一种用于复合材料失效数据驱动多尺度模拟的封装非局部框架

《European Journal of Mechanics - A/Solids》：An encapsulating non-local framework for data-driven multiscale simulations of composite material failure

　　

数据驱动的多尺度方法在考虑应变软化方面面临挑战。均质化响应的代理预测以非局部方式进行了正则化处理。该正则化后的均质化响应由特征长度控制。特征长度的确定旨在恢复材料的断裂能。该方法应用于单向复合材料的横向失效。

引言

许多工程材料是异质材料，即由不同的组分组合而成，共同提供单一材料无法达到的性能。这类材料广泛应用于建筑、体育器材和航空航天等众多领域。某些材料因其能够在保持高性能的同时减轻结构重量而备受青睐。因此，准确模拟这些材料的行为至关重要。此外，预测异质材料如何发生损伤以及评估结构的剩余强度，对于安全考量同样关键。

由于直接数值模拟（DNS）涉及的单元数量极其庞大，计算代价难以承受，因此需要采用多尺度方法。在该框架下，在微观尺度定义了一个代表性体积单元（RVE）来表征微观结构。在宏观尺度上，对结构进行离散化处理，使得每个积分点的响应由关联的RVE问题的解获得。宏观应变（?M）作为运动学输入驱动RVE计算，进而提供均质化应力（σM）。在本工作中，下标"M"指宏观尺度值。这种通常被称为FE2方法的方法（见图1(a)）计算需求极高，这推动了代理模型的发展。此类代理模型利用预先计算的RVE模拟结果进行离线训练（见图1(b)），一旦训练完成，它们便能高效地从给定的应变历史（?M(t)）预测RVE响应（σM(t)），从而实现数量级上的计算加速。

机器学习技术可用于构建高效且准确的代理模型。计算力学中的一个挑战在于，代理模型必须能够处理依赖于历史的响应。在能够考虑历史效应的基于机器学习的代理模型中，循环神经网络（RNN）使用隐藏变量h，其扮演本构模型中内部或状态变量Z的角色，从一步到下一步不断更新以表征不可逆行为。因此，RNN需要使用顺序数据（如应变-应力序列{?,σ}）进行训练。采用长短期记忆（LSTM）单元（参见如Ghavamian和Simone, 2019; Logarzo等人, 2021）和门控循环单元（GRU）（参见如Mozaffar等人, 2019; Gorji等人, 2020; Friemann等人, 2023; García-ávila等人, 2022）的RNN，可能结合降阶方法（Im等人, 2021; Wu和Noels, 2022; Vijayaraghavan等人, 2023），已被广泛采用为材料模型或微观结构演化预测的依赖历史响应的代理模型（Fetni等人, 2023）。在多尺度模拟的背景下，以均质化应变-应力历史σM(t)??M(t)形式进行有监督学习，并考虑使用RNN替代多尺度模拟中耗时的RVE均质化步骤，已成功实现（Wu等人, 2020; Logarzo等人, 2021）。然而，使用中等应变增量序列训练的RNN，在在线阶段使用较小应变增量作为输入时（如进行显式模拟或为提高高度非线性响应的收敛性而减小增量时），可能产生不准确的预测（Bonatti和Mohr, 2022; Bonatti等人, 2022）。这一局限可以通过以下方法解决：或者丰富训练数据集，例如使用带有序列选择的随机游动采样算法（Zhou和Semnani, 2025）；或者加强循环单元的自一致性，如Bonatti和Mohr（2022）所提出的线性化最小状态单元（LMSC）。该RNN以顺序应变增量为输入，并将增量的范数作为额外信息。最近，Heidenreich和Mohr（2025）扩展了自洽加强的线性化最小状态单元的概念，以考虑粘性响应和温度依赖性。沿着这一自一致性路线，Wu和Noels（2024）设计了两种自洽加强的最小循环单元——SC-MRU-T和SC-MRU-I，分别以总应变和增量为输入，并研究了可学习参数的效应、效率和预测质量，旨在减少隐藏变量的数量。此类RNN能够在多尺度模拟中替代RVE响应，同时大幅减少所需的训练时间。

尽管RNN具有高效性，但由于缺乏外推能力，它需要大量数据集进行训练。这推动了将物理信息引入代理模型的努力。基于热力学的神经网络（TANN）（Masi等人, 2021）通过训练前馈神经网络来预测内部变量和能量势，从而可以通过求导获得耗散和应力。该方法可以替代材料本构律（Masi等人, 2021）或RVE响应（Masi和Stefanou, 2022），后者需要对微观问题内部变量进行降维处理。物理循环神经网络（PRNN）（Maia等人, 2023; Maia等人, 2024）由前馈神经网络扩展而成，考虑了一组节点——"材料层"，显式积分异质材料各相的本构模型，以替代RVE响应。在物理信息神经网络中，训练阶段的损失函数中会添加额外信息，如控制方程的残差，例如Deng等人, 2024; Di Lorenzo等人, 2024; Eghbalian等人, 2023。

作为上述方法的替代方案，为确保在预测RVE响应时相本构行为和加载条件具备外推能力，Liu等人（2019）提出了深度材料网络（DMN）。DMN具有树形结构，其中最后一层节点称为材料节点，积分RVE各相的本构方程，而其他节点称为相互作用节点，是求解力学问题的机制模块，如层合板理论（Liu等人, 2019）、平均场均质化（Wu等人, 2021a）或从Hill-Mandel条件导出的相互作用（Nguyen和Noels, 2022b; Nguyen和Noels, 2022a）。由于该方法具有热力学一致性（Gajek等人, 2020; Gajek等人, 2021），它可以仅从弹性数据训练，同时具备在加载条件和材料参数上的外推能力，甚至异质材料体积分数上的外推能力（Wu和Noels, 2025）。然而，其缺点是由于需要在材料节点处求解各相的本构律，在线阶段需要迭代，因此比RNN更慢。

鉴于数据驱动方法在复合材料领域取得的这些近期成功，其在预测结构失效或强度方面的应用引起了越来越多的关注。机器学习方法可以直接应用于结构尺度（Furtado等人, 2021）来预测层合复合材料的允许载荷，但也可以利用损伤RVE响应的代理模型来进行多尺度模拟，从而直接从微观结构响应预测复合材料失效。然而，模拟经历损伤过程的异质材料仍然具有挑战性，因为它涉及裂纹在不同尺度间的传播。特别是，在进行涉及微观尺度起源损伤的多尺度模拟时，会遇到两个困难。

第一个问题是RVE的概念在均质化应变-应力曲线的应变软化开始后便不再成立，因为它取决于微观尺度边界值问题的大小，如图2(a)所示：RVE越大，局部化前储存的弹性能越大，响应越脆。除了这一源于物理学的困难之外，第二个困难是纯粹的数值问题，当应力-应变曲线出现应变软化时，由于椭圆性的丧失从而导致解的唯一性丧失。结果，有限元求解不随网格细化而收敛，在结构尺度上，力-位移曲线呈现出随网格大小变化的软化，如图2(b)所示。虽然这一现象对于任何材料模型在由?σ/??=0定义的应变软化开始点之后都是典型的，但在多尺度设置中，这是由于RVE响应在?σM/??M=0点之后表现出的软化所导致的，其中σM和?M分别为宏观尺度的无穷小应力和应变张量。

这些困难在多尺度模拟的背景下得到了部分克服。可以通过在宏观尺度考虑内聚力模型来避免解的唯一性丧失。Ke和van Der Meer（2022）从内聚力跳跃和尺度过渡参数长度h重新计算了宏观应变张量，并将其施加到嵌入内聚力单元的RVE上，从而提取独立于RVE大小的均质化内聚力牵引。在连续介质损伤力学的背景下，通过考虑RVE的自聚类分析，Liu等人（2018）将非局部公式——通过宏观尺度执行的卷积积分——应用于与RVE各簇关联的标量损伤。微观尺度的损伤律随后经过校准以恢复均质化材料的临界能量释放率Gc（通过直接数值模拟获得）。在Wu等人（2021b）中，考虑了非局部/相场平均场均质化——其中RVE保持抽象且不进行离散化——相的响应根据隐式非局部方法（Peerlings等人, 1996）或相场模型来表述。在前一种情况下，非局部长度经过校准以恢复均质化材料的失效能量Gc。在Chaouch和Yvonnet（2024）中，微观模型按照相场方法求解，而宏观尺度的非局部框架通过将应变张量表述为非局部量来获得。这种FE2多尺度模拟通过宏观尺度执行无监督机器学习对相似状态的宏观单元进行聚类来加速。

除了上述参考文献——其中微观问题通过数值或半解析方式求解，如平均场方法——数据驱动方法目前也在开发中，用于在损伤过程中替代RVE求解。在Kovács等人（2025）中，为了表征剥离通过内聚力单元建模的RVE响应，PRNN被扩展以考虑在"材料层"（求解（无损伤的）体响应）之上的节点解决内聚力律。该方法尚未处理软化问题。为了建模纤维剥离，在Liu（2020）中，DMN选定的底层节点被扩展了所谓的"内聚力网络"，其中嵌入了体材料模型和由方向和长度尺度定义的内聚力界面。训练分两个阶段进行：首先在类似经典DMN的情况下不激活内聚力单元时，使用弹性张量数据进行训练；然后在激活内聚力界面的情况下考虑弹性张量。内聚力界面的不可逆响应在在线预测阶段被捕捉。这一初步扩展既不能建模体损伤也不能建模局部化，推动了Liu（2021）的开发，其中在不同树层级节点中嵌入了内聚力单元，其方向和长度尺度现在在在线阶段进行评估。Deng等人（2024）开发的物理信息神经网络从预测的（无损伤的）有效应力张量重构标量损伤和（受损的）表观应力张量。宏观标量损伤以非局部形式处理。考虑到将均质化尺度上的损伤视为标量过于受限，均质化微观响应的损伤的谐波分析表示在Chafia等人（2025）中得到应用，其中损伤模态系数——即宏观内部变量——通过数据库中的插值进行预测，无法捕捉历史效应；在宏观尺度上，非局部公式应用于宏观应变张量。Yvonnet和He（2025）将该方法扩展到处理带卸载的情况，通过使用前馈神经网络预测（降阶的）宏观内部变量或其速率，并对预测的损伤演化添加单调性约束。然而，该方法无法处理非比例加载路径，微观问题局限于损伤弹性。

尽管有这些最新进展，所开发的方法仍然针对特定代理模型，并且在微观结构和相响应方面存在局限性。

失败多尺度模拟中的主要困难在于，由代表体积单元（RVE）响应的代理模型所预测的局部表观应力无法直接应用，因为它会受到多尺度失效分析中已指出的局限性：一方面，在同构化应力-应变响应超过应变软化起点后，RVE的概念将不复存在，此时代理模型的应力预测将失去物理意义；另一方面，代理模型所预测的应变软化会在宏观尺度上引起椭圆性丧失。本工作旨在开发一种"封装非局部框架"，见图3，该框架旨在用于（多尺度）模拟的宏观尺度层面。该框架通过局部的软化应力-应变σ(X,t)??(X,t)响应来重构非局部损伤应力-应变响应，该响应来自经典的本构定律、RVE求解或代理模型，且不假设特定的损伤结构。为此，在表观（损伤）空间和有效（未损伤）空间中均施加虚拟卸载，以提取残余（塑性）应变和损伤结构。随后利用后者的非局部形式来重构应力张量，从而避免网格尺寸问题。此外，在评估非局部场时所定义的特征长度经过校准，以恢复底层材料的临界能量释放率Gc，防止结果依赖于RVE尺寸。

本文的组织结构如下。第2节概述了Peerlings等人（1996）开创的隐式非局部公式的概念，第3节回顾了基于均质化的多尺度模拟的关键原理。第4节详细介绍了封装非局部框架，并通过将框架预测与底层损伤本构材料模型的经典非局部形式预测进行比较，在具有损伤的本构材料模型情况下验证了其精度。在第5节中，我们将该方法应用于复合材料RVE均质化响应的代理模型，特别考虑了自洽增强最小循环单元（Wu和Noels，2024），并证明该代理模型无需修改即可直接使用。第6节将该方法应用于单向复合材料UD失效，对复合板试样进行多尺度模拟。在定义用于生成合成数据库的RVE并训练代理模型后，首先在较小尺寸试样上展示了数据驱动方法能够恢复直接数值模拟预测的失效响应且不存在病态问题，并且在标定特征长度后可以恢复临界能量释放率Gc。随后证明该数据驱动方法可应用于更大尺寸的试样，与直接数值模拟相比自由度大幅减少。最后在第7节讨论了结论和展望。

章节摘要——隐式非局部公式回顾：当本构模型σ(X,t)=σ(?(X,t);{Z(X,τ)},τ∈[0,t])，其中Z={Zi:i=1,…,n}代表历史依赖过程的一组内部变量，表现出应变软化时，在空间Ω和时间t上定义的边值问题（BVP）会丧失椭圆性及其解的唯一性。本工作中，算子{•}用于表示集合。为克服这一问题，在Peerlings等人（1996）开发的隐式非局部框架中，引入一个子集{Zi:i=1,…,?}的非局部对应项{Z?i:i=1,…,?}。

基于代理模型的多尺度模拟：本节简要回顾了多尺度模拟背景下均质化的原理，重点在于微观尺度模型以考虑损伤过程。随后引入了基于代理模型的多尺度模拟概念。

封装非局部框架：为了解决第3.2节中所述的当均质化应力-应变响应σM??M出现应变软化时的困难，本节开发了图3所示的封装非局部框架。具体而言，从预测的均质化应力-应变响应σM??M重构一个应力-应变响应σrec??M，使其按照第2节描述的非局部公式进行框架化。该非局部框架的开发旨在能够……

作为损伤均质化微观响应的代理模型——自洽循环神经网络：本节考虑了一个基于自洽循环神经网络构建的损伤RVE均质化微观响应的代理模型，旨在将其封装在所提出的非局部框架中。我们首先简要回顾了基于自洽增强最小循环单元（使用全应变，SC-MRU-T）的循环神经网络（RNN）（Wu和Noels，2024），以及它如何应用于非局部封装框架中作为代理模型。随后我们……

应用于基体失效的单向（UD）复合材料：本节通过对2D体积单元进行有限元模拟来构建合成数据库，这些单元表现出基体失效。该数据库用于训练第5节所述的代理模型，随后将其嵌入第4节建议的非局部框架中。这最终使得能够对单向复合材料板试样进行基于代理模型的多尺度模拟并考虑失效，其结果与直接数值模拟进行比较。

结论与展望：我们开发了一种能够处理均质化响应中应变局部化和软化的非局部基于代理模型的多尺度方法。这是通过封装非局部框架实现的，该框架从局部均质化响应评估塑性应变张量和损伤弹性张量，并以非局部方式对其进行框架化。通过适当评估特征长度，复合材料的响应在能量上……

CRediT作者贡献声明：Cyrielle Anglade：撰写—原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、形式分析、概念化。Ling Wu：撰写—审阅与编辑、可视化、监督、方法论、概念化。Guerric Lemoine：撰写—审阅与编辑、形式分析。Ludovic Noels：撰写—审阅与编辑、监督、软件、资源、项目管理、方法论、资金获取、数据整理、概念化。

利益冲突声明：作者声明不存在已知的竞争性经济利益或个人关系，这些可能影响本文所报告的工作。

致谢：本项目获得了欧盟地平线欧洲框架计划（Horizon Europe）第101056682号资助协议的资助，用于"DIDEAROT"项目（DIgital DEsign strategies to certify and mAnufacture Robust cOmposite sTructures）。本出版物的内容完全由ULiege负责，不一定反映欧盟的意见。欧盟或资助机构也不对其负责。

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