一种用于细长结构大变形形状感知的单侧逆绝对节点坐标公式

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：A single-sided inverse absolute nodal coordinate formulation for large-deformation shape sensing of slender structures

　　

摘要

形状感知通过离散的应变测量重构结构位移场，对柔性细长结构的监测具有重要意义。在大变形工况下，现有的基于反向应变的方法通常需要连续测量和预设传感器位置，当仅能访问单侧表面或安装条件受限时，其应用受到限制。本文提出了一种面向细长结构的单侧应变至形状重构框架，称为SS-iANCF，基于反向绝对节点坐标运动学。单侧表面应变被转化为曲率信息，并嵌入非线性最小二乘反演问题中。引入不可伸长惩罚项和单元间曲率连续性约束，在缺少对侧应变数据的情况下稳定重构过程。同时考察了单元内采样位置对精度和Hessian条件数的影响。基于弱FBG/OFDR传感系统的数值模拟和实验验证表明，SS-iANCF能够实现对单向大变形和反向弯曲构型的高保真重构。在所有实验案例中，平均绝对重构误差保持在5 mm以下，在存在曲率反转的反向弯曲工况下最大平均归一化位移误差为1.22×10^?2。

引言

细长结构构件，如柔性梁、管道、机械臂和可展开航天结构，广泛应用于在服役期间可能发生大偏转和有限旋转的工程系统中。准确重构这些变形构型对于结构健康监测、变形评估以及过度弯曲的早期预警至关重要[1]。在现有的结构健康监测（SHM）方法中，从离散测量的表面应变中重构位移场的算法——通常称为形状感知方法——近年来取得了显著成功[2]、[3]、[4]。

在涉及形状感知的结构健康监测应用中，表面应变通常通过应变片、应变花、光纤布拉格光栅（FBG）或分布式光纤传感器等仪器进行量化[5]。随后通过应用形状重构算法实现结构变形场的重建。常用于梁型和细长结构面内变形重构的基于应变的方法包括共轭梁法[6]、[7]、基于曲率的几何重构方法[8]、[9]以及反向有限元法（iFEM）[10]、[11]。共轭梁法通过将原始梁问题转化为等效的共轭梁问题来估计变形[7]。然而，当载荷分布、边界条件或耦合载荷形式难以表征时，其适用性可能受到限制[12]。Ko等人建立了离散应变测量与中性轴几何之间的直接关系，奠定了Ko位移理论的基础[8]。基于积分的方法容易累积误差；在大变形和有噪声的应变测量条件下，这一局限性尤为突出，局部误差会被放大[13]、[14]。

反向有限元法最初由Tessler等人基于最小二乘变分基础提出，通过最小化解析应变与测量应变之间的差异来重构位移场[10]。对于梁状结构，Gherlone等人建立并实验验证了基于反向梁单元的iFEM框架，用于从测量的表面应变重构三维梁变形[11]。You等人随后开发了iBeam3两节点单元，基于拉伸和弯曲应变度量用于梁状结构的二维变形重构[15]。近期，Roy等人将一维iFEM框架扩展到具有通用截面的实体和薄壁梁的全场变形重构，包括弯曲、剪切和扭转变形模式[16]。然而，这些传统梁iFEM公式主要基于线性化运动学关系。当几何非线性变得显著时，大旋转和轴向与横向变形之间的非线性耦合可能无法被充分表征，从而降低重构精度[17]。

为了解决这一局限性，已发展了面向大变形梁形状感知的几何非线性iFEM公式。一种主要途径是将非线性应变-位移关系直接引入反演公式中。例如，Zhao等人采用Green-Lagrange应变度量结合应变梯度梁运动学和等几何插值，在考虑多个截面应变分量的情况下重构大变形[18]。随后基于Euler-Bernoulli和Timoshenko梁理论的公式进一步将非线性iFEM扩展到梁的大偏转重构和弯曲-剪切耦合变形[19]、[20]。另一种途径采用构型更新或共旋策略。例如，Jiang等人提出了一种类比刚度升级方法，通过共旋坐标变换迭代更新结构构型，以重构几何非线性变形[21]。

尽管取得了这些进展，一般的非线性梁iFEM公式通常需要足够丰富的应变信息来区分轴向、弯曲和剪切变形分量。相比之下，反向绝对节点坐标公式（iANCF）采用全局节点位置和空间梯度作为主要未知量，能够直接通过当前几何构型表示大平移和大旋转，而无需增量构型更新或显式的旋转坐标变换。Wu等人为平面和三维梁形状感知开发了该公式[22]、[23]。然而，现有的平面iANCF公式依赖于梁两侧的应变测量来获取重构所需的弯曲信息，并假设应变测量位于每个反向单元的中点。当仅能访问结构单侧表面或传感器无法安装在预设的单元中点时，这些要求限制了其适用性。

为增强iANCF基于形状感知在受限测量条件下的适用性，本文提出了一种单侧反向绝对节点坐标公式，称为SS-iANCF，用于弯曲主导条件下平面细长结构的大变形形状感知。主要贡献如下：首先，所提出的公式仅利用单侧纵向应变测量即可实现大变形重构。通过利用细长弯曲主导梁的近不可伸长特性，在不考虑对侧应变数据的情况下，将不可伸长惩罚项引入非线性最小二乘目标函数中，并结合边界曲率约束来正则化反演问题并提高数值稳定性。其次，应变测量点不再局限于单元中点，而是可以定位在每个单元内的任意预设相对位置。随后分析了测量点布置对Hessian条件数、重构精度和数值鲁棒性的影响，以确定最优布置范围。最后，通过多种载荷工况下的非线性模拟和利用光纤传感的柔性梁实验对所提出的方法进行了验证。结果表明，所提出的方法能够从单侧应变测量中重构出包含曲率反转的单向大弯曲和反向弯曲构型。

章节摘要

绝对节点坐标公式

本研究使用的两节点ANCF平面梁单元的运动学和坐标系如图1所示。在绝对节点坐标公式（ANCF）中，平面梁单元中性轴上任意点的全局位置向量r通过全局形函数矩阵S和单元节点坐标向量e来定义：$$\mathit{r}=\left[\begin{array}{c}{r}_1\\ r_2\end{array}\right]=\mathit{Se}$$

对于梯度亏缺的ANCF平面梁单元，节点坐标向量e由全局位置和梯度组成

数值验证

为验证所提出大变形形状重构框架的保真度和有效性，使用ANSYS 2020软件进行了高保真非线性有限元法（FEM）分析。考虑了一根柔性悬臂梁来建立数值模拟基准，其详细几何构型如图5所示。该悬臂梁总长L = 1000 mm，矩形截面宽10 mm、高0.5 mm。

试验装置与测量系统

为在实际大变形条件下验证所提算法的形状重构精度，搭建了一套悬臂梁试验系统，如图16所示。实验系统包括柔性悬臂梁、分布式光纤传感系统、用于施加位移约束的强磁块以及用于几何标定的毫米级网格纸。实验中使用的悬臂梁试样由65Mn制成

结论

本文提出了一种用于细长结构大变形形状感知的单侧反向绝对节点坐标公式方法，仅使用从结构单侧获取的应变数据。所提出的公式集成了无拉伸惩罚项和单元间曲率连续性约束，以在单侧测量条件下正则化反演问题。数值收敛性分析表明，所提出的方法

CRediT作者贡献声明

Ying Wang：初稿撰写、调查研究、数据整理。Liang Ren：审稿与编辑、资源支持、概念构思。Gang Wang：审稿与编辑、验证、方法论。

利益冲突声明

作者声明，他们没有已知可能影响本文所报告工作的相互竞争的财务利益或个人关系。

致谢

本研究由中国自然科学基金（基金号：52578352）和浙江省重大科技项目（基金号：2026LDC01049）共同资助。

Ying Wang|Liang Ren|Gang Wang