双分支概率应力估计器 (TB-PSE)：一种用于大规模结构静力响应分析的数字孪生方法

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Twin-Branch Probabilistic Stress Estimator (TB-PSE): A digital twin approach for large-scale structural static responses analysis

　　

• 提出了一种用于结构数字孪生的概率传感器到全场框架。• 孪生残差分支估计全场平均应力和逐节点不确定性。• 与基线模型相比，展示了具有竞争力的精度和不确定性估计能力。• 系统评估了噪声鲁棒性和稀疏训练校准行为。1. 引言现代重型运载火箭依赖簇状推进系统来提供当代航天任务所需的高推力[1],[2]。在此类系统中，发动机推力载荷通过复杂的承重结构传递，包括推进剂箱底部舱板和发动机支撑框架。在全推力工况下，这些结构承受巨大的机械载荷，可能在关键部位引起显著的应力集中和变形[3],[4]。这些结构响应会影响推力矢量控制的精度，进而影响运载火箭的飞行稳定性和任务可靠性[5]。因此，全面的静态试验协议在整个开发和生产生命周期中已成为不可或缺的环节，用于验证结构框架的承载能力并监测关键部位的应变响应，从而确保最佳发动机性能和运行可靠性[6],[7]。然而，大规模静态试验仍然昂贵且耗时。通常需要大量传感器部署、多步加载程序以及在不同工况下的重复验证[6],[8]。虽然有限元分析（FEA）可以提供高保真的全场结构响应，但由于模型准备、重新计算和校准计算成本高昂，不太适用于静态试验期间的在线全场估计。这些局限性促使开发数字孪生和代理建模技术，能够从有限测量中近似实时推断全场结构响应[9],[10],[11],[12]。现有的数据驱动全场预测方法在重建应力、应变、位移和温度场方面已展现出令人瞩目的能力[13],[14]。基于卷积神经网络（CNN）[15]、生成模型、算子学习和物理信息模型[16]可显著降低相较于重复FEA的计算成本。例如，Stoffel等人[17]利用神经网络方法研究了受脉冲冲击载荷作用的金属板的粘塑性变形。所开发的神经网络有效替代了传统的粘塑性本构方程，与传统的有限元模拟相比显著减少了仿真时间，同时保持了可接受的精度水平。多项研究证明了机器学习增强结构分析方法的有效性。Wu等人[18]开发了一种全面的四维数字孪生框架，专门用于实时评估半潜式平台在关键结构部位的响应。最近，Jirawattanasomkul等人[19]展示了用于平衡悬臂桥的传感器驱动数字孪生框架，其中集成了加速度计数据、动态应变测量、3D激光雷达几何、超声脉冲速度测试和数值建模，以监测结构健康并识别动态特征。这些实际部署表明，鲁棒的数字孪生需要物理感知、结构建模和智能算法的协同融合，而非孤立的代理预测。Kushwaha等人[20]将深度算子网络（DeepONet）用于监测增材制造过程。这些研究表明，机器学习辅助的代理模型可以有效降低对重复高保真仿真的依赖。尽管取得了这些进展，但大多数现有全场重建方法仍被表述为确定性回归模型。其输出通常使用逐点误差指标进行评估，而由稀疏测量、传感器噪声、有限加载工况和模型外推引起的不确定性很少被量化。这一局限性在安全攸关的静态试验中尤为重要，因为在这些试验中，决策不仅要求精确的应力预测，还需要预测场的置信度信息。此外，现有应用主要集中在海洋结构、复合材料接头、制造过程和通用结构监测方面[21],[22]，而在极端载荷条件下的大型航空航天结构的概率全场应力估计仍探索不足。不确定性量化（UQ）为评估复杂工程系统中预测的可靠性提供了原则性框架[23],[24]。在高风险应用中，UQ的关键重要性尤为突出，因为在这些应用中系统失效可能产生灾难性后果，包括航空航天结构可靠性分析[25]、极端事件下的建筑韧性[26]和核反应堆安全分析[27]。基于采样的方法如蒙特卡洛模拟虽然稳健，但对高保真结构模型而言计算成本高昂[28],[29],[30]，而基于代理的UQ方法如多项式混沌展开和高斯过程回归可以提高效率。然而，这些方法在面对高维输入和大规模全场输出时仍面临可扩展性挑战[31],[32],[33]。近期的概率机器学习和贝叶斯代理模型试图提高工程应用中UQ的可扩展性。Xie等人[34]设计了一种多保真度贝叶斯代理模型用于解决气动问题；该方法的高精度通过涉及多翼构型的案例得到了验证。Xia等人[35]提出了一种基于代理的CFD仿真UQ方法，证明比传统的MC方法更高效。最近，Ma等人[36]开发了一种基于copula的转移马尔可夫链蒙特卡洛方法用于贝叶斯模型更新，展示了贝叶斯推断在结构不确定性量化和可靠性分析中的有效性。然而，从稀疏试验测量中对数十万个结构节点进行实时逐节点概率应力估计仍然具有挑战性。因此，从不确定性量化和数字孪生部署两个角度来看仍存在研究空白。首先，大多数数据驱动的全场预测方法不量化节点预测的可靠性。其次，经典UQ和概率代理方法难以扩展到具有数十万个节点输出的大型全场结构响应。第三，全场预测模型在稀疏测量、传感器噪声和有限加载步骤下的不确定性校准尚未得到充分研究。最后，概率代理模型作为大规模结构数字孪生中实时传感器到全场更新模块的实际作用，利用安全攸关的航空航天结构真实静态试验数据进行的验证仍然有限。为了解决上述高维不确定性量化和概率响应估计中的挑战，本工作引入了一种新颖的孪生分支概率应力估计器（TB-PSE），可有效估计高维全场结构响应的概率分布。在静态试验数字孪生工作流中，TB-PSE充当具有不确定性感知能力的传感器到全场更新模块。稀疏物理测量提供实时结构状态信息，经过校准的有限元结果提供空间完整的参考场用于训练，训练好的模型以毫秒级推理速度更新全场应力状态。所提出的框架通过采用分量输出模型和用于节点平均应力和不确定性估计的孪生预测分支来捕捉空间异质性。本工作的主要贡献总结如下。首先，开发了一种用于大规模结构静态试验的概率信号到全场预测框架，使稀疏传感器测量能够转换为全场应力分布。其次，提出了一种孪生分支深度神经网络架构，联合估计节点应力均值和不确定性。第三，利用火箭发动机框架结构的实际静态试验数据验证了所提出的方法，证明了其适用于安全攸关的航空航天结构。最后，进行了对比研究和鲁棒性分析，以评估所提框架的精度、计算效率、噪声抵抗能力和不确定性校准能力。本文结构如下：第2节介绍静态试验中用于数字孪生的代理建模初步概念。第3节提出TB-PSE架构及其概率学习策略。第4节描述火箭发动机框架案例研究的实验装置、加载协议、有限元建模和数据集构建。第5节给出模型验证结果，包括基于有限元的全场预测、与确定性代理和贝叶斯代理模型的比较，以及使用实测数据的校准。第6节进一步研究所提方法在传感器噪声和稀疏训练数据条件下的鲁棒性和不确定性校准。最后，第7节总结全文并讨论未来研究方向。2. 初步概念：静态试验中数字孪生的代理建模机械试验数字孪生系统代表了一种综合性的信息物理框架，在物理试验装置和虚拟计算模型之间建立双向数据流。其基本架构包括：物理传感器、负责实时数据传输的数据采集与通信层、代理建模算法以及可视化界面功能。作为数字孪生系统的基础，代理建模通过构建输入参数与输出响应之间的数学映射，建立复杂物理现象的计算高效近似。对于结构力学应用，代理函数f?:?^d→?^q近似高保真有限元分析函数f:?^d→?^q，其中d表示输入维度，q表示输出维度。基于机器学习的代理建模方法为复杂非线性映射提供了强大的近似能力。基本前向过程表示为：(1) F_field = f(θ, X(t))其中X(t)表示t时刻来自传感器或工况相关信息的输入数据，F_field表示由代理模型计算得到的场估计结果。θ构成代理模型的可训练参数。万能逼近定理保证足够宽的神经网络可以任意精确地逼近连续函数。对于基于物理的应用，网络参数θ={W^(l), b^(l)}_{l=0}^{L-1}通过以下方式进行优化：(2) θ* = arg min_θ L(θ) = arg min_θ (1/N) Σ_{i=1}^{N} L(f?(x_i; θ), y_i)其中L(x, y)表示损失函数，例如MSE函数：MSE = E[(f?(x) ? f(x))^2]。3. 所提方法3.1. 用于数字孪生的代理框架图1展示了所提出的静态试验数字孪生工作流。首先在N_C个加载工况下进行有限元仿真，为N_P个结构组件提供空间完整的参考应力场。对于每个组件，训练一个代理模型，将稀疏传感器位置输入映射到组件级别的节点应力场。训练完成后，各组件模型利用实时测量衍生的输入以低推理成本更新全场应力状态。图1. 所提框架的流程图。在本研究中，每个代理模型首先根据目标的网格信息进行配置，以捕捉源自相应有限元分析的基本响应特征。对于每个加载工况，有限元导出的全场应力分布首先由相同加载步骤和坐标定义下获得的应变片测量值进行校准。为实现静态试验的数字孪生，将经过训练的代理模型——以实时稀疏测量为输入——部署为可操作的数字孪生系统，能够实时生成关键结构性能指标的高分辨率全场预测。这些训练好的模型能够实现全面的应力场可视化，并促进详细结构健康评估。在所提框架中，应变片测量值根据应变片方向材料和构成关系转换为轴向应力值。由于被测构件主要承受沿构件方向的轴向载荷，转换后的轴向应力幅值用作传感器位置处的等效冯·米塞斯应力。这些测量衍生的等效应力值随后用作稀疏传感器输入和逐点验证量，而全场冯·米塞斯应力标签则从经过校准的有限元模型中获得。3.2. 孪生分支概率应力估计器图2展示了用于概率全场应力估计的TB-PSE架构。该模型接受测量衍生的传感器输入，提取隐藏特征，并使用两个预测分支输出节点平均应力场和逐节点标准差场。图2. 孪生分支概率应力估计器的设计。代理模型的输入由静态试验系统中监测到的目标工况相关信号组成。这些信号通过一个初始卷积层进行处理，以提取传感器工况特征并将原始输入转换到高维嵌入特征空间：(3) F_emb = Conv1D(S_input)其中S_input表示目标工况相关信号，F_emb表示捕捉加载场景本质特征的嵌入隐藏特征。为计算目标场值的统计矩，设计了一种双分支架构。每个分支由四个顺序线性块组成，每个层配备批量归一化层和残差连接，计算过程表示如下：(4) h^(1)_i = BN(Linear_i(h^(1)_{i-1})) + h^(1)_{i-1}其中h^(1)_i表示均值预测分支第i个线性块的隐藏状态，BN表示批量归一化，残差连接确保训练期间的梯度流稳定。由于冯·米塞斯应力为非负值，均值分支的最后一个线性层使用ReLU函数。第二个分支估计逐节点标准差，为预测响应提供不确定性量化。两个分支的输出经过采样过程生成结构域上的全场预测。采样机制将高层特征表示转换为空间分布的场值：(5) F_i^mean = h^(1)_4(6) F_i^std = h^(2)_4(7) F_i ~ N(F_i^mean, (F_i^std)^2)对于具有分布输出的代理模型训练，该模型采用加权复合目标函数来优化双分支架构中的平均应力预测和相关的异方差不确定性。概率分支使用正则化异方差不对数似然类型目标进行训练，该目标联合惩罚预测残差和预测的逐节点标准差：(8) L_NLL = (1/N) Σ_{i=1}^{N} [log(σ_i + 1) + (y_true,i ? μ_i)^2 / (2(σ_i + 0.1)^2)]其中μ_i, σ_i分别表示第i个样本的预测均值和标准差，y_true,i是参考标签，N是样本总数。引入偏移标准差项是为了训练期间异方差不对数似然目标的数值稳定性。

为了提升均值预测精度，将均方误差损失计算并加入损失函数：

$$\mathcal{L} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_{true,i} - \mu_i)^2 + \mathcal{L}_{NLL}$$

对于方差固定的高斯模型，最小化NLL等同于最小化一个缩放的MSE。然而，在本异方差设定中，这一等价关系并不成立，因为方差同样由网络预测，且NLL中的残差项以学习到的标准差进行加权。在初步训练中发现，仅使用NLL会削弱对均值场的直接约束，因为高难度应力场区域可能被赋予较大的方差。因此，引入辅助MSE项作为均值分支的正则化项，以稳定高维全场应力预测。不确定性分支通过异方差残差加权项进行优化，而辅助MSE项则对均值场预测进行正则化。

因此，工作流程可表述为：(1) 建立并验证与实验边界和加载条件一致的Abaqus有限元模型；(2) 从有限元结果中提取全场节点应力及传感器位置的应力值，校准全场标签；(3) 训练逐组件的TB-PSE模型，将稀疏传感器位置输入映射为全场应力分布；(4) 使用实测应变片数据在非输入测量位置进行独立验证；(5) 评估模型对输入噪声和训练步数缩减的鲁棒性。

## 4. 实验设置与数值建模

本文提出的双分支概率应力估计器（TB-PSE）通过火箭发动机框架静力试验及相应的有限元模型进行验证。本节聚焦于实验设置与数值建模过程。首先介绍静力试验平台、加载协议和传感器配置。然后描述有限元模型构建、边界条件、非线性分析设置及全场应力数据提取。

### 4.1 火箭发动机框架静力试验

为确保火箭发动机框架在设计加载条件下的承载能力，在设计及交付阶段进行了静力试验。如图3所示，静力试验平台由目标火箭发动机框架、刚性试验台架、多点加载系统和应变数据采集系统组成。

图3. 火箭发动机框架静力试验平台及测量系统：实际实验装置、加载系统、试验台架。

试验过程中，载荷施加于四个外部加载点，如图3所示标记为P1–P4。表1列出的载荷分量遵循图3所示的全局坐标系。共设计了24个加载步，从初始状态至最大载荷等级。结构应变响应采用中国航空工业集团制造的BE120-10AA电阻应变片进行测量。应变片粘贴于框架表面选定位置，特别是靠近载荷传递路径、接头区域以及有限元预测的高应力区域。试验前，对应变片的粘贴质量、绝缘电阻和初始零点漂移进行了检查，以确保信号采集的可靠性。

**表1. 静力试验加载信息。**

| 加载步 | 点1（吨） | 点2（吨） | 点3（吨） | 点4（吨） |
|--------|-----------|-----------|-----------|-----------|
| 1 | (0,-20,0) | 0 | 0 | 0 |
| 2 | (0,-40,0) | 0 | 0 | 0 |
| 3 | (0,-60,0) | 0 | 0 | 0 |
| 4 | (0,-80,0) | 0 | 0 | 0 |
| 5 | (0,-100,0) | 0 | 0 | 0 |
| 6 | (0,-120,0) | 0 | 0 | 0 |
| 7 | (0,-120,0) | (1.23,-5.74,1.23) | (1.23,-5.74,-1.23) | 0 |
| 8 | (0,-120,0) | (1.23,-5.74,1.23) | (1.23,-5.74,-1.23) | (0,0,-2) |
| 9 | (0,-130,0) | (1.23,-5.74,1.23) | (1.23,-5.74,-1.23) | (0,0,-2) |
| 10 | (0,-140,0) | (1.23,-5.74,1.23) | (1.23,-5.74,-1.23) | (0,0,-2) |
| 11 | (0,-150,0) | (1.23,-5.74,1.23) | (1.23,-5.74,-1.23) | (0,0,-2) |
| 12 | (0,-150,0) | (2.26,-10.53,2.26) | (2.26,-10.53,-2.26) | (0,0,-2) |
| 13 | (0,-160,0) | (2.26,-10.53,2.26) | (2.26,-10.53,-2.26) | (0,0,-2) |
| 14 | (0,-170,0) | (2.26,-10.53,2.26) | (2.26,-10.53,-2.26) | (0,0,-2) |
| 15 | (0,-180,0) | (2.26,-10.53,2.26) | (2.26,-10.53,-2.26) | (0,0,-2) |
| 16 | (0,-190,0) | (1.23,-5.74,1.23) | (1.23,-5.74,-1.23) | (0,0,-2) |
| 17 | (0,-200,0) | (1.23,-5.74,1.23) | (1.23,-5.74,-1.23) | (0,0,-2) |
| 18 | (0,-210,0) | (1.23,-5.74,1.23) | (1.23,-5.74,-1.23) | (0,0,-2) |
| 19 | (0,-220,0) | (1.23,-5.74,1.23) | (1.23,-5.74,-1.23) | (0,0,-2) |
| 20 | (0,-230,0) | (1.23,-5.74,1.23) | (1.23,-5.74,-1.23) | (0,0,-2) |
| 21 | (0,-240,0) | (1.23,-5.74,1.23) | (1.23,-5.74,-1.23) | (0,0,-2) |
| 22 | (0,-250,0) | (1.23,-5.74,1.23) | (1.23,-5.74,-1.23) | (0,0,-2) |
| 23 | (0,-260,0) | (1.23,-5.74,1.23) | (1.23,-5.74,-1.23) | (0,0,-2) |
| 24 | (0,-270,0) | (1.23,-5.74,1.23) | (1.23,-5.74,-1.23) | (0,0,-2) |

应变信号采用桥式应变测量配置进行采集。根据测量位置的可接近性及预期应变方向，应变片通过桥式电路连接用于静态应变测量，并在加载过程前完成温度补偿和零点平衡。在24步加载过程中，应变数据与所施加载荷同步记录。这些实测应变响应既作为代理模型的输入信号，也作为评估有限元模型与物理试验一致性的实验参考。

### 4.2 火箭发动机框架有限元分析

静力试验前，根据实验边界条件和加载协议建立了有限元模型。火箭发动机框架及其支撑组件使用三维实体单元进行离散。最终有限元模型包含508,807个节点和288,089个单元，包括C3D8R六面体单元、C3D10四面体单元和C3D6楔形单元。施加边界约束前，平动自由度的总数约为153万。目标框架区域的结构节点用于全场应力预测和误差评估。

主框架的材料行为采用各向同性硬化的弹塑性本构模型描述。钢材的杨氏模量和泊松比分别设为196 GPa和0.3。底座环通过约束支撑区域实体单元节点的平动自由度实现固定。该约束底座区域如图4所示，标注为有限元支撑/参考区域。外部载荷按照表1列出的24步加载协议施加于P1–P4。

图4. 火箭发动机框架有限元网格及载荷方向。

有限元公式中启用了几何非线性，以考虑高载荷静力试验中的大位移效应。变形梯度和Green-Lagrange应变张量分别定义为 $\mathbf{F} = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}}$ 和 $\mathbf{E} = \frac{1}{2}(\mathbf{F}^T\mathbf{F} - \mathbf{I})$，其中 $\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{x}$ 分别表示参考构型与当前构型。非线性平衡方程表示为 $\mathbf{R}(\mathbf{u}, \lambda) = \mathbf{F}_{int}(\mathbf{u}) - \lambda \mathbf{F}_{ext} = \mathbf{0}$，其中 $\mathbf{u}$ 为节点位移向量，$\lambda$ 为载荷比例因子。在Newton-Raphson迭代过程中，切线刚度矩阵同时包含材料刚度和几何刚度贡献，并根据不断演变的变形和应力状态进行更新。

采用Riks弧长法追踪高载荷条件下的非线性平衡路径。在该方法中，位移增量与载荷比例因子在弧长约束下同时求解，从而在刚度退化、应力重分布或极限点行为发生时改善收敛性。载荷按照实验加载协议增量施加，以复现静力试验过程。因此，非线性响应依赖于载荷等级。结构在早期低载荷步骤中基本保持线弹性状态，仅在较高载荷步骤中出现材料屈服和大位移效应，因此捕捉这种依赖加载步的非线性对于表征最相关的结构鉴定高载荷行为至关重要。

结构网格节点的von Mises应力值从Abaqus中提取并转换为VTK格式，用于数字孪生可视化和数据集构建。对于基于有限元的验证，在应变片位置的有限元预测von Mises应力值作为传感器对齐的输入通道，而41个结构组件的全场节点von Mises应力分布作为空间参考标签。对于基于实测的验证，实测应变响应根据材料本构关系和应变片方向转换为轴向应力值。

在构建混合模拟-测量数据集时，考虑了实验不确定性和有限元-试验一致性。由于无法进行重复大规模静力试验，实验不确定性从单次试验测量记录中表征。对于每个加载步，稳定载荷保持区间内的平均应变作为代表响应，而相应标准差用于估算随机测量波动。由于缺乏重复试验，试验间重复性不确定性无法量化，这被视为当前验证的一项局限。

本研究不将有限元结果或实验测量值视为绝对真值。在传感器位置，经过质量检查的实验测量值作为局部物理参考，用于校正对应的有限元节点值。在未测量位置，保留有限元结果作为空间完整的数值参考场用于全场模型训练。仅当有限元预测与传感器位置实验测量值之间的MAPE在主要加载阶段保持在预设容差10%以内时，有限元模型才被接受用于全场标签生成。

采用四种网格密度进行了网格敏感性分析，如表2所示，其中差异为相对于基准网格的符号相对差异：$(X - X_{baseline}) / X_{baseline} \times 100\%$。较粗网格复现了全局响应，但产生了两个非物理局部极值，仅为完整性予以报告。其偏差随统计阶数的增加单调递增，从von Mises应力99.9百分位的+188.3%开始，且两个极值均转移至在小连接件组件上，而这些极值在其他三种网格中并未出现在承载峰值的组件上，表明这是一种空间孤立的伪影而非全场变化。原因在于连接界面处的网格密度不匹配：在所有四种情况中，受tie/contact拓扑约束的几个小连接件组件被保留，因此增大全局种子尺寸会粗化314个tie对的主表面，而其从表面保持基准密度，载荷通过更少的从节点传递。

**表2. 有限元模型网格敏感性分析。**

| 网格等级 | 种子比例 | 节点数 | 单元数 | 最大位移 (mm) | 差异 | 99% von Mises应力 (MPa) | 时间 (min) |
|----------|----------|--------|--------|---------------|------|------------------------|-----------|
| 较粗 | 1.05 | 455,825 | 256,991 | 9.4705 | 22.541% | 1140.613 | 142 |
| 基准 | 1.00 | 508,807 | 288,089 | 15.210 | 0.000% | 815.974 | 125 |
| 较细 | 0.95 | 543,746 | 312,345 | 15.542 | 1.54% | 822.990 | 131 |
| 更细 | 0.90 | 609,062 | 352,713 | 15.532 | 1.078% | 821.865 | 151 |

因此，收敛性评估基于从基准到更细的序列，其中最大位移变化小于2.16%，99百分位von Mises应力变化小于0.86%。综合考虑数值精度和计算成本，采用基准网格用于数据集生成。

## 5. 模型验证与校准

本节使用有限元生成的全场参考数据和火箭发动机框架静力试验的实际测量数据，评估所提出的双分支概率应力估计器（TB-PSE）的预测性能。首先进行基于有限元的验证，以评估所提出模型的全场应力重构能力，其中有完整的节点应力分布作为参考标签。然后，将所提出方法在预测精度、空间误差分布和推理效率方面与确定性代理模型和贝叶斯概率模型进行比较。最后，进行基于测量的校准与验证，以评估所提出方法在实际实验条件下的实用性。

### 5.1 基于有限元数据的场预测实验

为评估所提出应力估计器的场预测性能，采用若干先进的代理模型进行比较分析。比较模型包括：具有编码器-解码器架构的U-Net CNN模型[37]、利用模拟数据进行预训练并采用实测数据进行微调的基于迁移学习的深度神经网络（DNN）模型[38]、以及径向基函数（RBF）神经网络，后者已被广泛采用为该领域的基准方法。此外，为评估本双分支不确定性量化方法的具体优势，我们实现了标准架构的贝叶斯版本：贝叶斯MLP[39]和贝叶斯Transformer[40]，它们利用概率层估计应力分布。

由于实测数据仅在离散位置可用，不足以对所有结构节点进行直接的实验全场验证。因此，本节使用校准后的有限元结果作为数值参考标签，评估代理模型的场重构能力。需要注意的是，这种基于有限元的参考验证评估的是TB-PSE复现非线性有限元响应场的能力，而非对真实世界物理精度的完整证明。如表3所示，目标火箭发动机框架结构在有限元模型中包含41个组件，预测误差计算涉及402,143个节点。对于每个组件，构建具有不同输出维度的代理模型，使用相同的输入数据（实际测量位置的应力值）并行预测应力场。使用热图和三维可视化展示不同代理模型的预测误差。图7展示了六种竞争方法的分组件MRE分布和全场误差可视化：所提出的TB-PSE、U-Net CNN、基于迁移的DNN、RBF网络、贝叶斯MLP和贝叶斯Transformer。

**表3. 数据集信息。**

| 训练步 | 测试步 | 组件数 | 整个结构节点数 | 选定监测信号数 |
|--------|--------|--------|----------------|----------------|
| 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 | 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24 | 41 | 402,143 | 4 |

图5比较了总体MRE，图6展示了各加载步的误差，图7呈现了分组件和全场误差分布。TB-PSE取得了最低的总体MRE，但在基于有限元的参考验证中，其相对于贝叶斯MLP和贝叶斯Transformer的优势较为温和。因此，TB-PSE的主要优势不仅在于点精度，还在于其能够为后续的基于测量的验证和校准分析提供不确定性估计。

图5. 基于有限元数据的所有组件和步数的整体预测MRE。

图6. 各加载步的预测MRE。

图7. 不同代理模型的分组件和全场MRE。对于每种方法，左侧热图展示跨结构组件和加载步的MRE，右侧三维可视化展示全场预测误差。

确定性基线方法显示出比TB-PSE更大的局部误差，特别是在几何复杂区域和关键载荷传递区域。

其中，RBF网络表现出最广泛的高误差区域，而U-Net CNN和基于迁移的DNN则表现出中等性能。表4比较了所有测试模型的推理时间。所有方法均满足静态测试监控的近实时要求。TB-PSE每次预测需要1.408毫秒，高于确定性基线，但仍足以满足在线使用，同时除了平均应力场之外还提供了不确定性估计。

表4. 推理时间比较

| 模型 | 平均时间(ms) | 标准差(ms) | 最小值(ms) | 最大值(ms) |
|------|-------------|-----------|-----------|-----------|
| 基于迁移的DNN | 0.345 | 0.049 | 0.322 | 0.559 |
| RBF网络 | 0.365 | 0.082 | 0.328 | 0.787 |
| UNet-CNN | 0.651 | 0.015 | 0.641 | 0.722 |
| Bayes MLP | 1.060 | 0.466 | 0.756 | 2.012 |
| Bayes Transformer | 1.560 | 0.497 | 0.987 | 2.029 |
| 本文方法 | 1.408 | 0.056 | 1.372 | 1.741 |

**5.2. 基于实际测量数据的节点预测评估**

为了补充5.1节中基于有限元的全场评估，本研究使用分布在火箭发动机框架结构上的应变计测量数据进行了实验性逐点验证。该验证评估了预测的应力响应是否与独立测量点位的真实静态测试测量值一致，这些测量点未作为模型输入使用。虽然可用的实验数据无法提供所有结构节点上的全场应力标签，但可以在监测点位对真实结构响应进行直接验证。

对于基于测量的验证，44个选定传感器位置的有限元输入通道被替换为由应变计记录转换而来的测量应力值。这44个位置被用作模型输入，而其余监测位置则保留用于独立逐点验证。这种混合构建方式保留了校准有限元模型的空间覆盖率，同时在传感器输入位置引入了真实测试信息。

TB-PSE模型使用包含44个选定位置实际测量数据的混合数据集重新训练。训练过程使用了与原始基于有限元模型相同的架构和超参数，双分支结构预测整个结构域的平均应力值及其相关不确定性。训练完成后，模型为所有测试加载步骤生成了全场应力预测，覆盖了44个训练测量位置和所有剩余节点位置。原始应变测量值根据采用的本构关系、材料参数和应变计方向转换为传感器位置的应力分量。这些转换后的量用于与相应监测位置的预测应力进行逐点对比。

为了解决预测值和测量值之间的系统性比例和偏差，在评估之前进行了仿射步进校准。校准使用前五个加载步骤的数据，此时结构响应处于相对低载荷和近线性状态，应变计测量受高载荷非线性变形和局部应力重分布的影响较小。该子集为估计仿射比例和偏差参数提供了稳定的基础，同时将后续的高载荷阶段保留用于独立评估。仿射模型为：

(10) $\hat{y}_{calib} = |a \cdot \hat{y}_{pred} + b|$

其中 $a$ 和 $b$ 通过在标定子集上使用加权最小二乘法估计。拟合参数随后应用于所有加载步骤。这种方法的合理性在于，早期步骤为拟合提供了稳定的低噪声子集，且校准仅在前几个步骤上执行，因此剩余报告步骤（包括步骤12-24）作为评估集，避免了数据泄漏。

为证明选择五个标定步骤的合理性，进行了灵敏度分析，分别使用前3、4、5和6个加载步骤进行标定。所有设置遵循相同的协议：对于给定的标定长度，每个模型都在相同的早期步骤子集上使用各自的仿射参数进行标定，并在相同独立高载荷步骤的相同22个测量点进行评估。表5中显示的微小变化表明，结果对确切的早期标定步骤数量不敏感。

表5. 预测精度对仿射标定步骤数的灵敏度

| 标定步骤数 | 本文方法平均MRE | UNet-CNN平均MRE | Transfer-DNN平均MRE | RBF平均MRE |
|-----------|---------------|----------------|-------------------|-----------|
| 3 | 0.0621 | 0.0611 | 0.0689 | 0.0680 |
| 4 | 0.0605 | 0.0641 | 0.0699 | 0.0713 |
| 5 | 0.0599 | 0.0640 | 0.0688 | 0.0708 |
| 6 | 0.0628 | 0.0626 | 0.0651 | 0.0700 |

不同模型的最佳标定长度并不一致。五个步骤使TB-PSE的MRE最小化，而三个步骤对UNet-CNN最佳。五个步骤被采用为所有模型的统一配置，因为它们在提供足够的标定样本的同时保留了加载步骤14-24用于独立评估，表6中的所有结果均使用此设置。在每个模型各自最佳设置下，数值分别为0.0599（TB-PSE，五步）、0.0611（UNet-CNN，三步）、0.0651（Transfer-DNN，六步）和0.0680（RBF，三步）。

表6. 基于实际测量数据的预测MRE及测量点误差标准差

| 步骤 | 本文方法 | Bayes MLP | Bayes Transformer | UNet-CNN | Transfer-DNN | RBF |
|------|---------|----------|-----------------|---------|-------------|-----|
| 12 | 0.077 | 0.089 | 0.129 | 0.074 | 0.091 | 0.104 |
| 14 | 0.073 | 0.091 | 0.141 | 0.074 | 0.088 | 0.087 |
| 16 | 0.061 | 0.090 | 0.143 | 0.060 | 0.060 | 0.063 |
| 18 | 0.059 | 0.095 | 0.150 | 0.059 | 0.060 | 0.064 |
| 20 | 0.058 | 0.098 | 0.154 | 0.062 | 0.063 | 0.067 |
| 22 | 0.055 | 0.100 | 0.157 | 0.062 | 0.068 | 0.071 |
| 24 | 0.053 | 0.102 | 0.159 | 0.067 | 0.073 | 0.074 |
| 平均MRE | 0.062 | 0.095 | 0.148 | 0.065 | 0.072 | 0.076 |
| 标准差(测量点) | 0.063 | 0.077 | 0.073 | 0.068 | 0.068 | 0.070 |

表6中总结的统计指标比较了测量验证点的预测精度。除了逐步MRE和平均MRE之外，还报告了测量点误差的标准差，以评估监测位置之间预测误差的离散程度。

表6中的逐步结果表明，该优势在整个加载历史中并不均匀。在较早的评估步骤中，TB-PSE和UNet-CNN基本等价，平均MRE值分别为6.75%和6.68%，且UNet-CNN在步骤12和16略微更低。两种方法在高载荷步骤中开始分化：在步骤20-24中，TB-PSE的平均MRE为5.53%，而UNet-CNN为6.37%；在最后一步，前者为5.3%，后者为6.7%。两者的趋势方向也不同，因为TB-PSE的误差随载荷水平单调递减，而UNet-CNN的误差在步骤18之后停止改善并再次上升趋向最大载荷，而最大载荷恰恰是与结构鉴定最为相关的状态。

为进一步验证每个未作为模型输入的测量位置的预测性能，图8展示了散点图。x轴表示预测值，y轴表示相应的实际测量值；对角蓝色线对应理想预测（$y=x$）。从视觉上看，点估计分布相当，表明所有模型都能捕捉主要应力趋势。然而，所提出的概率估计器具有提供置信区间（表示为 $\mu \pm \sigma$ 的水平误差条）的优势。这提供了一种定量衡量预测不确定性的方法，而定性UNet-CNN、基于迁移的DNN和RBF模型则不具备这一能力。

图8. 预测应力值与实测应力值的散点图比较

在三个概率模型中，仿射校准后，TB-PSE在基于测量的测试步骤上实现了最低的MRE，如表6所述。Bayes Transformer与测量值的偏差最大，而Bayes MLP表现居中。图8的散点图进一步说明了独立测量位置的预测-测量一致性。三个概率模型都能捕捉主要应力趋势，但其不确定性区间模式存在差异。

对于TB-PSE，预测区间在低应力范围内通常较窄，在高应力水平处适度变宽。这种行为反映了概率估计器的异方差特性，即预测方差被允许随输入载荷条件和响应水平而变化。在本静态测试案例中，较高应力值通常出现在较高加载阶段或关键载荷传递区域，此时几何非线性、材料非线性、有限元与测试之间的差异以及从传感器到全场的推断可能更为显著。因此，高应力水平处区间宽度的增加在物理上是合理的，为关键应力区域提供了更保守的不确定性表示。相比之下，Bayes MLP和Bayes Transformer的区间宽度对预测应力水平的依赖关系不够明确。

TB-PSE、Bayesian MLP和Bayesian Transformer使用相同的数据划分、预处理流程、校准协议、优化器、学习率调度策略和评估指标进行训练。Bayesian Transformer还针对收敛不佳的组件通过调整学习率、批量大小、权重衰减和蒙特卡洛采样进行了额外调优。因此，其较高的误差更可能与在实测数据分部分训练场景下的收敛困难和数据效率低下有关，而非有意设定的较弱基线。

**6. 讨论**

**6.1. 噪声扰动下的鲁棒性评估**

为评估TB-PSE框架在真实测量条件下的实际适用性，我们系统地研究了模型对输入噪声污染的鲁棒性。在传感器输入上叠加了零均值高斯噪声，其标准差设置为满量程测量范围的1%-5%百分比，代表工业测试环境中遇到的典型信噪比。

如表7和图9所示，TB-PSE在1%噪声水平下实现了最低的MRE，并在2%-5%噪声水平下与确定性基于迁移的DNN接近。TB-PSE的MRE随噪声强度增加而增大，表明输入噪声会降低平均应力预测。与确定性基线相比，TB-PSE额外提供了预测不确定性信息，用于后续的覆盖率分析。所实现的Bayes Transformer基线在当前噪声扰动设置下表现出最高的MRE（见图10）。

表7. 不同噪声水平下模型的MRE比较

| 噪声水平(%) | 本文方法 | Bayes Transformer | Bayes MLP | UNet-CNN | Transfer-DNN | RBF |
|-----------|---------|-----------------|----------|---------|-------------|-----|
| 1 | 0.0213 | 0.2610 | 0.0680 | 0.0308 | 0.0240 | 0.1033 |
| 2 | 0.0298 | 0.2610 | 0.0734 | 0.0387 | 0.0292 | 0.1056 |
| 3 | 0.0388 | 0.2623 | 0.0807 | 0.0476 | 0.0358 | 0.1096 |
| 4 | 0.0481 | 0.2643 | 0.0874 | 0.0569 | 0.0417 | 0.1141 |
| 5 | 0.0571 | 0.2664 | 0.0959 | 0.0659 | 0.0483 | 0.1186 |

图9. 不同噪声水平下本文方法的预测结果

图10. 不同噪声水平下本文方法在全节点和测试节点上的覆盖率

概率TB-PSE框架的关键优势在于其自适应不确定性量化能力。为评估所提出方法在噪声条件下的校准可靠性，我们使用相对于参考全场值的相对半宽分别为10%、15%、20%和25%的预测区间进行了全面的覆盖率分析。覆盖率表示参考值落入预测置信区间的比例，为不确定性估计的校准质量和概率预测的实际可靠性提供了重要洞察。

随着噪声增加，平均预测误差增大，表明点预测精度下降。部分测试节点覆盖率的提高主要源于扰动下预测区间变宽，这使模型更加保守但并不意味着更准确。

**6.2. 稀疏训练条件分析**

为评估TB-PSE框架的计算效率和可扩展性，我们系统地研究了模型在稀疏训练配置下的性能。训练数据稀疏度设置为4级和6级，如表8所示，代表了由于成本、可及性或时间限制而可能导致全面数据有限的现实场景。在普通训练中使用全部12个加载步骤；sparse-4将其减少到7个步骤，sparse-6则仅保留3个步骤。

表8. 稀疏训练配置

| 稀疏等级 | 训练步骤 |
|---------|---------|
| 普通 | 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 |
| 4 | 1,5,9,11,15,19,23 |
| 6 | 1,11,19 |

表9、图11和图12中展示的实验结果表明，TB-PSE的预测性能和不确定性校准在很大程度上取决于可用的加载步骤信息量。结果显示，数据稀疏度与预测准确性之间存在非线性关系。对于所提出的TB-PSE，从普通训练过渡到sparse-4训练会带来MRE的适度改善，表明适度的时间下采样有时可以在不牺牲精度的情况下对模型进行正则化。相比之下，进展到sparse-6条件导致精度大幅降低，MRE显著增加。这表明在sparse-4水平附近存在数据充分性的临界阈值，超过该阈值后，由于训练信息不足，认知不确定性将占据主导地位。

表9. 不同稀疏等级下模型的MRE比较

| 稀疏等级 | 本文方法 | Bayes Transformer | Bayes MLP | UNet-CNN | Transfer-DNN | RBF |
|---------|---------|-----------------|----------|---------|-------------|-----|
| 普通 | 0.0199 | 0.0232 | 0.0224 | 0.0296 | 0.0277 | 0.0606 |
| 4 | 0.0179 | 0.0599 | 0.0601 | 0.0233 | 0.0332 | 0.0688 |
| 6 | 0.0568 | 0.0869 | 0.0872 | 0.0635 | 0.0625 | 0.0979 |

图11. 稀疏训练数据下本文方法的预测误差

图12. 测试节点上的覆盖率条件

稀疏训练结果表明，在训练加载步骤数减少时，TB-PSE仍保持了有竞争力的点预测精度。如表9所述，TB-PSE在普通、sparse-4和sparse-6设置下均实现了最低的MRE。然而，在最严格的sparse-6条件下，TB-PSE、UNet-CNN和基于迁移的DNN之间的差异变得有限。这表明，当所选的稀疏加载步骤仍能代表结构响应时，确定性CNN/DNN模型也能实现可比的点估计精度。因此，仅凭点预测精度不足以评估严重数据匮乏条件下的模型可靠性。

TB-PSE的附加价值在于其概率应力估计。除了预测平均应力场之外，TB-PSE还提供了标准差场，可以检查数据匮乏条件下的不确定性校准行为。如图12所示，sparse-6训练在多个分量中产生了较低的标准差估计，尽管预测误差增加了。预测误差增大而不确定性区间变窄之间的这种不匹配，表明在严重时间数据稀疏条件下存在方差低估现象。在sparse-6情况下，不确定性分支未能完全捕捉因加载步骤信息不足而引入的认知不确定性。

稀疏训练通常会降低不确定性校准质量。在sparse-6情况下，预测误差增加而平均预测标准差减小，表明由于加载步骤信息不足导致了过度自信。

因此，sparse-6 应被视为不适合独立决策支持的方案，部署时应包含数据充分性检查、可靠性标志、保守的区间扩大或回退至基于有限元的评估。**7. 结论**本文提出了双分支概率应力估计器（TB-PSE），用于静力试验数字孪生中的全场概率应力估计。该双分支架构能够根据稀疏传感器输入同时预测节点平均应力和逐节点不确定性，从而实现对航空航天结构的全场应力场不确定性感知评估。在基于有限元参考的验证中，TB-PSE 使用 44 个传感器位置的输入，在 402,143 个预测节点上取得了 1.99% 的平均相对误差（MRE）。在仿射校准后的基于测量的验证中，它在独立监测位置取得了 6.2% 的平均 MRE，并为不确定性感知评估提供了预测区间。这些结果支持将其用作静力试验数字孪生的概率性传感器-全场更新模块，而全场物理验证仍受限于实验测量的稀疏性。仍存在若干局限性。当前的 TB-PSE 模型具有网格特异性，因为每个组件级输出分支都在固定的有限元离散化上预测节点应力。微小的网格密度变化可以通过应力场插值或有限的迁移学习来处理，但几何形状、拓扑结构、载荷路径或传感器布局的变化则需要重新进行有限元仿真并重新训练相应的组件模型。除了本文验证的静力试验场景之外，所提出的框架在本质上并不局限于静态载荷，未来可以扩展至动态条件。TB-PSE 的核心元素是将稀疏测量输入映射到具有逐节点不确定性的全场响应，这一元素仍然适用——前提是将静态逐步应力场替换为由瞬态动力学有限元分析获得的时间历程或频域响应，并将应变片输入补充为动态感知手段，如加速度计和动态应变测量。因此，未来工作将探索与网格无关或基于图形的架构、异构感知融合，以及在动态载荷和疲劳条件下的更广泛验证，并获得动态有限元仿真和实验振动或疲劳试验数据的支持。**CRediT 作者贡献声明**刘裕朗：撰写——初稿，方法论。陈锦龙：撰写——审阅与编辑，监督，方法论。Enrico Zio：验证。刘裕朗|陈锦龙|Enrico Zio