柔性基底 - 柔性设备（FSFE）隔振系统的多共振峰分布与宽带频带分区

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Multi-resonance peak distribution and broadband frequency zoning of flexible substrate-flexible equipment (FSFE) vibration isolation systems

　　

摘要
针对柔性基体-柔性设备（FSFE）隔振系统中复杂的宽带多共振峰分布问题，由于该问题无法被经典刚体隔振理论有效描述，本研究探讨了FSFE系统的多共振峰分布特性与宽带频率分区行为。基于四端参数法，建立了一种单点安装的FSFE解析模型，并定义了以基体总动能为基础的评价宽带隔振性能的隔振效率比。在此基础上，揭示了每个模态区间呈现交替的三区模式，即第一隔振工作区（VIOZ I）、共振放大区（RAZ）和第二隔振工作区（VIOZ II），从而在宽频范围内形成周期演化的分区结构。从阻抗相位关系角度进一步阐明了VIOZ I的形成机制，表明其源于子结构刚度和隔振器刚度的同相叠加。随后，通过宽带能量积分等定量指标分析了隔振器刚度和阻尼的影响。最后，进行了自由-自由双梁悬置激励实验，以检验理论预测的多共振峰分布特性和频率分区行为。结果可为柔性耦合隔振系统的宽带分析和参数设计提供参考。

引言
随着工程结构大型化、轻量化的趋势持续加剧，机械振动传递问题在复杂系统中日益突出，如航天器[1]、水下运载器[2]、浮筏系统[3]以及工业设备连接[4],[5]。在这些场景中，振动源（设备）和支撑结构（基体）通常都表现出明显的柔性特征。因此，系统已经从传统的刚性基体-刚性设备耦合模型或单侧柔性模型演变为柔性基体-柔性设备（FSFE）耦合系统，如图1所示。建立在刚体假设基础上的经典隔振理论预测，当激励频率超过某一阈值（即2倍固有频率）时，系统将进入隔振区，并在高频范围内以40 dB/十倍频的速率平滑衰减[6],[7]。这一假设依赖于结构特征尺寸远小于外界激发的弹性波长这一前提，因此局部元件可以简化为无分布质量的理想集总元件。然而，结构柔性的引入改变了这一局面。Yan等[8]指出，当构件的特征尺寸与激波长相当时，构件内部的分布质量和分布刚度不可忽略。这导致了结构边界内的波传播和反射，进而引发密集的驻波共振。因此，FSFE系统在宽频范围内表现出连续分布的多共振峰[1]，导致某些频段内力传递率显著放大[9]。大量工程实践表明，将经典隔振理论应用于宽带隔振设计可能会导致不可忽略的误差，在某些情况下甚至隔振性能不理想[10]。

为了研究这种耦合机制，研究人员开发了各种理论建模方法来考虑基体和设备的柔性。关于基体柔性，早期的振动理论通常将基体理想化为具有集总刚度和质量的等效单自由度系统[11]，而Snowdon等[12]则将基体视为柔性有限梁，尽管精度受到所用近似的限制。基于Yang[13]提出的复杂分布参数系统精确解法，Sciulli等[14]将基体建模为简支Euler-Bernoulli梁。Pinnington和White[15]将柔性支撑建模为共振梁，并分析了通过隔振器的功率传递。此外，文献中还将柔性基体建模为固支梁[16]、简支梁[17]、四边简支矩形板[18],[19]、浮筏[20]、其他边界条件下的柔性板[21],[22]以及圆柱壳[23],[24],[25]。关于设备柔性，Wang和Mak[26]使用双梁柔性模型研究了非刚性设备与非刚性基础之间的隔振。Gardonio等[27]将设备建模为简支板，并讨论了通过多个隔振器传递到基体的功率流。相反，Sciulli等[28]将设备建模为自由Euler-Bernoulli梁。

现有研究从不同角度揭示了上述柔性耦合效应对隔振性能的影响。当基体和设备的柔性不可忽略时，系统的振动传递特性呈现出与经典理论预测不同的一系列变化。例如，Kim和Singh[10]表明，隔振器和接收结构中的分布参数效应可能引入额外的共振并显著改变整体振动传递特性。Song等[29]进一步表明，浮筏基础的柔性共振效应增加了结构振动和噪声辐射。Xiong等[30]为复杂耦合系统开发了一种基于渐进移动度/阻抗的功率流框架。Wang等[31]强调了基础对隔振器机械阻抗的影响，表明需要考虑源、基础和隔振器参数之间的相互作用。Sciulli等[28]发现，柔性耦合会导致系统固有频率的显著偏移：对于低频安装，一阶模态偏移达到15.6%；而对于中频安装，前三阶模态偏移分别为34.9%、26.6%和11.3%。在其后续工作中，Sciulli等[32]进一步指出，低刚度设计有利于高频范围内的更快衰减，而中等刚度设计可以通过模态耦合抑制多阶共振，这表明FSFE系统的隔振性能涉及取决于刚度水平的明确权衡。此外，Li等[33]在某些频段内观察到从基础到设备的反向功率流。总体而言，尽管先前的研究已经认识到FSFE系统中宽带多重共振峰的存在，并从不同角度研究了结构柔性和隔振器参数对系统响应的影响，但大多数现有工作侧重于描述现象或优化参数。对于在宽频范围内共振放大区和有效隔振区交替分布的系统性理解及其潜在物理机制，仍然缺乏。

为了弥补这一空白，本研究旨在揭示FSFE系统中宽带多重共振峰和有效隔振频段的分布特性和物理机制。仅考虑线性弹性振动。假设设备和基体通过单点安装的隔振器耦合，并且仅考虑沿主轴的平动振动传递。隔振器用弹簧-阻尼元件表示。使用四端参数法建立系统的解析模型，并采用隔振配置下与刚性连接配置下基体总动能的比值作为评估隔振性能的整体准则。在此基础上，研究了隔振器刚度和阻尼对特征频率、频率分区分布和宽带隔振性能的影响，并采用一组定量宽带隔振指标进行对比评估。最后，在不同边界条件下的理论分析和自由-自由双梁悬置激励实验进行了验证，以证实预测的多共振峰分布和频率分区行为。

本研究的核心创新点和科学贡献如下。与主要关注柔性耦合引发的多共振现象以及隔振器参数对系统响应的影响的先前研究不同，本研究建立了FSFE系统的宽带频率分区框架。通过将共振峰及其相邻的有效隔振频段视为相互关联的整体，该框架揭示了随着模态阶数增加，第一隔振工作区（VIOZ I）、共振放大区（RAZ）和第二隔振工作区（VIOZ II）周期性重复出现的序列。此外，建立了分区边界与系统特征频率之间的显式关系，包括子结构模态频率、弹性耦合FSFE系统的模态频率、刚性连接系统的模态频率以及临界隔振频率。另外，从子结构和隔振器之间的阻抗相位关系角度阐明了经典刚体隔振理论未能捕获的VIOZ I的形成机制。因此，本研究将FSFE系统宽带多共振响应的研究推进到对共振放大和有效隔振区交替分布的统一表征以及对潜在机制的物理阐释。

本文的其余部分组织如下。第2节定义隔振性能准则并建立FSFE隔振系统的解析模型。第3节分析系统的多共振峰分布模式和宽带频率分区特性。第4节基于宽带隔振性能的定量指标研究各系统参数的影响。第5节展示实验研究和验证结果。第6节对全文进行总结。

振动隔振模型比较
振动隔振理论模型的发展反映了工程师对动态耦合机制理解的逐步深化。最基本的模型是单自由度（SDOF）模型，如图2(a)所示，该模型将设备简化为集总质量并假设基体为无限刚性。引入隔振器的目的是减少传递到基体的力。刚性基体-刚性设备（RSRE）模型，如图2所示。

模态频率特性
为了具体说明第2节中建立的广义理论框架，以下分析以一个具体的代表性案例：设备和基体均被建模为两端简支的Euler-Bernoulli梁的FSFE耦合系统。应该注意的是，虽然广义公式采用3D空间矢量r以适应任意连续体结构，但空间坐标在数学上退化为一维。

定量评估指标定义
第3节采用基体动能幅度TS,iso（下文记为Ts）和隔振效率比LT,FSFE（下文记为LT）来表征FSFE系统的频域响应和隔振性能。这些频率相关量直接表示了多个共振峰、有效隔振频段及其分区边界。然而，连续的频率响应曲线并不便于直接。

实验验证
为了检验前述章节中提出的FSFE系统的多共振峰分布特性和宽带频率分区行为，建立了一套自由-自由边界条件下的双梁耦合测试台，并进行了宽带扫频激励测试。

结论
本文重点研究了柔性基体-柔性设备（FSFE）隔振系统的多共振峰分布和宽带频域分区。建立了解析模型，揭示了相应的物理机制，并通过参数分析和实验检验了结果。主要结论如下：
(1)与将频域划分为单个共振区的经典刚体隔振理论不同

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赵嘉宏：写作—审阅与编辑，写作—初稿，软件，方法学，调查，正式分析，数据整理，概念化。孙菲菲：写作—审阅与编辑，资金获取，概念化。尹文翰：写作—审阅与编辑，方法学，概念化。董飞：写作—审阅与编辑，方法学。

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