满足真实应力 - 真实应变单调性条件（TSTS-M++）的全局定义可压缩多凸各向同性能量

《European Journal of Mechanics - A/Solids》：A globally defined compressible polyconvex isotropic energy satisfying the true-stress-true-strain monotonicity condition (TSTS-M++)

　　

主要贡献：
• 我们在整个 GL+(3) 上给出了一个显式的可压缩多项式凸能量。
• 全局 TSTS-M++ 恰好在且不低于一个尖锐阈值处成立。
• 每一个对称 Cauchy 应力都对应唯一的正伸长。
• 平面应变环体在压力单调增加的情形下存在唯一的径向平衡。
• 引入 I2 依赖后仍保持多项式凸性、TSTS-M++ 以及应力可逆性。

引言

1956 年，Truesdell 将有限弹性的主问题（Hauptproblem）表述为寻找"可作为完美弹性材料应变能量密度的那类函数"（Truesdell, 1956），而此问题至今仍未解决。Truesdell 与 Noll 随后将这一问题置于本构不等式的框架下：在热力学相容性之外，人们寻求先验条件以排除不合理的弹性响应（Truesdell and Noll, 1965）。由于第二定律本身并不约束 W 的具体形式，因而必须选取额外的本构限制。本文着手处理 Neff 所提出的由此而来的现代本构问题：是否能在整个 GL+(3) 上定义一个可压缩各向同性超弹性能量，同时兼具体变可容许性、Cauchy 应力响应的全局单调性以及可逆性，并具有稳定的无穷小 Hooke 定律。

多项式凸性是借助直接法获得极小值存在性的标准途径。在适当的强制性、增长性以及边界假设下，将 W 表示为关于独立次变量 (Y,G,J)（在 (F,Cof F,det F) 处取值）的凸函数，可得到弱下半连续性，从而获得变分意义下的存在性（Ball, 1976, Ciarlet, 1988）。多项式凸性蕴含拟凸性（Morrey, Jr., 1952）与一阶凸性，后者给出 Legendre-Hadamard 条件。经典的可压缩多项式凸构造与不变量判据已有文献可用（Ciarlet and Geymonat, 1982, Steigmann, 2003）。这些结果控制了能量对变形梯度及其次变量的依赖关系，但并不能判定 Cauchy 应力映射相对于 Hencky 应变（对数应变）是否严格单调。

第二条研究脉络直接处理应力响应。Hill 的本构不等式通过 Kirchhoff 应力的 Zaremba-Jaumann 速率加以表述，对超弹性材料而言，它将 Kirchhoff 应力/Hencky 应变映射的单调性与能量作为 log V 的函数的凸性联系起来（Hill, 1968, Hill, 1970）。Leblond 随后对 Cauchy 应力施加了类似的速率不等式，并引入了现已称为 TSTS-M++ 的真实应力-真实应变单调性条件（Leblond, 1992）。设 X = log V 为 Eulerian Hencky 应变，并令 σ?(X) = σ(e^X)。该条件要求对所有 X ∈ Sym(3) 及所有 Z ∈ Sym(3)\{0} 满足 ?DX σ?(X)·Z, Z? > 0。

此条件要求应力导数的对称部分在每一个 Hencky 应变处均为正定。对连续可微的响应，沿凸空间 Sym(3) 中的 X(t) = (1?t)X? + tX? 进行积分，可得严格的 Hilbert 单调性，记作 TSTS-M+（Wollner et al., 2026a 式 (1.13)–(1.14)）：对所有 X? ≠ X? ∈ Sym(3) 满足 ?σ?(X?) ? σ?(X?), X? ? X?? > 0。

因此全局 TSTS-M++ 蕴含 TSTS-M+；一般情况下反之不成立。微分条件在每个切方向上被检验，而其全局有效性则约束任意两个有限应变状态之间的应力差。有限增量不等式给出 V ? σ(V) 的全局单射性；满射性则需要另外的论证。Voss et al.（2026a, arXiv:2608.07087v1, 第 3.4 节, 第 18 页）定理 3.25 将各向同性张量函数的这一有限增量单调性与其主值表示的相应单调性联系起来。

共转稳定假设（CSP）要求对每个 D ≠ 0 满足 ?D°/Dt σ, D? > 0，其中 D = sym(? F?1) 为变形速率张量，D°/Dt 表示某个指定的共转速率。对各向同性 Cauchy 弹性材料而言，针对 Zaremba-Jaumann 速率的 CSP 等价于 TSTS-M++（d'Agostino et al., 2025 第 3 节, 注 A.8）。针对其他合适的共转速率的等价命题在 Voss et al.（2026b）中另行讨论。对理想流体而言，该条件退化为经典的、压强随密度增加而增大的要求。

最简单的、显式满足 TSTS-M++ 的本构律为 Hencky 1928 年的 Cauchy 弹性关系（Hencky, 1928）：σ(V) = σ?(log V) = 2μ log V + λ L? tr(log V) 1，μ > 0，2μ + 3λ L? > 0。

其对 log V 的导数即为正定的各向同性 Hooke 张量。该本构律并非超弹性，且在全局上不满足 Legendre-Hadamard 椭圆性。

在局部本构限制的层面，Leblond 证明其 Cauchy 应力速率不等式对每个 D ≠ 0 满足 ?DZJ/Dt σ, D? > 0，与多项式凸性一般是相互独立的（Leblond, 1992）。据我们所知，最早明确已知全局满足 TSTS-M++ 的显式超弹性能量是全对数范数指数化 Hencky 能量 W_eH(F) = μ k_eH exp(k_eH ‖log V‖2)，其中 k_eH > 3/8，由 Neff、Ghiba 与 Lankeit 提出（Neff et al., 2015）。Martin、Ghiba 与 Neff 随后证明，‖log V‖2 的任何严格递增外层函数都不能在整个 GL+(3) 上产生一阶凸的能量（Martin et al., 2018）。尽管 W_eH 并非全局一阶凸，其 Cauchy 剪应力在简单剪切中仍保持单调递增。反之，函数 F ? exp(‖F‖2 ? 2 log det F) 是多项式凸的，但不满足 TSTS-M++。综合来看，这些例子说明仅凭一个指数包络并不能调和多项式凸性与 TSTS-M++。

围绕 2024 年 IUTAM 研讨会的系列研究确立了 TSTS-M++、共转稳定性与局部应力可逆性之间的联系（Neff et al., 2024）。Neff et al. 研究了超弹性速率形式中的共转稳定性，建立了其对对数速率情形下的相应等价性，并将如下重大开放问题予以明确：寻找一个客观的各向同性能量，使其多项式凸，或至少 Legendre-Hadamard 椭圆，同时全局满足共转稳定假设（Neff et al., 2025a）。一篇姊妹研究推导了在均匀对角变形下正的增量 Cauchy 模量以及 Cauchy 应力-伸长效应的局部可逆性（Neff et al., 2025b）。其后一篇速率形式分析（上文已提及）展示了同一正定性如何进入空间平衡系统所诱导的四阶切线刚度，并给出了一个一致正定的 Cauchy 弹性示例（Neff et al., 2026），从而确立了共转稳定假设在速率形式平衡中的解析角色。这些工作共同阐明了微分条件及其局部解析后果；未解决的一步仍在于给出一个有限值的多项式凸能量并实现全局应力可逆。

在他们的 IUTAM 报告中，Neff 及其合著者以四项要求的术语表述了这一相容性问题；该报告随后在 ResearchGate 上传播（Neff et al., 2024）。三维挑战要求给出一个可压缩各向同性能量 W，同时满足：(a) W 在整个 GL+(3) 上有定义且多项式凸，或至少一阶凸；(b) 其 Cauchy 应力相对 Hencky 应变全局满足 TSTS-M++；(c) V ? σ(V) 是从 Sym++(3) 到 Sym(3) 的双射；(d) 参考态的线性化是一个剪切模量与体积模量均为正值的各向同性 Hooke 定律。承认存在非存在性证明也是一种可接受的答案。由于各向同性使得变形梯度 F 与其与旋转 Q ∈ SO(3) 的右乘积 FQ 产生相同的 Cauchy 应力，要求 (c) 被表述在正定伸长变量 V 上。

后续研究（Ghiba et al., 2026）阐明了为何局部诊断与各自独立的稳定性条件无法解决这一挑战。Ghiba et al. 数值比较了一组具名各向同性能量的局部可逆性与局部单调性，并讨论了局部可逆与全局可逆之间的区别。非奇异的应力切线仅给出局部可逆性；TSTS-M++ 在凸空间 Sym(3) 上积分后得到严格的 Hilbert 单调性，从而给出全局单射性，而双射性还额外要求每一个对称 Cauchy 应力都能被达到。在一个互补方向上，Wollner、Holzapfel 与 Neff 将 IUTAM 问题重新表述为挑战 (i)，并通过显式示例使多项式凸性与 TSTS-M++ 的独立性具体化（Wollner et al., 2026a）。他们给出的三种同时满足两个条件的构造仅在由 ‖F‖^α < β、‖Cof F‖^α < β 或 log2 det F < β 定义的域上取有限值，在域外取 +∞。因此全域有限值的问题在那篇文献中仍保持开放。

现有研究在不同的变形约束与不同的能量域下考察了多项式凸性与应力单调性的相容性。在不可压缩情形下，Wollner et al.（2026b）证明由 Ball 型充分参数化覆盖的一大类能量可以同时满足多项式凸性与相应的 TSTS 单调性条件。这一联系还与维度有关：在二维中，每一个可微、客观且各向同性的多项式凸能量都满足弱 Hill 不等式（Ghiba et al., 2027）；在三维中，仅凭多项式凸性不足以保证 TSTS 单调性（Klein et al., 2026）。对可压缩变形而言，Anssari-Benam 与 Saccomandi（2025）的极限链伸长模型提供了此类构造的另一基础：其可独立选取的体积贡献部分为考察上述本构要求提供了自由度。在极限链参数区间内，能量在有限伸长边界处发散，用以描述分子链的伸长效限。因此这些模型的本构条件在能量有限的域上加以考察。本文进一步考察这些要求在整个 GL+(3) 上的相容性，要求能量在每一个保持定向的可逆变形处都光滑且取有限值。

本文对挑战 (i) 给出了一个显式的肯定性回答。对每个 μ > 0 和 k > 0，第 2 节定义的 W_k 在整个 GL+(3) 上取有限值、光滑、多项式凸且严格一阶凸；其参考态为无应力态，且其无穷小模量为正。若 k ≥ k* := 1/(8√3)，其 Cauchy 应力响应全局满足 TSTS-M++，且 V ? σ(V) 是双射。因此，据我们所知，W_k 是首个在整个 GL+(3) 上显式给出、取有限值、光滑并同时满足四项要求的能量。同一族能量还分离出两个尖锐阈值：k* 控制 TSTS-M++，而应力双射性在严格更小的值 k_B 处就已实现。

我们称一个光滑、客观且各向同性的可压缩超弹性模型为超 Hooke（hyper-Hooke），若其能量在整个 GL+(3) 上取有限值且多项式凸，且其 Cauchy 应力相对对数应变全局满足 TSTS-M++。命名类比于经典 neo-Hooke 模型，其能量包含与 I? = ‖F‖2 线性相关的项。该定义允许 I? 依赖，并对 Kirchhoff 应力不加条件。与正定线性弹性类似，这些模型具有一阶凸的能量与严格单调的应力响应，其有限应变单调性以 (σ, log V) 这一对为对象表述。能量 W_k 在 k ≥ k* 时给出一个显式的超 Hooke 模型。

对于无面力的平面应变环体且 k ≥ k*，附录 B 证明 a ? p_i(a) 是从 [A, ∞) 到 [0, ∞) 的双射。这里 p_i(a) 是维持当前空腔半径 a 所需的内压，外边界无面力；下标 i 表示内壁。以参考内半径 A 为基准，且 a = r(A) 时，压强为 p_i(a) = ?σ_r(A)，使用参考坐标标记应力场。附录 B 将 W_k 与多项式凸 Ciarlet-Geymonat neo-Hooke（CG-NH）律、满足 TSTS-M++ 的指数化 Hencky 律，以及一个多项式凸但无应力且 I? 型指数、却不满足 TSTS-M++ 的模型进行比较。对 W_k 而言，径向存在性与唯一性、压强严格增加以及无界增长共同构成了全局双射性。对不可压缩球体膨胀，附录 C 证明在 Demiray 族的 b ≥ b* 时全局压强可逆，包括 W_k|_{J=1}（k ≥ k*）与 W_exp|_{J=1}；指数化 Hencky 能量在 k_eH > 3/8 时由另一闭合公式给出同样的可逆性。因此，具有不同三维多项式凸性与 TSTS-M++ 性质的本构律共享同一球面薄膜压强可逆性。在所述范围内，球面压强无折返点这一性质为该族特有。附录 C 识别了更小的 Demiray 阈值 b_c ≈ 0.067 < k*，并将其与三维 TSTS 条件加以区分。其他广义 neo-Hookean 能量可同时表现出极限点与第二条上升支（Anssari-Benam et al., 2022）。C.5 推导出压强增长判据。C.6 则给出一个可压缩 I? 能量，具有与 W_k 相同的参考模量。它在允许球面压强下降的同时保留了全局多项式凸性、严格椭圆性、TSTS-M++ 与应力双射性。第 6 节将这些结构响应与能量的材料限制一并讨论。

核心本构结论如下。

定理 1
设 μ > 0 且 k > 0。第 2 节引入的能量 W_k 在 GL+(3) 上光滑（C^∞），客观且各向同性，多项式凸且严格一阶凸。参考态无应力，其无穷小模量为 μ 与 κ? = 8μ/3。若 k ≥ k* := 1/(8√3)，其 Cauchy 应力响应全局满足 TSTS-M++，且映射 V ? σ(V) 是从 Sym++(3) 到 Sym(3) 的双射。

注 1（可压缩 Hill 单调性）
对每个 k > 0，Kirchhoff 应力 τ_k = J σ_k 相对 log V 满足全局严格 Hill 单调性，且 V ? τ_k(V) 是从 Sym++(3) 到 Sym(3) 的全局 C^∞ 微分同胚。对该族能量而言，即使 0 < k < k* 使得全局 Cauchy 应力 TSTS-M++ 失效，这两项性质依然成立。对不可压缩响应，J = 1 且 τ = σ，因此在可容许的无迹对数应变上，Hill 单调性与 TSTS 单调性一致（Wollner et al., 2026b）。不确定的静水压力不会贡献于相应的应力-应变配对。

定理 2
若 0 < k < k*，则 W_k 在某个有限变形处不满足 TSTS-M++。

定理 1 与定理 2 表明，W_k 为超 Hooke 模型当且仅当 k ≥ k*。

定理 3
设 ?_B 为 r(?) := 4?11 + 4?1? ? 81?? ? 102?? ? 81 = 0 的唯一正根，并令 k_B = 2?_B3 / [3(?_B? ? 9)3(?_B? + 2?_B? ? 3)2] ≈ 0.0083。若 0 < k < k_B，映射 V ? σ(V) 非单射。若 k = k_B，其为全局同胚，但在临界应力处其逆映射不可微。若 k > k_B，其为全局 C^∞ 微分同胚。

尤其对于每一个kB≤k0的严格Hill单调性和Kirchhoff应力双射性。第3.5节记录了Wk的I2类似物，并给出平行论证。各向同性谱导数分解将TSTS-M++简化为对称主应力切线的正定性与正非共轴模量（Leblond, 1992, Wollner et al., 2026a）。第4节构造了有限变形见证，表明k?无法降低。第5节转而研究非对称化应力切线及其静水奇异性，确定双射阈值kB，并证明定理3；全局求逆与局部切线条件之间的区别遵循Ghiba et al., 2026, ?ilhavy, 1997。附录A记录了四种均匀变形模式下的闭式柯西应力和增量响应。附录B证明了完整的环形压力反转定理，并在径向应力反转、约化凸性、全局射击、压力单调性和端点增长方面将Wk与Ciarlet–Geymonat neo-Hooke、指数化Hencky和无应力I1-指数能进行对比。附录C证明了Demiray家族在b≥b?时的球形薄膜压力反转，并导出了不可压缩neo-Hooke的极限点。图1(b)记录了所有k>0时全局Kirchhoff应力双射性和严格Hill单调性。图1在一个参数图中将两个尖锐阈值及其失效机制并列呈现：面板(c)中的静水折叠在kB以下产生非单射性，而面板(d)中的有限失真方向则证明了k?以下TSTS-M++的丧失。

## 片段

### 存储能函数及其柯西应力

设F∈GL?(3)且J=det F。Frobenius范数的平方为‖F‖2=tr(FTF)=∑i,j=1^3 Fij2。我们使用I?=‖F‖2和I?=‖Cof F‖2作为柯西-格林张量的前两个主不变量。对于μ>0和k>0定义：

P(F)=‖F‖2+3J?1+J,

Wk(F)=μ/2k[exp(k(P(F)?7))?1]。

此处μ>0为无穷小剪切模量，σref=μ/2为图中使用的应力尺度，k为无量纲有限应变硬化参数。项‖F‖2度量整体拉伸水平，3J?1提供防止消失的势垒。

### 多凸性与秩一凸性

为定义凸代表函数，需区分物理变形梯度F∈GL?(3)与独立微分变量(Y,G,J)∈?3?3×?3?3×?。此处J为独立标量参数。仅当代表函数在物理微分量上求值时，才将其设为det F。设：

P(Y,G,J)=‖Y‖2+3J?1+J, J>0; +∞, J≤0。

第一项在Y中是凸的，且独立于(G,J)。函数J?3J?1+J在(0,∞)上严格凸；其+∞延拓是闭凸的。因此P在独立变量中是凸的。

### 定理2的证明：TSTS-M++的尖锐阈值

上述论证证明了k≥k?时TSTS-M++成立。要表明该界无法降低，只需找到一条有限应变路径和一个增量方向，使得沿该方向的单调性配对变为负值。考虑定容路径：

?d=(?d, ??d, ?log 3), ?d∈?。

沿此路径的三个主拉伸为(e^(?d), e^(??d), 3)，体积比保持J=3。随着|?d|增大，一个方向拉伸而另一个方向收缩，因此失真变形在定体积比下增长。

### 定理3的证明：应力双射性的尖锐阈值

尽管TSTS-M++和应力双射性涉及相同的主切线，但它们检验的是不同的本构性质。TSTS-M++要求其对称部分Tk为正定的。非奇异非对称化切线给出局部C1可逆性，而全局双射性还需要唯一地达到每一个应力，并且可以容忍孤立切线奇异性。因此在k?以下TSTS-M++的丧失本身并不意味多重拉伸；双射阈值……

### 本构范围与建模局限

本节讨论所提能量的范围与建模局限。前述结果首先确定物质点的弹性响应：全局应力求逆为每个给定的对称柯西应力赋予唯一正定拉伸。在TSTS-M++区间内，逆映射是光滑的，因此给定应力的微小变化导致光滑变化的恢复拉伸和良定义的逆本构切线。这提供了全局唯一的弹性响应。

### 结论

本文对2024年IUTAM研讨会（Neff et al., 2024）宣布并经Wollner, Holzapfel和Neff（Wollner et al., 2026a）形式化的问题给出了肯定回答。对于每一个μ>0和k>0，Wk在整个GL?(3)上定义，是多凸且严格秩一凸的，具有无应力参考状态和正无穷小剪切与体模量。对于k≥k?，Wk是一个超胡克模型，其柯西应力将正定拉伸双射映射到所有对称应力。

### CRediT作者贡献声明

Dongxin Bai：撰写-初稿，软件，方法论，调查研究，形式分析，数据整理，概念构思。

Yunhao Wu：可视化，调查研究，形式分析。

Yong Li：撰写-审阅与编辑，验证，监督，资源，资金获取。

Kai Zhang：撰写-审阅与编辑，验证，监督，资源，资金获取，概念构思。

Patrizio Neff：撰写-审阅与编辑，验证，概念构思。

### 利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本文报告工作的已知竞争财务利益或个人关系。

### 致谢

存储能族Wk和两个阈值假设最初是由作者编写的符号搜索程序筛选出来的。作者使用OpenAI GPT-5.6审阅了证明草稿、检查了代码并协助语言编辑。作者审查了所有输出并对发表的文章承担全部责任。

我们于2026年7月31日发现了Wk；全部验证已于2026年8月15日完成。在投稿过程中，作者获知：

Dongxin Bai | Yunhao Wu | Yong Li | Kai Zhang | Patrizio Neff