地震频域分解（SFDD）及其在分离模态时频表示中的应用

《Journal of Building Engineering》：Seismic Frequency Domain Decomposition (SFDD) and its applications for disaggregated modal time-frequency representations

　　

• 介绍了并实现了地震频域分解（SFDD）系统辨识方法。
• SFDD方法能够识别出稳定且清晰的动态特性。
• 可以识别地震影响向量、地震归一化振型以及地震荷载参与系数。
• 短时SFDD（STSFDD）能够获得时变动态特性。
• STSFDD允许对未耦合的模态响应获得多输入多输出时频表示。

引言

时频表示是分析信号频率内容随时间演化的有用工具。经典方法包括谱图或短时傅里叶变换（STFT）[1]、小波变换[2]，或者维格纳-维尔分布（WVD）[3]，后者是科恩类表示的一个主要成员[1]。这些技术为非平稳信号提供了有价值的描述，但其核函数必然以时间或频率展宽为代价来减少干扰。因此，单信号的时频表示无法完全解决多成分信号带来的挑战，特别是在模态频率间隔较近的多个自由度（MDOF）结构中。

数字滤波可以帮助分离模态分量并减少干扰[4]，但它主要在不同分量的时间和频率上充分分离时才有效。在实际中，滤波会扰动信号，且理想的带通滤波器无法实现。希尔伯特-黄变换（HHT）[5]是处理非线性和非平稳信号的另一种替代方法，它通过经验模态分解（EMD）将响应分解为本征模态函数（IMF），并使用希尔伯特变换估计瞬时频率。然而，EMD在分离间隔较近的成分方面也有限制，特别是当它们混合在同一个IMF中时[6]。这些局限性在结构动力学中尤为相关，因为几个模态可以同时贡献于测得的响应。

在经受地震的监测结构中，记录的信号通常对应于加速度计测量的绝对加速度迹线。这些绝对加速度结合了地震输入和相对结构响应。地震输入高度非平稳，取决于震源机制、震级、震中距、波的传播、场地效应、土-结构相互作用以及其他不直接与结构动态特性相关的因素。结构随后会过滤这种输入，在其固有频率处放大响应，产生与系统相对运动相关的模态分量。因此，单输出加速度迹线的时频表示无法可靠地追踪时变固有频率，因为观测到的能量分布受到地震输入、模态干扰和交叉项的影响。当结构承受多个地震输入且多个三维结构模态具有较近的间隔频率时，这种困难会加剧。

为了部分克服这些局限性，Hernandez等人[7]、[8]、[9]使用了短时传递函数（STTF），这是一种单输入单输出（SISO）时频表示，使用短滑动窗口比较一个输入和一个输出。STTF部分消除了地震输入的影响，并允许追踪经受地震地面运动的MDOF结构中的时变固有频率。然而，STTF主要仅在模态频率充分分离且所选输入能妥善代表与所分析输出相关的激励时才有效。此外，由于其SISO性质，STTF并不能直接提供阻尼比、振型、地震影响向量，也无法分离多个地震输入的影响。

在地震期间动态特性的估计通常使用多输入多输出（MIMO）系统辨识技术来处理。MIMO方法之所以有用，是因为它们考虑了多个地震输入和测得的输出，并能够通过不同的空间变形模式区分间隔较近的模态。已有几种MIMO技术被应用于线性系统，包括子空间辨识方法，如DSI（确定性-随机子空间辨识）方法[10]、[11]、[12]、参数化ARX/ARMAX模型[13]、[14]、基于实现的方法[15]、[16]、[17]、[18]、时域和频域中的最小二乘输出误差方法[19]、[20]、[21]，以及基于FRF（频响函数）的技术[22]。然而，当结构表现出非弹性行为时，它们的精度可能受到影响，因为非线性响应可能会产生虚假或重复的模态、不稳定的模态追踪以及阻尼估计中的较大不确定性。

对于非线性或时变结构，MIMO辨识技术通常被应用于顺序短时窗口。例如，短时DSI（STDSI）[9]、[23]和递归数据驱动子空间辨识（RSI-DATA）[24]使用滑动窗口估计时变特性，而Loh等人[25]采用了带有自适应卡尔曼滤波器的递归最小二乘算法。带有遗忘因子的AR、ARX、ARMA和ARMAX模型的递归最小二乘估计器[26]也被用于追踪地震期间建筑物的固有频率；作为单输出黑箱模型，它们意味着不能提供振型或分解每个地震输入的贡献。此外，这些基于窗口或递归的方法可能会产生虚假模态，并且可能需要额外的准则来追踪地震期间的同一物理模态。Hernandez等人[7]、[8]、[9]提出了Mod-ξ(var)方法，后来将其扩展到多个地震输入并应用于JEAM建筑[7]。该方法估计时变动态特性、未测量楼层的响应、经验反应谱以及局部单元响应。然而，它仍然依赖于动态参数的基于窗口的优化，引入了固有的优化不确定性和可能的模态轨迹不连续性。

除了直接系统辨识之外，经过校准的有限元模型（FEM）可以通过将模型预测与记录的地震数据相匹配来估计局部结构响应。校准可以手动进行，也可以使用矩阵更新、基于灵敏度、迭代优化、贝叶斯、蒙特卡洛或机器学习技术[27]、[28]进行。尽管经过校准的FEM能够提供详细的局部响应估计，但由于模型选择、目标函数定义、局部极小值、时变阻尼、土-基础-结构相互作用、非结构构件相互作用以及解的非唯一性等问题，将其应用于真实尺度的非线性结构仍然具有挑战性[28]。因此，FEM校准可能变得复杂，对于具有高度非线性行为的真实结构，可能提供不准确或不可行的结果。

在频域模态辨识中，频域分解（FDD）技术[29]、[30]、[31]、[32]、[33]是一种非参数方法，它将奇异值分解（SVD）应用于从环境振动测试中获得的仅多输出PSD（功率谱密度）矩阵。固有频率通过挑选奇异值的峰值来识别，而振型则与相应的奇异向量相关。类似地，复模态指标函数（CMIF）方法[34]、[35]将SVD应用于从FRF矩阵（通常通过多参考冲击试验（MRIT）估计）获得的正规矩阵。因此，FDD主要是一种仅输出的运行模态分析方法，而CMIF则是一种基于已知控制力的输入-输出频域方法。

尽管FDD和CMIF提供了有用的分解概念，但将它们直接应用于地震响应数据并不直接。经典FDD假设的激励条件与仅输出模态分析兼容，这在地震期间难以实现，因为地震输入是非平稳的、频率相关的，并且在每个支座处可能不同。经典CMIF则依赖于已知的控制输入力，而在地震响应问题中这些力并不可用。因此，需要一种专门针对地震MIMO输入-输出数据制定的频域分解方法，以识别模态特性，同时保持记录的地震输入与结构输出之间的物理关系。

本文制定并实现了一种称为地震频域分解（SFDD）的新型系统辨识技术。该方法将FDD[32]和CMIF[34]的频域概念扩展到地震响应数据中，通过明确考虑记录的地面加速度作为输入、结构加速度作为输出。SFDD依赖于一个MIMO地震频响函数（FRF）矩阵，使用基于Welch的谱估计或多项式ARX模型进行估计。对该矩阵进行代数变换会产生一个等效的CMIF矩阵，其奇异值分解使得能够估计经受单个或多个地震激励的线弹性结构的固有频率、阻尼比和振型。由于SFDD保留了MIMO输入-输出公式，它可以分解多个地震输入的影响，并通过利用测得响应中包含的空间信息来促进间隔较近的模态的识别。

SFDD解决的是与Pioldi等人[36]、[37]、[38]开发的基于响应的频域分解（rFDD）方法不同的辨识问题。rFDD将经典仅输出FDD扩展到地震引起的响应中，通过对测得结构输出的PSD矩阵应用SVD。仅输出FDD假设的近似有效性由识别出激励谱可被视为局部平坦的频率区间以及应用包括滤波、相关性、PSD处理、谱钟重建和迭代阻尼估计的响应处理程序来支持。相比之下，SFDD直接估计地震输入-输出关系，因此不依赖于仅输出的平坦输入近似或rFDD特定的谱重建工作流。

一旦估计了MIMO地震FRF，核心SFDD过程只需要代数变换和等效CMIF矩阵的SVD。这种直接公式化保留了地震输入与结构响应之间的物理关系，此外还使得能够估计地震归一化振型、地震影响向量和按输入或模态分解的表示，而基于响应PSD的rFDD方法无法直接提供这些。相应的权衡是，SFDD需要记录的地震输入、输入和输出通道之间可靠的同步，以及足够精确的FRF估计。因此，其主要处理选择与FRF估计器相关，特别是Welch窗口参数或ARX模型阶数。然而，它们的影响可以通过使用几种窗口配置或模型阶数进行评估以生成稳定图。在本文分析的示例中，基于ARX的实现产生了平滑的奇异值曲线，而产生的SFDD稳定图比相应的DSI图表现出更少的虚假数值模态。

SFDD的另一个贡献是提供了无法直接从传统基于PSD的FDD/rFDD公式化中获得的动态量。特别是，SFDD允许逐个分析每个地震输入，提供地震参与的图形表示。这使得能够直接估计地震归一化振型和地震影响向量。地震归一化振型，定义为振型通过其地震参与系数进行缩放，可用于模态贡献分析，并作为后续方法的输入，如Mod-ξ(var)方法[7]。类似地，地震影响向量可以支持有效模态质量估计、灵敏度分析以及经受多支座地震激励的结构研究。只要明确考虑测量和模型不确定性，它们还可能提供对传感器定向和低频响应的一致性检查。因此，SFDD不仅是一种模态辨识方法，也是一种解释地震输入如何贡献于测得结构响应的工具。

第3节使用JEAM建筑的模拟和记录数据验证了提出的方法。结果展示了SFDD从地震记录中识别模态特性并分解多个地震输入影响的能力。然后，将SFDD扩展到短时数据窗口，产生了第4节中提出的短时SFDD（STSFDD）公式化。通过将SFDD顺序应用于短窗口，STSFDD产生与以下相关联的新型MIMO时频表示：i) 等效CMIF矩阵的奇异值，ii) 当逐个应用每个地震输入时获得的奇异值，以及iii) 分解的模态响应。在此意义上，STSFDD可以理解为STTF[7]、[8]、[9]的MIMO扩展，但具有额外的能力：它可以减少近频率模态的干扰，分解多个地震输入的影响，并获得与个体模态贡献相关联的模态时频表示，即使结构模态表现出相似的固有频率也是如此。

作为应用，第4.1节将STSFDD应用于2010年智利大地震（Mw = 8.8）期间从JEAM建筑获得的地震记录，当时该建筑的动态特性发生了显著变化。结果与Arellano等人[7]使用Mod-ξ(var)方法获得的先前估计进行了比较，从而可以评估所提出的MIMO时频公式化的一致性和优势。总体而言，所提出的SFDD/STSFDD框架为地震系统辨识提供了一种直接、可重复且低噪声的频域公式化，同时能够实现具有物理意义的量的估计，如地震归一化振型和地震影响向量，并构建新的分解模态时频表示。

第3节：地震频域分解（SFDD）

本节在七个步骤中制定并描述了SFDD方法。与任何MIMO系统辨识技术一样，地震数据可以通过应用去趋势化和数字滤波器进行预处理，以消除传感器未妥善记录或对于辨识无关的频率成分。

第1步：估计FRF矩阵

联系No个输出信号（假设为绝对加速度，ü_t）和Ni个输入信号（与地震地面加速度，ü_g相关）的FRF矩阵可以表示如下：

JEAM建筑描述

司法、剑、阿库纳和梅纳（JEAM）建筑（图1）建于1962年，位于圣地亚哥智利大学物理与数学科学学院内。

该行政中高层结构包含地上八层和地下两层，总高度达30.2米。JEAM大楼占地面积为4602平方米，即纵向31米，横向19米。该建筑结构由钢筋混凝土……短时SFDD（STSFDD）和离散化模态时频表示类似于声谱图[1]（或短时傅里叶变换，STFT），SFDD方法可以采用连续短数据窗进行应用。它能够生成与时相关的新型时频表示（短时地震频率域分解，STSFDD）。

a) 等效CMIF矩阵最大奇异值的平方根（V(ω)，如第2节第3步中的公式(4)所述），即之前图9或图4中所示内容。

b) 对每个施加的地震输入所获得的奇异值的平方根

结论

本研究提出并验证了一种新型系统辨识技术，称为地震频率域分解（SFDD）。该方法是针对受单一或多个地震输入作用的结构，用于识别其动态特性的多输入多输出频域框架。SFDD对由实测输入多输入多输出地震频率响应函数导出的等效CMIF矩阵应用奇异值分解（SVD）。与基于响应功率谱密度（PSD）的rFDD不同，该公式保留了地震输入-输出关系，并且不需要……

作者贡献声明（CRediT）

Francisco Hernández：撰写——初稿，可视化，软件，资源，方法，调查，资金获取，形式分析，数据管理，概念化。Francisco Pinto：撰写——初稿，可视化，形式分析，数据管理。Ramiro Bazaez：撰写——初稿，可视化，方法，形式分析，数据管理。Juan Orozco：撰写——初稿，可视化，验证，形式分析，数据管理。Rodrigo Astroza：——

利益冲突声明

作者声明不存在任何已知的竞争性财务利益或个人关系，这些利益或关系可能已影响本文所报告的工作。

致谢

作者感谢智利国家研究与开发局（ANID）通过FONDECYT启动基金（编号11251253）提供的财政支持。

Francisco Hernández | Francisco Pinto | Ramiro Bazaez | Juan Orozco | Rodrigo Astroza