适用于轻质复合结构的多尺度应力驱动相场拓扑优化方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Multiscale stress-driven phase field topology optimization method for lightweight composite structures

　　摘要：在先进工程应用中，基于应力驱动的轻质结构设计起着至关重要的作用。然而，由于准确描述多尺度耦合关系以及在不同长度尺度上进行可靠应力分析的复杂性，这一任务仍然极具挑战性。在这项工作中，我们提出了一种基于相场的多尺度拓扑优化框架，用于复合结构的应力驱动设计。通过分两阶段的策略，获得了不同尺度下的优化材料分布。我们建立了耦合的多尺度能量公式，将微观结构效应通过材料均匀化纳入宏观响应中，并推导出了宏观和微观设计的相应敏感性分析。采用移动渐近线方法（Method of Moving Asymptotes）来解决多尺度优化问题。由于相场公式的改进，所提出的方法支持多功能设计，既能实现自由演化，也能实现目标导向的演化。通过多个二维和三维数值示例，在不同的加载和设计情景下验证了该方法的有效性。

引言：轻质复合结构已成为高性能制造的核心焦点。通过优化结构拓扑和材料分布[1],[2]，轻质设计能够有效提高刚度、强度、韧性和能量吸收[3],[4],[5]，同时降低制造和运营成本。拓扑优化方法在实现这些结构设计中发挥了重要作用，代表性的方法包括SIMP方法[6]、BESO方法[7]、水平集方法[8]、相场方法[9]和迭代卷积-阈值方法[10],[11]。受到骨骼、木材和壳体[12],[13]等自然系统的启发，人们投入了大量精力研究工程多孔材料的设计，其中微观单元细胞的几何形状在决定有效宏观性能方面起着主导作用。然而，传统的单一尺度拓扑优化方法在表征不同长度尺度下的材料行为方面存在固有限制。这促使人们开发了多尺度拓扑优化方法，旨在同时优化宏观和微观材料分布。Chen等人[14]提出了一种扩展的移动等值面阈值方法，用于同时优化宏观和微观结构分布。Luo等人[15]提出了一个针对具有多种不同但相互连接的微观结构的复合结构的多尺度拓扑优化框架。Wu等人[16]开发了一个深度生成的多尺度拓扑优化框架，在优化过程中考虑了制造缺陷和参数不确定性。尽管拓扑优化方法发展迅速，但大多数现有研究仅关注基于刚度的优化方法，其中结构性能通过最小化顺应性来量化[17],[18]。然而，由于应力驱动因素在结构失效和材料屈服中的关键作用[19]，应力驱动的拓扑优化具有重要的实际意义。应力约束结构的设计使得能够明确考虑强度和安全要求。将应力驱动目标纳入拓扑优化是一个关键但技术上具有挑战性的方面。这种困难主要源于应力度量的高度非线性和非局部性质、应力奇点的存在，以及构建平滑和可微应力公式的相关挑战[20],[21]。Yang等人[22]提出了两种应力约束方案，以减轻与广泛局部应力约束和显著非线性应力行为相关的计算困难。Chen等人[23]使用受限自然单元方法进行体积最小化并施加应力约束。Zhang等人[24]应用双向进化结构优化（BESO）方法来控制应力奇点。迄今为止，将应力驱动公式整合到多尺度拓扑优化框架中的工作尚未得到充分探索，将多尺度设计策略与轻质复合结构的应力驱动目标相结合的努力也非常有限。近年来，基于相场模型[25],[26],[27]的拓扑优化方法受到了越来越多的关注。通过使用连续的相场变量来表示材料分布，相场方法能够隐式且准确地描述扩散界面[28],[29],[30]。基于密度的方法中常见的数值问题，如棋盘图案、灰度和网格依赖性，可以通过相场方法得到有效缓解。Yu等人[31]提出了具有不同时间精度和改进数值稳定性的相场拓扑优化算法。Wu等人[32]将相场方法与基于密度的方法相结合，以提高准脆性结构的能量吸收能力。在将基于相场的公式扩展到多尺度拓扑优化方面取得了显著进展。通过系统的相场多尺度拓扑优化方法实现了多孔结构的设计[33]。Xie等人[34]扩展了用于壳层填充多尺度结构设计的耦合拓扑优化过程。Wang等人[35]开发了一个并发的基于相场的优化框架，可以交错地同时优化宏观和微观结构。尽管取得了这些进展，但相场框架内的应力相关问题仍然相对较少被研究。据作者所知，使用相场多尺度拓扑优化方法进行应力驱动的轻质复合结构设计的研究较少。

本文的主要目的是提出一种基于相场的多尺度应力驱动拓扑优化框架，用于复合结构的设计。采用两阶段连续策略，主要目标是利用P-范数方法最小化全局应力。通过评估有效弹性张量，将微观结构与宏观响应耦合起来。构建了多尺度能量函数，并推导出相应的敏感性分析。采用移动渐近线方法（MMA）来同时更新多尺度材料分布。所提出的方法通过对能量函数的改进修改，允许在微观尺度上实现自由演化和目标驱动演化。通过一系列在不同设计条件下的二维和三维数值示例，展示了该方法的有效性和多功能性。该方法将多尺度相场拓扑优化扩展到应力驱动的应用中，并为自由和目标导向的微观结构演化提供了统一的公式。本文的结构如下：第2节介绍多尺度应力驱动拓扑优化框架的定义；第3节和第4节详细阐述了两阶段连续策略的敏感性分析和计算实现；第5节进行了数值测试；第6节提供了结论。

多尺度应力驱动拓扑优化框架：首先，我们在单尺度层面考虑了基于相场的应力驱动结构设计问题。单尺度公式作为一个参考框架，为后续的多尺度拓扑优化提供了基础布局。在单尺度设置中，结构拓扑由宏观设计域Ω上的宏观相场变量Φ∈[0, 1]表示，其中Φ=1表示固体材料，Φ=0表示空隙[36],[37]。结构的机械响应为...

宏观设计变量的敏感性分析：为了进行多尺度应力驱动拓扑优化，评估全局应力度量对潜在的宏观和微观设计变量的敏感性是必要的，这是优化过程中的关键组成部分。首先，我们考虑能量EMS对宏观设计变量Φ的敏感性表达式：
δEMS = δEA1·δΦ + δEA2·δΦ，
其中EA1 = η(∫Ω|σVM(Φ,{?ζ},uA)|p dx) / (1-p)，EA2 = ∫Ω(F(Φ) + εA2|?Φ|2) dx + βA2(V(Φ) - V0)2 + γA2∫Ω(Φ - Ψ)2 dx。

数值实现：所提出的多尺度应力驱动相场拓扑优化框架以两阶段迭代的方式实现。如图1所示，宏观和微观设计域Ω=(0,Lx)×(0,Ly)和ωζ=(0,lx)×(0,ly)分别使用不同分辨率Nx×Ny和nx×ny的均匀网格进行离散化。Φn和?ζn表示第n次迭代步骤中的宏观和微观设计变量近似值。值得注意的是，Ω被划分为Z个子区域{Ωζ}（ζ=1到Z），每个子区域...

数值结果：为了验证所提出的多尺度应力驱动拓扑优化框架的有效性，我们在本节中进行了一系列二维和三维配置的数值实验。针对不同的基准案例，进行了广泛的复合多尺度设计问题的研究。除非另有说明，我们选择E=1, ν=0.3, gmin=0.001, p=10, η=1, βA=βI=6, γA=γI=2, εA=εI=10/42atanh(0.9)。

结论：本研究开发了一种基于相场的多尺度拓扑优化框架，用于轻质复合结构的应力驱动设计。材料均匀化的引入在微观结构之间提供了有效的桥梁。构建了耦合的多尺度能量公式，并系统的推导了相关敏感性分析，以便在宏观和微观尺度上进行基于梯度的优化。在基础方法中应用了移动渐近线方法（MMA）。

作者贡献声明：Wenxuan Xie：撰写——原始草稿、可视化、软件、方法论、调查、概念化。Sijing Lai：撰写——审阅与编辑、软件、概念化。Yue Feng：可视化、方法论。Yibao Li：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理、方法论、概念化。

利益冲突声明：作者声明与本工作没有利益冲突。我们声明没有与提交的工作相关的任何商业或关联利益。

Wenxuan Xie | Sijing Lai | Yue Feng | Yibao Li
西安交通大学数学与统计学院，中国西安，710049