伪可定向带图：矩阵-准树定理与对数凹性

《European Journal of Combinatorics》：Pseudo-orientable ribbon graphs: Matrix–Quasi-tree Theorem and log-concavity

　　摘要
最重要的偶数Δ-拟阵类别之一来源于可定向的带状图，它们在拟阵理论中的作用类似于图形拟阵。受Geelen和Murota发现的强Δ-拟阵与偶数Δ-拟阵之间自然对应的启发，我们描述了与可定向的带状图对应的强Δ-拟阵类别。这些拟阵正是与我们称之为准可定向带状图相关的Δ-拟阵。此外，我们提出了一种几何构造方法，可以将准可定向带状图转换为可定向带状图，从而实现这种对应关系。作为结果，我们得到了矩阵-拟树定理、拟树生成多项式的Hurwitz稳定性，以及计算尺寸为2i?1或2i的准树的序列的对数凹性。为了建立这种对数凹性，我们将Stanley关于正则拟阵的对数凹性定理推广到了正则Δ-拟阵。最后，我们展示了一个无限的非准可定向带状图家族，这些图不满足矩阵-拟树定理和Hurwitz稳定性。

1. 引言
带状图是一种具有额外拓扑数据的图，可以将其视为嵌入在（可能是不可定向的）封闭表面中的图。当表面是一个平面时，带状图就是一个平面图。拟树是一个具有唯一边界分量的生成带状子图的边集；对于一个连通的平面图，拟树正是生成树。可定向带状图处于拓扑图论和线性代数的一个特别易于处理的交叉点：可定向带状图的拟树构成了一个偶数Δ-拟阵，该拟阵允许有一个主要是单模（PU）的斜对称矩阵表示。这揭示了可定向带状图的几个有趣性质，例如矩阵-拟树定理、拟树生成多项式的Hurwitz稳定性，以及拟树上的典型雅可比群作用[2]，[23]。相比之下，一般的带状图G（可能是不可定向的）了解较少，主要是因为相关的（强）Δ-拟阵D(G)可能不允许良好的矩阵表示。我们的主要贡献是定义并研究了一类称为准可定向带状图的带状图子类，它包含了所有的可定向带状图。这个类别具有与可定向带状图类似的几个性质：
- 矩阵-拟树定理成立（定理1.2）。
- 该类别在取矩阵的子矩阵下是封闭的（命题3.9）。
- 拟树生成多项式是Hurwitz稳定的（定理1.3）。
- 从不同大小的拟树数量导出的适当序列是超对数凹的（定理1.4），即使对于可定向带状图也是一个新的结果。

我们引入准可定向性的动机有两个方面。首先，尽管偶数Δ-拟阵是强Δ-拟阵的一个子类，但存在一个自然的双射（推论2.28）：{E上的强Δ-拟阵}→{E∪{e?}上的偶数Δ-拟阵}，其中e?是基中的一个辅助元素，D?D?。据我们所知，这个结果首次出现在[26]中，Murota证明了更一般的说法并将其归功于Geelen。最近，Calvert、Dermenjian、Fink和Smith在[12]中重新发现了这种提升，作者在那里研究了各种类型的Coxeter拟阵；另见[22]。在文献中，Δ-拟阵和偶数Δ-拟阵通常分别被视为类型B和类型D；参见[4]。从[12]的角度来看，类型B的Coxeter拟阵正是强Δ-拟阵。

其次，我们观察到对于可表示的Δ-拟阵，这种提升已经在[13]，[21]中隐式地通过矩阵进行了研究。在矩阵层面，提升可以解释为从矩阵A+vvT过渡到矩阵Av?vT0，其中A是斜对称的，v是一个列向量；更多细节见第2.2.3节。

我们的目标是在带状图层面理解这种提升。注意，任何带状图G都产生一个强Δ-拟阵D(G)（推论2.35），并且D(G)是偶数的当且仅当G是可定向的。为此，我们描述了那些其Δ-拟阵D(G)的提升来自可定向带状图的带状图G。我们的第一个主要结果，定理1.1表明，准可定向性（定义3.1，定义3.6）提供了正确的特征描述。

定理1.1
带状图G允许存在一个可定向的带状图H，使得D(H)与D(G)的提升同构，当且仅当G在[25]中给出的带状图的2-同构概念上是准可定向的。此外，当G是准可定向的时，可以明确构造这样的H。

在定理中构造H时，我们定义了一个几何操作G?在准可定向带状图G上，称为G的调整，使得D(G?)是D(G)的提升。在这个意义上，调整G?实现了强Δ-拟阵的提升。

图1展示了如何将准可定向带状图G调整为相应的可定向G?，以及相关的交织矩阵和Δ-拟阵。
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图1. 一个准可定向带状图G及其调整G?，以及相关的矩阵和Δ-拟阵。G?是通过翻转G的一个顶点的上半圆并添加一个新的可定向环4得到的，该环连接了半圆交点的两个边界点。矩阵A编码了G??4中沿环的交织，而向量v记录了原始G中的不可定向环。相关的Δ-拟阵D和D?分别编码了G和G?的拟树。

每个准可定向带状图G都可以用矩阵A+vvT表示。采用这种方法，我们得到了矩阵-拟树定理。

定理1.2
设G是一个准可定向带状图，Q是一个拟树。存在一个整数PU矩阵M，使得：
- (?)det(M[Q?X]) = 1，如果X是G的一个拟树；
- 否则，det(I+M)等于G的拟树的数量。

对于可定向带状图，矩阵-拟树定理在几项工作中是隐含的，并由Merino、Moffatt和Noble[23]明确陈述；另见其中的参考文献。Deng、Jin和Yan[16]展示了具有恰好一个不可定向环的花束的矩阵-拟树定理。我们的结果推广了他们的两个结果，因为准可定向带状图类别包括了可定向带状图和具有恰好一个不可定向环的花束。此外，我们找到了一个无限的非准可定向带状图家族，它们不满足性质（?）的任何矩阵表示。

已知可定向带状图的拟树生成多项式是Hurwitz稳定的[23]。我们将这个结果推广到了准可定向带状图。对于上述提到的无限非准可定向带状图家族，相应的拟树生成多项式不是Hurwitz稳定的。

定理1.3
一个准可定向带状图G的拟树生成多项式PG?∑Q:quasi-trees∏e∈Qxe是Hurwitz稳定的。

Hurwitz稳定性与对数凹性密切相关。我们展示了对于一个准可定向带状图，计算尺寸为2i?1或2i的拟树序列是对数凹的。即使对于可定向带状图，这也是一个新结果。

定理1.4
设G是一个准可定向带状图，Q?E(G)。设qiQ表示|Q?X|=2i?1或2i的拟树X的数量。那么序列(qiQ)i≥0是对数凹的，并且没有内部零点。特别是，计算尺寸为2i?1或2i的拟树数量的序列(qi?qi0?)i≥0是对数凹的，并且没有内部零点。

为了证明这个定理，我们首先为正则（偶数）Δ-拟阵建立了一个对数凹性结果（定理4.7），该结果推广了Stanley关于正则拟阵的对数凹性定理[27]。证明使用了Hurwitz稳定性，并遵循了[30]中的方法。然后我们将数据从可定向带状图推回到准可定向带状图。很容易看出，对于几乎所有的可定向带状图，计算尺寸为i的拟树序列包含内部零点。因此，在定理1.4中将尺寸为2i?1或2i的拟树数量合并是一个自然的选择。对数凹性并不适用于所有带状图，我们留下了一个问题，即是否所有带状图都满足对数凹性而不是超对数凹性；见第5节。

本文的结构如下。第2节，我们回顾了带状图和Δ-拟阵的基本定义和性质。我们还讨论了强Δ-拟阵D到偶数Δ-拟阵D?的自然提升以及矩阵的类似概念。第3节，我们定义了准可定向性和调整操作。然后我们证明了定理1.1、1.2和命题3.9。第4节，我们证明了关于Hurwitz稳定性和对数凹性的结果（定理1.3、定理1.4）。第5节，我们展示了一个无限的非准可定向带状图家族，这些图不能用满足性质（?）的任何矩阵表示，其拟树生成多项式也不是Hurwitz稳定的。我们还讨论了一般带状图的超对数凹性的失败。

2. 前提
我们将回顾两个预备主题：第2.1节带状图和第2.2节Δ-拟阵。

2.1. 带状图
带状图可以直观地理解为嵌入在封闭（可能是不可定向的）表面中的图的?-增厚，对于足够小的?>0。它们也被称为胖图或嵌入图，并且可以通过有符号旋转系统组合地描述。带状图在研究结理论和图的顶点-子图理论中起着基础性作用；参见[15]，[18]，[24]及其参考文献。

我们使用[14]中的几何定义。
定义2.1
带状图G是一个具有边界（可能是不可定向的）的表面，表示为两组封闭的拓扑圆盘V(G)和边E(G)的并集，满足以下条件：
- 这些顶点和边通过不相交的线段相交；
- 每条这样的线段恰好位于一个顶点和一条边上；
- 每条边恰好包含两条这样的线段，这些线段被称为边的端点。

两个带状图G和H是同构的，如果存在双射ιV:V(G)→V(H)和ιE:E(G)以及同胚v→ιV(v)和e→ιE(e)，对于v∈V(G)和e∈E(G)，这些映射扩展为一个同胚G→H。

约定2.2
在整篇文章中，我们使用“带标签”的带状图。正式地，有限集合E上的带状图是一个带状图G，其中E(G)=E。特别地，顶点被视为未标记的，如果存在一个带状图同构在E上诱导恒等映射，则我们认为两个带状图是相同的。参见命题2.7中的一个例子，其中应用了这一约定。

带状图G的带状子图是一个带状图H，满足V(H)?V(G)和E(H)?E(G)。当顶点集相同时，我们说H是生成的。一个连通带状图G的拟树是一个具有唯一边界分量的生成带状子图。

对于（不一定是连通的）带状图G，拟树被定义为G的连通分量的拟树的并集。我们还将E(G)的一个边子集F称为拟树，如果相应的生成带状子图(V(G),F)是一个拟树。我们用Q(G)表示G的拟树集合，作为E(G)的子集。

定义2.3
花束是一个具有单个顶点的带状图。

我们通常称花束的一条边为环。如果两个环的端点交替出现在花束的唯一顶点v的边界上，则这两个环是交织的。如果表面v∪e是可定向的，则称环e是可定向的；等价地，它同胚于一个环形带。否则，称e是非定向的，在这种情况下v∪e同胚于一个莫比乌斯带。例如，在图2中，给定的花束有两个可定向的环（标记为蓝色），它们不交织，以及一个非定向的环（标记为红色），它与可定向的环交织。

为了方便起见，我们经常将花束与一个有符号弦图等同起来：
定义2.4
有符号弦图是一个圆，其中有一定数量的弦，每条弦被赋值为0或1。

给定一个花束B，取顶点的边界得到一个圆，每条边对应于连接圆上两个端点的弦。我们将0赋值给每个可定向的环，将1赋值给每个非定向的环。这给出了一个与B对应的有符号弦图。参见图2作为一个例子。

Chmutov[14]引入了带状图的部分对偶性，作为平面图对偶性的推广，更广泛地说，是带状图的对偶性。部分对偶性保持了拟树的数量（参见命题2.9）。

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图2. 一个具有三个环的花束（左）及其对应的有符号弦图（右）。蓝色标出的边和弦表示可定向的环（赋值为0），红色标出的边和弦表示不可定向的环（赋值为1）。定义2.5 部分对偶性设G是一个带状图，X?E(G)。G在X处的部分对偶图GX定义如下：1. 取E(GX)=E(G)。2. 在每个生成带状子图(V(G),X)的边界处附加一个圆盘，使得这些圆盘的内部两两不相交，并且也与边圆盘不相交。3. 将步骤2中的圆盘作为GX的顶点。为了方便起见，如果我们有X={e1,e2,...,ek}，我们用Ge1e2…ek=GX来表示。当X=E(G)时，部分对偶性与蜂窝嵌入图上的几何对偶性一致，因为G的边界对应于其面。部分对偶性具有几个性质。命题2.6 [14] 对于任意不相交的X,Y?E(G)，都有GX?Y=(G?Y)X。命题2.7 [14] 对于任意X,Y?E(G)，都有(GX)Y=GX?Y。特别地，(GX)X=G。命题2.8 [14] 连通分量的数量和（非）定向性在部分对偶性下是不变的。根据定义，如果GX是一个花束，则X是G的一个拟树。更一般地，我们有以下结果。命题2.9 [15] 设G是一个带状图，X?E(G)。那么Q?E(G)是G的一个拟树当且仅当Q?X是GX的一个拟树。对于一个花束B，每个不可定向的环e是一个拟树，每对交错的可定向环f,f′也构成一个拟树，这意味着Be和Bff′也是花束。我们将这些对花束的操作称为基本部分对偶性。参见图3和图4作为示例。根据以下命题，要证明花束的某个性质在部分对偶性下是保持的，只需证明它在基本部分对偶性下是保持的。使用带状图和Δ-矩阵之间的关系，证明在命题2.23之后立即给出的第2.2.2节中。下载：下载高分辨率图像（207KB）下载：下载全尺寸图像图3. 在不可定向环e处花束B的部分对偶图。蓝色弦表示可定向环，红色弦表示不可定向环。下载：下载高分辨率图像（206KB）下载：下载全尺寸图像图4. 在交错的可定向环f和f′处花束B的部分对偶图。蓝色弦表示可定向环，红色弦表示不可定向环。命题2.10 民间传说如果两个花束是彼此的部分对偶图，那么可以通过一系列基本部分对偶操作从一个获得另一个。我们定义了带状图的次图。定义2.11 带状图的次图如果一个带状图H可以通过一系列边的删除、顶点的删除和部分对偶操作从G获得，则H是G的次图。以下结果描述了边删除如何改变拟树集。回想一下，如果删除某条边e会增加连通分量的数量，则称该边为桥；等价地，G的每个拟树都包含e。命题2.12 [15] 设G是一个带状图，e∈E(G)。1. 如果e不是桥，则Q(G?e)={Q:e?Q∈Q(G)}。2. 如果e是桥，则Q(G?e)={Q?{e}:e∈Q∈Q(G)}。最后，我们回顾了带状图的部分Petrials，它可能会改变拟树的数量和定向性。定义2.13 带状图G在X?E(G)处的（部分）Petrials是通过给X中的每条边都施加半扭动得到的带状图Gτ(X)。如果我们有X={e}，我们表示为Gτ(e)。注意，如果G是一个花束，那么Gτ(e)也是一个花束，并且e的定向性会被翻转。根据定义，对于任何不同的边e,f∈E(G)，都有(Gτ(e))?f=(G?f)τ(e)。当分别应用到不同的边时，部分Petrials和部分对偶性是可交换的。命题2.14 [17] 对于任何不同的边e,f∈E(G)，都有(Gτ(e))f=(Gf)τ(e)。注意，当应用于同一条边时，部分Petrials和部分对偶性是不可交换的；参见[17, Lemma 3.2]。2.2. Δ-矩阵[5] 是一个集合系统(E,B)，它有一个有限的集合E和一些非空的子集B（称为基），满足基交换公理（对于Δ-矩阵）：对于任何B,B′∈B和任何x∈B?B′，都存在y∈B?B′使得B?{x,y}∈B。那么当所有基的基数相同时，矩阵正是Δ-矩阵。如果所有基的奇偶性相同时，Δ-矩阵是偶数的。我们遵循[24, §3]中对环、coloops、扭动和Δ-矩阵的次图的基本术语。Δ-矩阵D在子集X?E处的扭动将表示为D?X。在本小节中，我们调查了三类重要的Δ-矩阵：2.2.1 可表示的Δ-矩阵，2.2.2 带状图的Δ-矩阵，以及2.2.3 强Δ-矩阵。特别是，2.2.3部分包括了对强Δ-矩阵的几个新观察，这些观察对于我们证明定理1.2.2至关重要。2.2.1. 可表示的Δ-矩阵Δ-矩阵的可表示性是通过域上的（斜）对称矩阵来定义的，这推广了矩阵的可表示性。如果对于所有i,j有Aij=?Aji并且对于所有i有Aii=0，则矩阵A=(Aij)是斜对称的。我们用I表示单位矩阵。对于矩阵A的行索引的一个子集X，我们用A[X]表示由X索引的A的主子矩阵。我们使用det(A[0?])=1的约定。如果一个方阵的所有主次式都是0或±1，则称其为主要单模的（简称PU）。定理2.15 [7] 设A是一个在域K上的对称或斜对称矩阵，其行和列由E索引。那么集合系统D(A)=(E,B)，其中B?{I?E:A[I]是非奇异的}，是一个Δ-矩阵。注意，如果A是斜对称的，那么D(A)是一个偶数Δ-矩阵。Geelen [19, p. 27]表明了一个部分的逆命题；即，D(A)是一个偶数Δ-矩阵当且仅当A是斜对称的或者是形式为0CCT0的块矩阵，使得D(A)=D(A′)，其中A′=0C?CT0。定义2.16 设K是一个域。如果Δ-矩阵D可以在K上表示（或称为K-可表示的），那么存在某个对称或斜对称矩阵A和某个集合X使得D=D(A)?X。如果Δ-矩阵可以在仅有两个元素的域上表示，则它是二进制的；如果它是偶数的并且可以在任何域上表示，则它是规则的。在某些文献中，规则Δ-矩阵被定义为用PU斜对称矩阵表示的Δ-矩阵。众所周知，这两种规则性概念是等价的[19, Thm. 4.13]。正如我们之前提到的，Δ-矩阵的可表示性推广了矩阵的可表示性。命题2.17 [7] 给定一个域K，一个矩阵在K上可表示当且仅当它在K上作为Δ-矩阵可表示。此外，我们注意到，每个矩阵的K-表示，在Δ-矩阵的意义上，具有形式D(A)?X，其中X是一个集合，A是一个形式为0C±CT0的矩阵，它的前|X|行和列由X索引；参见[19, p. 25]。2.2.2. 带状图的Δ-矩阵另一个自然的Δ-矩阵类别来源于带状图。定理2.18 [8] 设G是一个带状图。那么集合系统D(G)?(E(G),Q(G))是一个Δ-矩阵。此外，如果G是可定向的，则D(G)是偶数的。定义2.19 如果一个Δ-矩阵如定理2.18中所述产生，则它是带状图的Δ-矩阵。图Matroids的类别和带状图的Δ-矩阵的类别是不可比较的，它们的交集正是与平面图相关联的矩阵[15]。根据[20]，K5和K3,3的图Matroids不是带状图的Δ-矩阵。另一方面，Δ-矩阵([4],{0?,12,13,14,23,24,34,1234})是由四条边成对交错的可定向花束实现的带状图的Δ-矩阵，但它即使经过扭动也不是一个矩阵。由于Bouchet的结果[6],[7]，可定向的带状图的Δ-矩阵是规则的。值得注意的是，Booth等人[3]提出了另一个使用穿孔曲面的上同调的证明，这个想法在[2]中被用来定义带状图的有符号电路，这导致了可定向带状图的雅可比群在拟树上的一个规范作用。定理2.20 [6],[7] 每个带状图的Δ-矩阵都是二进制的。此外，每个可定向的带状图的Δ-矩阵都是规则的。注意，如果D是一个二进制的Δ-矩阵并且0?∈B(D)，那么存在一个唯一的二进制对称矩阵A使得D=D(A)。此外，与花束相关联的带状图的Δ-矩阵的二进制表示可以如下构造。命题2.21 参见[24]中Example 7.15上面的段落。设B是一个花束，让M2(B)是一个其行和列由E(B)索引的二进制矩阵，并定义为M2(B)ef=1如果e=f且环是不可定向的，0如果e=f且环是可定向的，1如果e≠f且两个环交错，否则0。那么D(B)=D(M2(B))。定义2.22 我们称M2(B)为B的（二进制）交错矩阵。带状图的次图的概念和Δ-矩阵的次图的概念在以下意义上是兼容的。命题2.23 [15] 设G是一个带状图，e是一条边。1. D(Ge)=D(G)?{e}。2. D(G?e)=D(G)?e。利用带状图和Δ-矩阵之间的关系，我们可以证明命题2.10。命题2.10的证明设B和B′是花束，且B′=BQ对于B的某个拟树Q。记D?D(B)。那么0?, Q是D的基，且D?Q=D(BQ)。根据Δ-矩阵的基交换公理，我们得到一个基链0?=B0?B1?B2?…?Bk=Q，使得对于每个i=1,2,…,k，有|Bi?Bi?1|=1或2。我们可以假设这个链是最大的。注意对于每个i=0,1,2,…,k，Bi?BBi是一个花束，并且根据命题2.7，Bi是在Bi?Bi?1处的Bi?1的部分对偶。假设|Bi?Bi?1|=1。那么集合中的唯一元素是Bi?1中的一个不可定向环。假设|Bi?Bi?1|=2。那么集合中的两个元素是Bi?1中的可定向环，因为否则我们可以扩展基链，这与最大性矛盾。因为Bi?Bi?1是一个拟树，这两个可定向环必须交错。在每种情况下，在Bi?Bi?1处取Bi的部分对偶Bi都是基本的。□Moffatt和Oh [25]展示了Whitney的2-同构定理的带状图类比。定理2.24 [25] 设G和H是两个带状图。那么D(G)?D(H)当且仅当G可以通过带状图同构、顶点连接、顶点切割和突变从H获得。如果G可以通过带状图同构、顶点连接、顶点切割和突变从H获得，则我们说两个带状图G和H是2-同构的；参见[25]中这些操作的定义。2.2.3. 强Δ-矩阵如果一个Δ-矩阵(E,B)满足强基交换性质，则它是强的：对于任何B,B′∈B和任何x∈B?B′，都存在y∈B?B′使得B?{x,y},B′?{x,y}∈B。众所周知，矩阵和偶数Δ-矩阵满足强基交换性质[29]，但一般的Δ-矩阵没有这个性质。Geelen和Murota [26]展示了通过集合系统的提升，强Δ-矩阵等价于偶数Δ-矩阵。定义2.25 对于一个有限集合E，我们定义一个映射αE，它将E的一个子集I映射为αE(I)?I如果|I|是偶数，I∪{e?}如果|I|是奇数，其中e?是E中一个固定的元素。当E=[n]时，我们记e?=n+1。我们经常省略下标，将αE写作α。定义2.26 有限集合系统S=(E,B)的提升是S??(E∪{e?},α(B))，其中α(B)?{α(I):I∈B}。定理2.27 [26, Thm. 3.1],[12, Remark 3.10] 设D=(E,B)是一个集合系统。那么D是一个强Δ-矩阵当且仅当D?是一个偶数Δ-矩阵。推论2.28 映射{E上的强Δ-矩阵}→{E∪{e?}上的偶数Δ-矩阵且基的大小为偶数}D?D?是一个双射。证明根据定义2.25，αE是E的子集与E∪{e?}上的偶数大小子集之间的双射。这意味着定义2.26中的S?S?是集合系统(E,B)与集合系统(E∪{e?},B′)之间的双射，其中B′中的所有子集的大小都是偶数。然后根据定理2.27，所需的D?D?是双射S?S?的一个限制。□现在我们在可表示的情况下研究上述双射。以下引理隐含在[13, Cor. 6.12]的证明中。引理2.29 设A是一个在域K上的n×n斜对称矩阵，v∈Kn。记Av=Av?vT0。那么对于每个I?[n]，有det((A+vvT)[I])=det(Av[α(I)]。证明注意det(A+vvT)=detA+vvT0?vT1=detAv?vT1=det(A)+det(Av)，其中最后一个等式是根据最后一行进行的余子式展开。通过用A[I]和v[I]替换A和v，我们得到det((A+vvT)[I])=det(A[I])+det(Av[I∪{n+1})。因为每个奇数大小的斜对称矩阵都是奇异的，我们得出所需的恒等式。□命题2.30 设A是一个在域K上的n×n斜对称矩阵，v∈Kn。那么集合系统D=([n],B)是一个强Δ-矩阵，其中B={I?[n]:(A+vvT)[I]是非奇异的]。证明根据引理2.29，D?由一个斜对称矩阵Av表示，因此D?是一个偶数Δ-矩阵。根据定理2.27，D是一个强Δ-拟阵。□

引理2.31：每个特征为2的有限域上的对称矩阵M都可以唯一地表示为A+vvT的形式，其中A是一个斜对称矩阵，v是一个向量。

证明：注意该域中的每个元素都有一个平方根。由于A的对角线元素都是零，vvT的对角线元素必须与M的对角线元素相同，这意味着v满足v(i)2=Mii对于每个i都成立。然后A?M?vvT就是具有所需性质的斜对称矩阵。□

对于特征为2的有限域上的对称矩阵M=(aij)?≤i,j≤n，我们定义斜对称矩阵M??Av，其中A和v如引理2.31中所述。从元素的角度来看，公式为：M?ij=0如果i=j；aij+aiiajj如果i,j∈[n]且i≠j；aii如果i∈[n]且j=n+1；ajj如果j∈[n]且i=n+1。

命题2.32：对于特征为2的有限域上的对称矩阵M，有D(M)?=D(M?)。

证明：这是引理2.29的直接结果。□

命题2.33：每个在特征为2的有限域上可表示的Δ-拟阵都是强的。

证明：由于强性在扭转操作下是保持不变的，我们可以假设Δ-拟阵D=D(M)对于某个对称矩阵M成立。那么根据引理2.31和命题2.30，D是强的。□

注释2.34：最小的非强Δ-拟阵([3],{0?,1,2,3,123})可以通过一个3x3的对称矩阵在特征不同于2的任何域上表示，该对称矩阵的所有对角线元素都是1，所有非对角线元素都是-1。

因为根据定理2.20，每个带状图形的Δ-拟阵都是二分图，我们得到以下推论：

推论2.35：每个带状图形的Δ-拟阵都是强的。□

本文的主要目的是理解一种几何操作，该操作可以将某些带状图G转换为G?，使得D(G)?=D(G?)，并表征允许这种操作的带状图。我们将在第3节中看到这些定义和结果。

注释2.36：设M=(aij)?≤i,j≤n是一个在特征为2的（可能是无限的）域上的对称矩阵，设M?是一个(n+1)x(n+1)的斜对称矩阵，定义为M?ij?0如果i=j；aij+aiiajj如果i,j∈[n]且i≠j；aii如果i∈[n]且j=n+1；ajj如果j∈[n]且i=n+1。然后van Geemen和Marrani [21]证明了对于任何I?[n]，有det(M[I])=pf(M?[α(I)])。他们的结果结合定理2.27意味着命题2.33的一个更强版本，即每个在特征为2的域上可表示的Δ-拟阵都是强的。

在特征为2的有限域上，M?是M?的Hadamard平方，即对于所有i,j，有M?ij=M?ij2。因此，可以通过以下论证得出pf(M?[α(I)])=det(M?[α(I)])：设C是一个在特征为2的域上的2kx2k的斜对称矩阵，设P表示[2k]上的所有完美匹配集合。那么pf(C°2)=∑P∈P∏{i,j}∈Pi< />
3. 伪可定向的带状图

在第3.1节中，我们定义了伪可定向的带状图g及其调整g?。此外，我们展示了伪可定向性在取矩阵子式时是封闭的（命题3.9）。在第3.2节中，我们讨论了伪可定向性定义中的一个微妙之处，尽管读者可以跳过这一小节而不影响连续性。在第3.3节中，我们证明了定理1.1，该定理断言伪可定向的带状图是唯一满足性质d(g)?=d(g?)的带状图类，直到在[25]中引入的带状图的2-同构。在第3.4节中，我们证明了伪可定向的带状图的矩阵-拟树定理（定理1.2）。

3.1. 伪可定向的带状图及其调整

我们首先为花束定义了伪可定向性。

定义3.1：一个花束是伪可定向的，如果其顶点的边界包含两个封闭的线段s1和s2，并且满足以下条件：
- s1∩s2恰好包含两个点；
- 每个可定向环的两端位于s1或s2的内部；
- 每个不可定向环的两端分别位于s1的内部和s2的内部。

我们将(s1,s2)称为一个证书。在(s1,s2)处对b进行调整α(b,s1,s2)的方式如下：
1. 沿着s2切割花束，然后用半扭转重新连接它。注意，在新的花束中所有环都是可定向的。
2. 添加一个新可定向的环e?，连接s1∩s2中的两个点。

参见图5作为示例。还要注意的是，每个最多包含一个不可定向环的花束都是伪可定向的。

我们通常用b?来表示调整，如果证书在上下文中是显而易见的或不重要的。

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图5. 左图是一个伪可定向的花束b，其中可定向的环用蓝色表示，不可定向的环用红色表示。证书(s1,s2)由虚线箭头标出。右图是在(s1,s2)处对b进行的调整b?，它是通过翻转底部线段s2得到的。新的环e?用蓝绿色虚线表示。b?中的所有环都是可定向的。

注释3.2：如果两个证书(s1,s2)和(s1′,s2′)对于一个伪可定向的花束来说是等价的，那么与s1相交的环端点与s1′或s2′的环端点相等。如果两个证书等价，它们的调整也是相同的。

调整伪可定向花束的逆操作可以描述为对同一条边应用三个基本操作——petrial对偶、部分对偶和边删除。具体来说，我们有以下两个可以通过定义α(b,s1,s2)来证明的结果：

引理3.3：设b是一个具有证书(s1,s2)的伪可定向花束。那么α(b,s1,s2)是一个可定向的花束，并且b=(α(b,s1,s2)τ(e))e?e，其中e=e?是在调整α(b,s1,s2)中添加的新环。

引理3.4：设b是一个可定向的花束，e是它的一个环。那么(bτ(e))e?e是一个伪可定向的花束，并且α((bτ(e))e?e,s1,s2)=b，其中我们让证书(s1,s2)满足e连接s1∩s2中的两个点，并且在应用α时新边标记为e。

命题3.5：每个至少有一条边的可定向花束都是一个伪可定向花束的调整。

对于一般的带状图，伪可定向性定义如下：

定义3.6：一个连通的带状图g是伪可定向的，如果它是某个伪可定向花束的部分对偶，即gx是g的某个拟树x的伪可定向花束。我们说一个带状图是伪可定向的，如果它的一个组成部分是伪可定向的，并且所有其他组成部分都是可定向的。

注释3.7：我们将在第3.2节中展示，如果一个花束在定义3.6的意义上是伪可定向的，那么它在定义3.1的意义上也是伪可定向的。因此，这两个定义是兼容的。

我们有一个简单的标准来判定带状图的伪可定向性：

引理3.8：一个带状图g是伪可定向的当且仅当g=(hτ(e))e?e对于某个可定向的带状图h和h的某个边e。

证明：不失一般性，我们可以假设g是连通的。假设g是伪可定向的，即g=bx对于某个伪可定向的花束b。那么根据引理3.3，存在b的调整b?和b?的边e，使得b=(b?τ(e))e?e。设h?b?x。因为x∩{e}=0?，我们有(hτ(e))e?e=((b?x)τ(e))e?e=((b?τ(e))e?e)x=bx=g。

为了证明逆命题，假设g=(hτ(e))e?e对于某个可定向的带状图h和h的某个边e。如果存在h的某个拟树x使得e?x并且hx是一个花束，那么根据引理3.4，gx=((hτ(e))e?e)x=((hx)τ(e))e?e是一个伪可定向的花束，因此g也是一个伪可定向的带状图。因此，我们可以假设e是h的桥。那么e也是hτ(e)的桥，hτ(e)是可定向的。因此，g也是可定向的，所以它是可定向花束的部分对偶。由于每个可定向的花束都是伪可定向的，我们得出g是一个伪可定向的带状图。□

因此，我们得出以下结论：

命题3.9：伪可定向的带状图类是矩阵子式封闭的。

证明：设g是一个伪可定向的带状图，设x,y是e(g)的不相交子集。我们声称gx?y是伪可定向的。

根据引理3.8，存在一个可定向的带状图h和h的边e，使得g=(hτ(e))e?e。我们有gx?y=((hτ(e))e?e)x?y=((hx?y)τ(e))e?e。由于hx?y是可定向的，根据引理3.8，我们得出gx?y是伪可定向的。□

定义3.10：设g是一个连通的伪可定向的带状图，设x是g的某个拟树，使得gx是一个伪可定向的花束。我们定义在x处对g的调整g?为g??(gx?)x如果|x|是偶数；否则，g??(gx?)x∪{e?}。

对于一般的伪可定向带状图，其调整是通过取伪可定向组成部分的调整并保持其他组成部分不变来定义的。g?的定义取决于拟树x和gx的证书的选择。然而，由于我们只关心相关的δ-拟阵d(g?)，这些选择并不重要；详见第3.3节。

显然，一个调整g?是一个可定向的带状图。我们注意到，并不是每个可定向的带状图都是伪可定向带状图的调整，因为根据定义，拟树的奇偶性是偶数。最后我们注意到以下命题3.5的对应物：

命题3.11：每个至少有一条边并且只有偶数个拟树的可定向带状图都是伪可定向带状图的调整。

证明：设h是一个满足假设的可定向带状图。我们可以假设h是连通的。如果h是一棵树，那么很容易看出h是通过收缩h的一个叶子边得到的树的一个调整。因此，我们可以假设h不是一棵树。那么h有一个拟树x，它是e(h)的子集。设e是e(h)?x中的一条边。可以很容易地检查g?(hτ(e))e?e是一个伪可定向的带状图，其调整是h。

3.2. 花束的伪可定向性

在这一小节中，我们展示了花束的两种伪可定向性定义（定义3.1和定义3.6）是等价的（参见注释3.7）。虽然这种等价性对于本文的其余部分不是严格必要的——只要我们在每个实例中指定使用哪种定义——但建立这种等价性解决了一个自然的问题，并统一了这两个概念。只需证明以下引理即可：

引理3.12：设b是一个具有伪可定向性证书的花束。那么任何是b的部分对偶的花束都有一个证书。

证明：设b是一个具有证书(s1,s2)的伪可定向花束。根据命题2.10，只需证明伪可定向性在基本部分对偶下是保持的。我们首先证明部分对偶b{e,f}是伪可定向的，当e和f是b中的一对交错的可定向环时。通过对称性，我们可以假设e和f的端点都在s2中。通过在e和f的四端切割顶点的边界，我们得到四个分割边界的分段t1,t2,t3,t4，并将它们标记如图6所示，以便t2,t3,t4包含在s2中。然后通过交换t2和t4来获得b{e,f}。设s1′?s1和s2′是从s2通过交换t2和t4得到的b{e,f}的顶点边界的分段。

声明3.12.1：对(s1,s2)的配对证明了b{e,f}是伪可定向的。

证明：设g是b中的一个环。注意g的可定向性在关于e,f的基本部分对偶下是保持的。假设g是b中的一个可定向环。如果g的端点在s1中，那么g在b{e,f}中的对应边也在s1′中。因此，我们可以假设g的端点也在s2′中。如果g是b中的一个不可定向环，那么g的一个端点在s1中，另一个端点在s2中。因此，对于b{e,f}，g的一个端点在s1′中，另一个端点在s2′中。□

剩下要证明的是，当e是b中的一个不可定向环时，部分对偶be是伪可定向的。通过在e和s1的端点切割顶点的边界，我们得到边界的划分(t1,t2,t4)，如图7所示。然后通过翻转线段t1∪t4来获得b{e}。设s1′是b{e}中由t2和t4联合定义的段，s2′是b{e}中由t1和t3联合定义的段。

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图6. 证明引理3.12的第一个案例。

声明3.12.1：对(s1′,s2)的配对证明了b{e,f}是伪可定向的。

证明：设g是b中的一个环。注意g的可定向性在关于e,f的基本部分对偶下是保持的。假设g是b中的一个可定向环。如果g的端点在s1中，那么g在b{e,f}中的对应边也在s1′中。因此，我们可以假设g的端点也在s2′中。如果g是b中的一个不可定向环，那么g的一个端点在s1中，另一个端点在s2中。因此，对于b{e,f}，g的一个端点在s1′中，另一个端点在s2′中。□

剩余的任务是证明当e是b中的一个不可定向环时，部分对偶be是伪可定向的。通过在e和s1的端点切割顶点的边界，我们得到边界的划分(t1,t2,t4)，如图7所示。然后通过翻转线段t1∪t4来获得b{e}。设s1′是b{e}中由t2和t4联合定义的段，s2′是b{e}中由t1和t3联合定义的段。

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图7. geemen和marrani的结果对于特征为2的有限域也是成立的。 3. 伪可定向的带状图 在第3.1节中，我们定义了伪可定向的带状图g及其调整g?。此外，我们展示了伪可定向性在取矩阵子式时是封闭的（命题3.9）。在第3.2节中，我们讨论了伪可定向性定义中的一个微妙之处，尽管读者可以跳过这一小节而不影响连续性。在第3.3节中，我们证明了定理1.1，该定理断言伪可定向的带状图是唯一满足性质d(g)?=D(G?)的带状图类，直到在[25]中引入的带状图的2-同构。在第3.4节中，我们证明了伪可定向的带状图的矩阵-拟树定理（定理1.2）。 3.1. 伪可定向的带状图及其调整 我们首先为花束定义了伪可定向性。 定义3.1：一个花束是伪可定向的，如果其顶点的边界包含两个封闭的线段s1和s2，并且满足以下条件： - s1∩s2恰好包含两个点； - 每个可定向环的两端位于s1或s2的内部； - 每个不可定向环的两端分别位于s1的内部和s2的内部。 我们将(s1,s2)称为一个证书。在(s1,s2)处对b进行调整α(b,s1,s2)的方式如下： 1. 沿着s2切割花束，然后用半扭转重新连接它。注意，在新的花束中所有环都是可定向的。 2. 添加一个新可定向的环e?，连接s1∩s2中的两个点。 参见图5作为示例。还要注意的是，每个最多包含一个不可定向环的花束都是伪可定向的。 我们通常用b?来表示调整，如果证书在上下文中是显而易见的或不重要的。 下载：下载高分辨率图像（264kb） 下载：下载全尺寸图像 图5. 左图是一个伪可定向的花束b，其中可定向的环用蓝色表示，不可定向的环用红色表示。证书(s1,s2)由虚线箭头标出。右图是在(s1,s2)处对b进行的调整b?，它是通过翻转底部线段s2得到的。新的环e?用蓝绿色虚线表示。b?中的所有环都是可定向的。 注释3.2：如果两个证书(s1,s2)和(s1′,s2′)对于一个伪可定向的花束来说是等价的，那么与s1相交的环端点与s1′或s2′的环端点相等。如果两个证书等价，它们的调整也是相同的。 调整伪可定向花束的逆操作可以描述为对同一条边应用三个基本操作——petrial对偶、部分对偶和边删除。具体来说，我们有以下两个可以通过定义α(b,s1,s2)来证明的结果： 引理3.3：设b是一个具有证书(s1,s2)的伪可定向花束。那么α(b,s1,s2)是一个可定向的花束，并且b=(α(B,S1,S2)τ(e))e?e，其中e=e?是在调整α(B,S1,S2)中添加的新环。 引理3.4：设b是一个可定向的花束，e是它的一个环。那么(bτ(e))e?e是一个伪可定向的花束，并且α((bτ(e))e?e,s1,s2)=B，其中我们让证书(S1,S2)满足e连接S1∩S2中的两个点，并且在应用α时新边标记为e。 命题3.5：每个至少有一条边的可定向花束都是一个伪可定向花束的调整。 对于一般的带状图，伪可定向性定义如下： 定义3.6：一个连通的带状图g是伪可定向的，如果它是某个伪可定向花束的部分对偶，即gx是g的某个拟树x的伪可定向花束。我们说一个带状图是伪可定向的，如果它的一个组成部分是伪可定向的，并且所有其他组成部分都是可定向的。 注释3.7：我们将在第3.2节中展示，如果一个花束在定义3.6的意义上是伪可定向的，那么它在定义3.1的意义上也是伪可定向的。因此，这两个定义是兼容的。 我们有一个简单的标准来判定带状图的伪可定向性： 引理3.8：一个带状图g是伪可定向的当且仅当g=(Hτ(e))e?e对于某个可定向的带状图H和H的某个边e。 证明：不失一般性，我们可以假设g是连通的。假设g是伪可定向的，即g=BX对于某个伪可定向的花束B。那么根据引理3.3，存在B的调整B?和B?的边e，使得B=(B?τ(e))e?e。设H?B?X。因为X∩{e}=0?，我们有(Hτ(e))e?e=((B?X)τ(e))e?e=((B?τ(e))e?e)X=BX=G。 为了证明逆命题，假设g=(Hτ(e))e?e对于某个可定向的带状图H和H的某个边e。如果存在H的某个拟树X使得e?X并且HX是一个花束，那么根据引理3.4，GX=((Hτ(e))e?e)X=((HX)τ(e))e?e是一个伪可定向的花束，因此G也是一个伪可定向的带状图。因此，我们可以假设e是H的桥。那么e也是Hτ(e)的桥，Hτ(e)是可定向的。因此，G也是可定向的，所以它是可定向花束的部分对偶。由于每个可定向的花束都是伪可定向的，我们得出G是一个伪可定向的带状图。□ 因此，我们得出以下结论： 命题3.9：伪可定向的带状图类是矩阵子式封闭的。 证明：设g是一个伪可定向的带状图，设x,y是e(g)的不相交子集。我们声称gx?y是伪可定向的。 根据引理3.8，存在一个可定向的带状图h和h的边e，使得g=(Hτ(e))e?e。我们有GX?Y=((Hτ(e))e?e)X?Y=((HX?Y)τ(e))e?e。由于HX?Y是可定向的，根据引理3.8，我们得出GX?Y是伪可定向的。□ 定义3.10：设g是一个连通的伪可定向的带状图，设x是g的某个拟树，使得gx是一个伪可定向的花束。我们定义在x处对g的调整g?为g??(gx?)x如果|x|是偶数；否则，g??(gx?)x∪{e?}。 对于一般的伪可定向带状图，其调整是通过取伪可定向组成部分的调整并保持其他组成部分不变来定义的。g?的定义取决于拟树x和gx的证书的选择。然而，由于我们只关心相关的δ-拟阵d(g?)，这些选择并不重要；详见第3.3节。 显然，一个调整g?是一个可定向的带状图。我们注意到，并不是每个可定向的带状图都是伪可定向带状图的调整，因为根据定义，拟树的奇偶性是偶数。最后我们注意到以下命题3.5的对应物： 命题3.11：每个至少有一条边并且只有偶数个拟树的可定向带状图都是伪可定向带状图的调整。 证明：设h是一个满足假设的可定向带状图。我们可以假设h是连通的。如果h是一棵树，那么很容易看出h是通过收缩h的一个叶子边得到的树的一个调整。因此，我们可以假设h不是一棵树。那么h有一个拟树x，它是e(h)的子集。设e是e(h)?x中的一条边。可以很容易地检查g?(hτ(e))e?e是一个伪可定向的带状图，其调整是h。 3.2. 花束的伪可定向性 在这一小节中，我们展示了花束的两种伪可定向性定义（定义3.1和定义3.6）是等价的（参见注释3.7）。虽然这种等价性对于本文的其余部分不是严格必要的——只要我们在每个实例中指定使用哪种定义——但建立这种等价性解决了一个自然的问题，并统一了这两个概念。只需证明以下引理即可： 引理3.12：设b是一个具有伪可定向性证书的花束。那么任何是b的部分对偶的花束都有一个证书。 证明：设b是一个具有证书(s1,s2)的伪可定向花束。根据命题2.10，只需证明伪可定向性在基本部分对偶下是保持的。我们首先证明部分对偶b{e,f}是伪可定向的，当e和f是b中的一对交错的可定向环时。通过对称性，我们可以假设e和f的端点都在s2中。通过在e和f的四端切割顶点的边界，我们得到四个分割边界的分段t1,t2,t3,t4，并将它们标记如图6所示，以便t2,t3,t4包含在s2中。然后通过交换t2和t4来获得b{e,f}。设s1′?s1和s2′是从s2通过交换t2和t4得到的b{e,f}的顶点边界的分段。 声明3.12.1：对(s1,s2)的配对证明了b{e,f}是伪可定向的。 证明：设g是b中的一个环。注意g的可定向性在关于e,f的基本部分对偶下是保持的。假设g是b中的一个可定向环。如果g的端点在s1中，那么g在b{e,f}中的对应边也在s1′中。因此，我们可以假设g的端点也在s2′中。如果g是b中的一个不可定向环，那么g的一个端点在s1中，另一个端点在s2中。因此，对于b{e,f}，g的一个端点在s1′中，另一个端点在s2′中。□ 剩下要证明的是，当e是b中的一个不可定向环时，部分对偶be是伪可定向的。通过在e和s1的端点切割顶点的边界，我们得到边界的划分(t1,t2,t4)，如图7所示。然后通过翻转线段t1∪t4来获得b{e}。设s1′是b{e}中由t2和t4联合定义的段，s2′是b{e}中由t1和t3联合定义的段。 下载：下载高分辨率图像（238kb） 下载：下载全尺寸图像 图6. 证明引理3.12的第一个案例。 声明3.12.1：对(s1′,s2)的配对证明了b{e,f}是伪可定向的。 证明：设g是b中的一个环。注意g的可定向性在关于e,f的基本部分对偶下是保持的。假设g是b中的一个可定向环。如果g的端点在s1中，那么g在b{e,f}中的对应边也在s1′中。因此，我们可以假设g的端点也在s2′中。如果g是b中的一个不可定向环，那么g的一个端点在s1中，另一个端点在s2中。因此，对于b{e,f}，g的一个端点在s1′中，另一个端点在s2′中。□ 剩余的任务是证明当e是b中的一个不可定向环时，部分对偶be是伪可定向的。通过在e和s1的端点切割顶点的边界，我们得到边界的划分(t1,t2,t4)，如图7所示。然后通过翻转线段t1∪t4来获得b{e}。设s1′是b{e}中由t2和t4联合定义的段，s2′是b{e}中由t1和t3联合定义的段。 下载：下载高分辨率图像（189kb） 下载：下载全尺寸图像>
3. 伪可定向的带状图

在第3.1节中，我们定义了伪可定向的带状图g及其调整g?。此外，我们展示了伪可定向性在取矩阵子式时是封闭的（命题3.9）。在第3.2节中，我们讨论了伪可定向性定义中的一个微妙之处，尽管读者可以跳过这一小节而不影响连续性。在第3.3节中，我们证明了定理1.1，该定理断言伪可定向的带状图是唯一满足性质d(g)?=d(g?)的带状图类，直到在[25]中引入的带状图的2-同构。在第3.4节中，我们证明了伪可定向的带状图的矩阵-拟树定理（定理1.2）。

3.1. 伪可定向的带状图及其调整

我们首先为花束定义了伪可定向性。

定义3.1：一个花束是伪可定向的，如果其顶点的边界包含两个封闭的线段s1和s2，并且满足以下条件：
- s1∩s2恰好包含两个点；
- 每个可定向环的两端位于s1或s2的内部；
- 每个不可定向环的两端分别位于s1的内部和s2的内部。

我们将(s1,s2)称为一个证书。在(s1,s2)处对b进行调整α(b,s1,s2)的方式如下：
1. 沿着s2切割花束，然后用半扭转重新连接它。注意，在新的花束中所有环都是可定向的。
2. 添加一个新可定向的环e?，连接s1∩s2中的两个点。

参见图5作为示例。还要注意的是，每个最多包含一个不可定向环的花束都是伪可定向的。

我们通常用b?来表示调整，如果证书在上下文中是显而易见的或不重要的。

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图5. 左图是一个伪可定向的花束b，其中可定向的环用蓝色表示，不可定向的环用红色表示。证书(s1,s2)由虚线箭头标出。右图是在(s1,s2)处对b进行的调整b?，它是通过翻转底部线段s2得到的。新的环e?用蓝绿色虚线表示。b?中的所有环都是可定向的。

注释3.2：如果两个证书(s1,s2)和(s1′,s2′)对于一个伪可定向的花束来说是等价的，那么与s1相交的环端点与s1′或s2′的环端点相等。如果两个证书等价，它们的调整也是相同的。

调整伪可定向花束的逆操作可以描述为对同一条边应用三个基本操作——petrial对偶、部分对偶和边删除。具体来说，我们有以下两个可以通过定义α(b,s1,s2)来证明的结果：

引理3.3：设b是一个具有证书(s1,s2)的伪可定向花束。那么α(b,s1,s2)是一个可定向的花束，并且b=(α(b,s1,s2)τ(e))e?e，其中e=e?是在调整α(b,s1,s2)中添加的新环。

引理3.4：设b是一个可定向的花束，e是它的一个环。那么(bτ(e))e?e是一个伪可定向的花束，并且α((bτ(e))e?e,s1,s2)=b，其中我们让证书(s1,s2)满足e连接s1∩s2中的两个点，并且在应用α时新边标记为e。

命题3.5：每个至少有一条边的可定向花束都是一个伪可定向花束的调整。

对于一般的带状图，伪可定向性定义如下：

定义3.6：一个连通的带状图g是伪可定向的，如果它是某个伪可定向花束的部分对偶，即gx是g的某个拟树x的伪可定向花束。我们说一个带状图是伪可定向的，如果它的一个组成部分是伪可定向的，并且所有其他组成部分都是可定向的。

注释3.7：我们将在第3.2节中展示，如果一个花束在定义3.6的意义上是伪可定向的，那么它在定义3.1的意义上也是伪可定向的。因此，这两个定义是兼容的。

我们有一个简单的标准来判定带状图的伪可定向性：

引理3.8：一个带状图g是伪可定向的当且仅当g=(hτ(e))e?e对于某个可定向的带状图h和h的某个边e。

证明：不失一般性，我们可以假设g是连通的。假设g是伪可定向的，即g=bx对于某个伪可定向的花束b。那么根据引理3.3，存在b的调整b?和b?的边e，使得b=(b?τ(e))e?e。设h?b?x。因为x∩{e}=0?，我们有(hτ(e))e?e=((b?x)τ(e))e?e=((b?τ(e))e?e)x=bx=g。

为了证明逆命题，假设g=(hτ(e))e?e对于某个可定向的带状图h和h的某个边e。如果存在h的某个拟树x使得e?x并且hx是一个花束，那么根据引理3.4，gx=((hτ(e))e?e)x=((hx)τ(e))e?e是一个伪可定向的花束，因此g也是一个伪可定向的带状图。因此，我们可以假设e是h的桥。那么e也是hτ(e)的桥，hτ(e)是可定向的。因此，g也是可定向的，所以它是可定向花束的部分对偶。由于每个可定向的花束都是伪可定向的，我们得出g是一个伪可定向的带状图。□

因此，我们得出以下结论：

命题3.9：伪可定向的带状图类是矩阵子式封闭的。

证明：设g是一个伪可定向的带状图，设x,y是e(g)的不相交子集。我们声称gx?y是伪可定向的。

根据引理3.8，存在一个可定向的带状图h和h的边e，使得g=(hτ(e))e?e。我们有gx?y=((hτ(e))e?e)x?y=((hx?y)τ(e))e?e。由于hx?y是可定向的，根据引理3.8，我们得出gx?y是伪可定向的。□

定义3.10：设g是一个连通的伪可定向的带状图，设x是g的某个拟树，使得gx是一个伪可定向的花束。我们定义在x处对g的调整g?为g??(gx?)x如果|x|是偶数；否则，g??(gx?)x∪{e?}。

对于一般的伪可定向带状图，其调整是通过取伪可定向组成部分的调整并保持其他组成部分不变来定义的。g?的定义取决于拟树x和gx的证书的选择。然而，由于我们只关心相关的δ-拟阵d(g?)，这些选择并不重要；详见第3.3节。

显然，一个调整g?是一个可定向的带状图。我们注意到，并不是每个可定向的带状图都是伪可定向带状图的调整，因为根据定义，拟树的奇偶性是偶数。最后我们注意到以下命题3.5的对应物：

命题3.11：每个至少有一条边并且只有偶数个拟树的可定向带状图都是伪可定向带状图的调整。

证明：设h是一个满足假设的可定向带状图。我们可以假设h是连通的。如果h是一棵树，那么很容易看出h是通过收缩h的一个叶子边得到的树的一个调整。因此，我们可以假设h不是一棵树。那么h有一个拟树x，它是e(h)的子集。设e是e(h)?x中的一条边。可以很容易地检查g?(hτ(e))e?e是一个伪可定向的带状图，其调整是h。

3.2. 花束的伪可定向性

在这一小节中，我们展示了花束的两种伪可定向性定义（定义3.1和定义3.6）是等价的（参见注释3.7）。虽然这种等价性对于本文的其余部分不是严格必要的——只要我们在每个实例中指定使用哪种定义——但建立这种等价性解决了一个自然的问题，并统一了这两个概念。只需证明以下引理即可：

引理3.12：设b是一个具有伪可定向性证书的花束。那么任何是b的部分对偶的花束都有一个证书。

证明：设b是一个具有证书(s1,s2)的伪可定向花束。根据命题2.10，只需证明伪可定向性在基本部分对偶下是保持的。我们首先证明部分对偶b{e,f}是伪可定向的，当e和f是b中的一对交错的可定向环时。通过对称性，我们可以假设e和f的端点都在s2中。通过在e和f的四端切割顶点的边界，我们得到四个分割边界的分段t1,t2,t3,t4，并将它们标记如图6所示，以便t2,t3,t4包含在s2中。然后通过交换t2和t4来获得b{e,f}。设s1′?s1和s2′是从s2通过交换t2和t4得到的b{e,f}的顶点边界的分段。

声明3.12.1：对(s1,s2)的配对证明了b{e,f}是伪可定向的。

证明：设g是b中的一个环。注意g的可定向性在关于e,f的基本部分对偶下是保持的。假设g是b中的一个可定向环。如果g的端点在s1中，那么g在b{e,f}中的对应边也在s1′中。因此，我们可以假设g的端点也在s2′中。如果g是b中的一个不可定向环，那么g的一个端点在s1中，另一个端点在s2中。因此，对于b{e,f}，g的一个端点在s1′中，另一个端点在s2′中。□

剩下要证明的是，当e是b中的一个不可定向环时，部分对偶be是伪可定向的。通过在e和s1的端点切割顶点的边界，我们得到边界的划分(t1,t2,t4)，如图7所示。然后通过翻转线段t1∪t4来获得b{e}。设s1′是b{e}中由t2和t4联合定义的段，s2′是b{e}中由t1和t3联合定义的段。

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图6. 证明引理3.12的第一个案例。

声明3.12.1：对(s1′,s2)的配对证明了b{e,f}是伪可定向的。

证明：设g是b中的一个环。注意g的可定向性在关于e,f的基本部分对偶下是保持的。假设g是b中的一个可定向环。如果g的端点在s1中，那么g在b{e,f}中的对应边也在s1′中。因此，我们可以假设g的端点也在s2′中。如果g是b中的一个不可定向环，那么g的一个端点在s1中，另一个端点在s2中。因此，对于b{e,f}，g的一个端点在s1′中，另一个端点在s2′中。□

剩余的任务是证明当e是b中的一个不可定向环时，部分对偶be是伪可定向的。通过在e和s1的端点切割顶点的边界，我们得到边界的划分(t1,t2,t4)，如图7所示。然后通过翻转线段t1∪t4来获得b{e}。设s1′是b{e}中由t2和t4联合定义的段，s2′是b{e}中由t1和t3联合定义的段。

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图7.>证明引理3.12的第二种情况。命题3.12.2：对(S1′,S2′)的组合证明了B{e}是伪定向的。

证明：设g是B中的一个可定向循环。那么g的两端位于二分划分(S1,S2)的同一部分。由于对称性，我们可以假设g的两端都在S1中。假设e和g在B中不交错。那么g在B{e}中是可定向的，并且它的两端都位于某个i∈{1,2}的相同段Ti中。因此，g在B{e}中的两端位于二分划分(S1′,S2′)的同一部分。现在假设e和g在B中交错。那么g在B{e}中是不可定向的，并且它的一个端位于T1中，另一个端位于T2中。因此，g在B{e}中的一个端位于S1′中，另一个端位于S2′中。

接下来，设g是B中的一个不可定向循环。那么g的一个端位于S1中，另一个端位于S2中。假设e和g在B中不交错。那么g在B{e}中是不可定向的，并且它的一个端位于T1中，另一个端位于T4中，或者它的一个端位于T2中，另一个端位于T3中。在这两种情况下，g在B{e}中的一个端位于S1′中，另一个端位于S2′中。现在假设e和g在B中交错。那么g在B{e}中是可定向的，并且它的一个端位于T1中，另一个端位于T3中，或者它的一个端位于T2中，另一个端位于T4中。在前一种情况下，g在B{e}中的两个端都位于S2′中；在后一种情况下，它的两个端都位于S1′中。

□根据命题3.12.1和命题3.12.2，基本的局部对偶性保持伪定向性。□

我们注意到，可以多项式时间内确定给定的带状图是否是伪定向的，并且在肯定的情况下找到一个证书。设G是一个输入的带状图。我们可以假设G是连通的。我们首先找到G的一个生成拟树Q。这可以高效完成，因为底层图的每个生成树都是一个拟树。接下来，我们检查是否存在GQ的证书(S1,S2)。设n?|E(G)|。那么GQ的边界被边的两端分割成2n个段。因此，有(2n^2)+2n个证书(S1,S2)的候选者（直到等价）。可以多项式时间内检查每个候选者是否是证书。如果没有证书，那么根据引理3.12，G不是伪定向的。否则，我们得到一个证书，并且G是伪定向的。

3.3. 与伪定向带状图相关的Δ-拟阵

我们证明定理1.1。我们首先展示集合系统的提升（定义2.26）和带状图的调整（定义3.6）在以下意义上是兼容的。

命题3.13：如果G是一个伪定向的带状图，那么D(G)?=D(G?)。

引理3.14：如果B是一个伪定向的花束，那么M2(B?)=M2(B)?且D(B?)=D(B)?。

证明：二进制交错矩阵M2(B)是D(B)的二进制表示，定义如下（命题2.21）：M2(B)ef=1如果e=f且循环是不可定向的；0如果e=f且循环是可定向的；1如果e≠f且两个循环交错；0否则。我们用e?表示B?中的新边。回想一下B?是可定向的。那么通过相同的构造，我们有D(B?)的二进制表示M2(B?)：M2(B?)ef=0如果e=f；1如果e≠f且两个循环交错；0否则。

为了证明M2(B?)=M2(B)?，只需验证它们的非对角线元素是否相等。假设e?≠f。根据定义，以下四个条件是等价的：
• M2(B?)e?f=1；
• e?和f在B?中交错；
• f在B中是不可定向的；
• M2(B)ff=1。

这意味着M2(B?)e?f=M2(B)ff。由于对称性，M2(B?)fe?=M2(B)ff。

接下来，假设e≠f且e和f都不是e?。那么以下条件是等价的：
• M2(B?)ef=1；
• e和f在B?中交错；
• 至少有一个e和f是可定向的并且e,f交错，或者两个e和f都是不可定向的并且e,f不交错；
• det(M2(B)[{e,f}]=M2(B)ef+M2(B)eeM2(B)ff=1。

因此M2(B?)=M2(B)?，这意味着D(B?)=D(M2(B)?)=D(M2(B))?=D(B)?，其中最后一个等式是根据命题2.32得出的。

□

证明命题3.13：不失一般性，我们可以假设G是连通的。设X是G的一个拟树。假设|X|是偶数。那么对于每个Q?E(G)，都有α(Q?X)=α(Q)?X。此外，以下条件是等价的：
• Q是G的一个拟树；
• Q?X是GX的一个拟树；
• α(Q?X)是GX?的一个拟树（根据引理3.14）；
• α(Q)=α(Q?X)?X是G?=(GX?)X的一个拟树。

因此，D(G)?=D(G?)。

假设|X|是奇数。在这种情况下，α(Q?X)=α(Q)?X?{e?}。因此，上述等式仍然成立，除了最后一个等式，它可以替换为：α(Q)=α(Q?X)?(X∪{e?})是G?=(GX?)X∪{e?}的一个拟树。

□

现在我们准备证明我们的第一个主要定理。

定理1.1的证明：如果G在带状图的2-同构意义上是伪定向的，那么根据定理2.24和命题3.13，偶数Δ-拟阵D(G)?是带状图形的。

反之，假设G具有这样的性质：D(G)?=D(H)对于某个可定向的带状图H。不失一般性，我们可以假设H是几个花束的不相交并集。根据命题3.5，存在一个伪定向的带状图G′使得H=G′?，因此D(G)?=D(G′)?。根据推论2.28，我们得到D(G)=D(G′)。然后根据定理2.24，G与伪定向的带状图G′是2-同构的。

□

我们最后指出，一个伪定向的带状图和一个非伪定向的带状图可能诱导出相同的Δ-拟阵。

示例3.15：有一对伪定向的花束和非伪定向的花束诱导出相同的Δ-拟阵。见图8.3.4。

矩阵-拟树定理对于伪定向的带状图

我们通过将其归约为可定向的情况（定理3.17）来证明伪定向带状图的矩阵-拟树定理（定理1.2）。

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图8. 一个伪定向的花束B1（左）和一个非伪定向的花束B2（右），边集为{x,y,v1,v2,h1,h2}。在这两种情况下，可定向的循环v1,v2,h1,h2被标记为蓝色，非定向的循环x,y被标记为红色。因为二进制交错矩阵相同，所以D(B1)=D(B2)。

定义3.16：设B是一个可定向的花束。为B的每条边赋予任意方向，并将其尾部（分别头部）表示为e?（分别e+）。选择B中唯一顶点的边界的两种方向中的一种。然后我们得到2|E(B)|个元素e+,e?的循环顺序，其中e∈E(B)。

（实数）交错矩阵M±(B)是一个E(B)-by-E(B)的斜对称矩阵，其元素为实数，定义如下：M±(B)ef?1如果循环顺序是……e+?f+?e??f?……；?1如果循环顺序是……e+?f??e??f+……；0否则，即e,f不交错或e=f。

这里我们使用M±表示法，因为我们把矩阵看作是在正则部分域F1±上的偶数Δ-拟阵D(B)的表示，而在命题2.21中定义的二进制交错矩阵M2(B)是在有限域F2上的D(B)的表示。

定理3.17 [23]：对于一个可定向的花束B，如果循环顺序是……e+?f+?e??f?……，那么det(M±(B)[X]=1，X是B的一个拟树；否则为0。

注3.18：在定义3.16中为B的边界选择不同的方向只会通过乘以?1来改变矩阵M±(B)。类似地，为某些边选择不同的方向会通过乘以?1来改变矩阵的对应行和列。因此，行列式以及I+M±(B)的Smith标准形式不依赖于这样的选择。

对于伪定向的花束，我们需要通过考虑非定向的循环来调整交错矩阵。以下定义是为了在定理3.21的证明中使声明成立。

定义3.19：设B是一个带有证书(S1,S2)的伪定向花束。为B中的每个可定向循环赋予任意方向，并将每个非定向循环的方向调整为使其头部在S1中，尾部在S2中。对于每条边e，将其尾部和头部分别表示为e?和e+。选择B中唯一顶点的边界的两种方向中的一种。这个选择导致2|E(B)|个元素e+,e?的循环顺序，其中e∈E(B)。

我们定义调整后的交错矩阵M(B,S1,S2)如下。设e,f∈E(B)。如果它们中至少有一个是可定向的，那么M(B,S1,S2)ef?1如果循环顺序是……e+?f+?e??f?……；?1如果循环顺序是……e+?f??e??f+……；0否则，即e,f不交错或e=f。如果e和f都不是可定向的，如果e+在由S1的方向诱导的线性顺序中出现在f+之前，我们写e< />f且它们不交错。

例如，见图10中的左侧示意图和示例3.22中的相应矩阵。

在上面的定义中，方向的选择并不重要。如果我们在定义3.19中为非定向循环考虑任意方向，那么可以通过以下方式定义调整后的交错矩阵M′(B,S1,S2)：如果e在S1中的结束先于f在S1中的结束，则写e< />< />f且它们不交错，那么Aef=?1，所以M(B,S1,S2)ef=0=Aef+vevf。

□

根据引理3.14，X是B的一个拟树当且仅当α(X)是B?的一个拟树。根据定理3.17，后者等价于det(M±(B?)[α(X)]=1，否则行列式为零。然后我们通过上述声明和引理2.29得到所需的结果。

证明定理1.2：不失一般性，我们可以假设G是连通的。那么GQ是一个伪定向的花束，所以存在一个证书，比如说(S1,S2)。那么M=M(GQ,S1,S2)是所需的矩阵，根据定理3.21和命题2.9。

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图9. 左图显示了一个带有赋予方向的伪定向花束B。右图说明了在定理3.21的证明中描述的其调整后的B?中循环的相应方向。可定向的循环被标记为蓝色，非定向的循环被标记为红色。

根据定理3.21，I+M(B,S1,S2)的行列式不依赖于证书(S1,S2)的选择。然而，我们注意到其Smith标准形式依赖于证书。

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图10. 一个带有两个证书(S1,S2)（左）和(T1,T2)（右）的伪定向花束。红线表示非定向循环，蓝线表示可定向循环。

示例3.22：设B是图10中的伪定向花束，它有两个不等价的证书(S1,S2)和(T1,T2)。调整后的交错矩阵M(B,S1,S2)和M(B,T1,T2)分别是下载：下载高分辨率图像（47KB）
下载：下载全尺寸图像，其中行（和列）按顺序由边1,2,3,4,5,6索引。这两个矩阵的行列式都是27。I+M(B,S1,S2)的Smith标准形为diag(1,1,1,1,3,9)，而I+M(B,T1,T2)的Smith标准形为diag(1,1,1,1,1,27)。注3.23：Merino、Moffatt和Noble [23]引入了可定向带形图的关键群。对于一个可定向的花束B，它被定义为I+M±(B)的余核。他们展示了两个具有相同关联Δ-矩阵但关键群不同的可定向花束。例子3.22中的调整α(B,S1,S2)和α(B,T1,T2)构成了另一对这样的例子。一方面，命题3.13表明它们具有相同的关联Δ-矩阵。另一方面，形如I+Av?vT1和I+A+vvT001的两个矩阵具有相同的Smith标准形。因此，α(B,S1,S2)和α(B,T1,T2)的关键群与I+M(B,S1,S2)和I+M(B,T1,T2)的余核是同构的。上述计算出的Smith标准形表明这些余核是不同构的。

4. 稳定性和对数凹性
在本节中，我们研究了准树生成多项式的Hurwitz稳定性和规则Δ-矩阵及伪可定向带形图的对数凹性。特别是，我们证明了定理1.3和定理1.4。

4.1 准树生成多项式的Hurwitz稳定性
首先回顾Hurwitz稳定性的定义及其基本性质。
定义4.1：设f(z1,…,zn)∈?[z1,…,zn]是一个多变量多项式。如果对于所有的i都有Re(zi)>0，则称f(z1,…,zn)是Hurwitz稳定的。如果对于所有的i都有Im(zi)>0，则称f(z1,…,zn)是稳定的。
命题4.2 [28]：假设f(z1,…,zn)是Hurwitz稳定的。那么
(i) 对于任何Re(a)≥0的a，f(a,z2,…,zn)是Hurwitz稳定的。
(ii) f(z1,z1,z3,…,zn)是Hurwitz稳定的。
(iii) zd(f(z1,…,zi?1,…,zn)是Hurwitz稳定的，其中d是f在zi中的度数。
(iv) ?zif(z1,…,zn)是Hurwitz稳定的。
我们需要以下来自[9, Lemma 4.1]的结果来证明引理4.4：
引理4.3 [9]：设Ai是复数半正定的n×n矩阵，B是复数厄米矩阵。那么f(z1,…,zm)=det(z1A1+?+zmAm+B)是稳定的。
引理4.4：设A是一个n×n的斜对称矩阵，其元素为实数，v∈Rn。那么∑I?[n]det((A+vvT)[I])zI是Hurwitz稳定的，其中zI?∏i∈Izi。
证明：根据命题4.2(iii)，只需证明多项式det(A+vvT+diag(z1,…,zn))=∑I?[n]det((A+vvT)[I])z[n]?I是Hurwitz稳定的，或者等价地，det(iA+ivvT+diag(z1,…,zn))是稳定的，这里的i是虚数单位。由于iA是复数厄米矩阵，上述引理意味着det(iA+z0vvT+diag(z1,…,zn))是稳定的。当然，我们可以取z0=i。
因此，α(B,S1,S2)和α(B,T1,T2)的关键群与I+M(B,S1,S2)和I+M(B,T1,T2)的余核是同构的。上述计算出的Smith标准形表明这些余核是不同构的。

4.2 伪可定向带形图的准树生成多项式的对数凹性
在本节中，我们研究了准树生成多项式的Hurwitz稳定性和规则Δ-矩阵及伪可定向带形图的对数凹性。特别是，我们证明了定理1.3和定理1.4。

4.1 准树生成多项式的Hurwitz稳定性
我们首先回顾Hurwitz稳定性的定义及其基本性质。
定义4.1：设f(z1,…,zn)∈?[z1,…,zn]是一个多变量多项式。如果对于所有的i都有Re(zi)>0，则称f(z1,…,zn)是Hurwitz稳定的。如果对于所有的i都有Im(zi)>0，则称f(z1,…,zn)是稳定的。
命题4.2 [28]：假设f(z1,…,zn)是Hurwitz稳定的。那么
(i) 对于任何Re(a)≥0的a，f(a,z2,…,zn)是Hurwitz稳定的。
(ii) f(z1,z1,z3,…,zn)是Hurwitz稳定的。
(iii) zidf(z1,…,zi?1,…,zn)是Hurwitz稳定的，其中d是f在zi中的度数。
(iv) ?zif(z1,…,zn)是Hurwitz稳定的。
我们需要以下来自[9, Lemma 4.1]的结果来证明引理4.4：
引理4.3 [9]：设Ai是复数半正定的n×n矩阵，B是复数厄米矩阵。那么f(z1,…,zm)=det(z1A1+?+zmAm+B)是稳定的。
引理4.4：设A是一个n×n的斜对称矩阵，其元素为实数，v∈Rn。那么∑I?[n]det((A+vvT)[I])zI是Hurwitz稳定的，其中zI?∏i∈Izi。
证明：根据命题4.2(iii)，只需证明多项式det(A+vvT+diag(z1,…,zn))=∑I?[n]det((A+vvT)[I])z[n]?I是Hurwitz稳定的，或者等价地，det(iA+ivvT+diag(z1,…,zn))是稳定的，这里的i是虚数单位。由于iA是复数厄米矩阵，上述引理意味着det(iA+z0vvT+diag(z1,…,zn))是稳定的。当然，我们可以取z0=i。□

带形图G的准树生成多项式为PG(xe:e∈E(G))?∑QxQ，其中求和是对G中所有准树Q的求和，xQ?∏e∈Qxe。
我们证明了定理1.3，即任何伪可定向带形图的准树生成多项式都是Hurwitz稳定的。这推广了Merino、Moffatt和Noble [23]对于可定向带形图的结果。

4.3 决定性组和临界群
在本节中，我们研究了可定向带形图的关键组和临界群。Merino、Moffatt和Noble [23]引入了一个可定向带形图的关键组的概念。对于一个可定向的花束B，它被定义为I+M±(B)的余核。他们展示了两个具有相同关联Δ-矩阵但关键群不同的不同可定向花束。例子3.22中的调整α(B,S1,S2)和α(B,T1,T2)构成了另一对这样的例子。一方面，命题3.13表明它们具有相同的关联Δ-矩阵。另一方面，形如I+Av?vT1和I+A+vvT001的两个矩阵具有相同的Smith标准形。因此，α(B,S1,S2)和α(B,T1,T2)的关键群与I+M(B,S1,S2)和I+M(B,T1,T2)的余核是同构的。上述计算出的Smith标准形表明这些余核是不同构的。

4.4 稳定性和对数凹性
在本节中，我们研究了准树生成多项式的Hurwitz稳定性和规则Δ-矩阵及伪可定向带形图的对数凹性。特别是，我们证明了定理1.3和定理1.4。然后可以通过直接计算来验证图14中右侧有向图的实邻接矩阵主要是单模的，并且是D?的一个表示。因此，D?是正则的。根据引理4.6，gD?是赫尔维茨稳定的。注意PG=gD，而gD是在x8=1时gD?的一个特例。因此，根据命题4.2，PG也是赫尔维茨稳定的。□5.3. 超对数凹性的失败对于一般的带状图和强Δ-拟阵来说，超对数凹性属性并不成立。仍然考虑带状图?5和?6。设qi表示?5中大小为2i或2i+1的拟树的数量。那么q0=6，q1=10，q2=6，对于j≥3时qj=0；参见引理5.4的证明。设ri表示?6中大小为2i或2i+1的拟树的数量。那么r0=7，r1=17，r2=12，对于j≥3时rj=0；参见引理5.5的证明。因此，我们有q12=100<144=4q0q2，以及andr12=289<336=4r0r2，即序列(q0,q1,q2,…)和(r0,r1,r2,…)不是超对数凹的。下载：下载高分辨率图像（75KB）下载：下载全尺寸图像图14。左侧图的二进制邻接矩阵是命题5.9证明中D的二进制表示。右侧有向图的实邻接矩阵是同一证明中D?的一个正则表示。我们还注意到，有一族无限的偶数Δ-拟阵不满足超对数凹性。示例5.10对于n≥5，设D是一个集合系统([n],B)，其中B是[n]的所有大小为1、3或5的子集的集合。可以很容易地看出D是一个偶数Δ-拟阵。设bi表示D中大小为2i+1的基的数量。那么b0=n，b1=(n/3)，b2=(n/5)。当n→∞时，比值b12b0b2收敛到5!(3!)2=1/2036=1/103<1/4。因此，对于足够大的n，序列(b0,b1,b2)不是超对数凹的。最后，我们提出以下问题。问题5.11设D是一个偶数Δ-拟阵，并且设bi表示D中大小为2i或2i+1的基的数量。序列(b0,b1,b2,…)是对数凹的吗？Changxin Ding|Donggyu Kim美国佐治亚理工学院数学系