混合策略。通过区分试验与承诺状态，

CRediT作者贡献声明

张鹏： 撰写——初稿，可视化，验证，软件，方法学，调查，形式分析，数据整理，概念构思。唐可柯： 撰写——审稿与编辑，监督，资源，项目管理，调查，资金获取。

利益冲突声明

作者声明，不存在任何已知的竞争性财务利益或个人关系，这些利益或关系可能会影响本文所报告的工作。

致谢

本工作由国家自然科学基金委员会（编号：11872278）、上海市自然科学基金（项目编号：25ZR1401355）和中央高校基本科研业务费专项资金资助。

张鹏|唐可柯