基于辛弹性方法的热压电半导体微板振动分析

《European Journal of Mechanics - A/Solids》：Symplectic elastic method for vibration analysis of a thermo-piezoelectric semiconductor microplate

　　

• 首次推导了电化学势与载流子密度之间的关系。
• 首次建立了包含半导体效应的变分框架用于振动分析。
• 首次将辛弹性方法扩展应用于TPES微板的振动分析。
• 当德拜长度等于板厚度时，压电-半导体耦合达到峰值。
• 利用边带条件预测移动激光共振的临界速度。

## 引言

压电半导体材料（如ZnO和GaN）作为一类集压电效应与半导体特性于一体的智能材料，已成为构建下一代自供能纳器件、智能传感器和可调谐谐振器的基础材料体系（Wu and Wang, 2016; Wang and Wu, 2014）。其独特的力学-电场载流子多场耦合机制构成了压电子学和压光电学的基础，使得通过应变（压电效应）调节载流子输运特性以及通过光-电-力耦合调控光电过程成为可能（Wang and Wu, 2025; Liu et al., 2014）。

移动激光载荷已广泛应用于微结构加工与制造中，包括扫描激光多普勒振动测量、激光退火/光刻工艺以及压电半导体光电器件中的光写入。Zhou等（2024）利用超快电子显微镜直接观测了飞秒激光负载激发下金纳米片在无损条件下的发射过程，并通过皮秒时间分辨超快电子晶体学确认了激光诱导应力波的存在。在半导体的微/纳加工领域，激光尖峰退火（LSA）是40 nm及以下先进节点的关键技术。激光光斑沿预定轨迹连续扫描，形成移动热源，这是移动激光载荷的一个典型工程实例（Zhan et al., 2025）。

近年来，随着二维压电半导体材料的快速发展，光控微/纳机电系统（MEMS/NEMS）在材料选择、器件构型和控制机制方面的研究不断深入。特别是，光激效应通过引入非平衡光生载流子，不仅显著改变了半导体的导电性，而且通过与压电势的复杂相互作用主动调制结构的力学状态，为光控MEMS/NEMS的实现提供了一种新颖的物理范式（Yang et al., 2012; Bayram et al., 2022）。然而，当器件尺寸达到微-纳尺度并在动态热-力学-电多场环境中工作时，其物理表征变得异常复杂。尺度效应、热弹耗散和非线性半导体输运之间的相互作用对传统建模和分析方法提出了重大挑战。

首先，经典连续介质力学中的局部应力假设在微-纳尺度上不再完全适用。非局部弹性理论引入了一个本征长度尺度参数，提出材料某一点的应力状态不仅取决于该点的应变，还取决于其邻域内所有点的应变（Eringen, 1972; Lim et al., 2015）。该理论能有效预测小尺度结构在静动态载荷下展现的尺度相关现象，如刚度软化和频率偏移。因此，将非局部理论纳入压电半导体板的建模对于准确预测其高频振动过程中的动态行为至关重要。其次，当压电半导体器件在高速或瞬态热载荷（如激光照射引起的热冲击）下工作时，由力学耗散和焦耳热产生的温度场急剧变化。在这些条件下，经典傅里叶热传导定律由于其固有的暗示热传播速度为无穷大的悖论而变得不足以准确描述瞬态热行为。这一局限性催生了广义热弹性理论，其中Green-Naghdi III型（G-N III）理论尤为引人注目（Green and Naghdi, 1993; Choudhuri, 2007）。该理论允许能量耗散并预测阻尼热弹波。此外，与其II型类似，它也引入了有限的热波传播速度，从而为描述热弹耦合中的波行为提供了更全面的框架。将G-N III理论引入压电半导体系统对于研究其在高频振动过程中热-电-弹耦合耗散机制具有根本性意义。

包含非局部弹性、粘弹性基础和移动载荷的结构的振动分析已被广泛研究。在理论建模方面，一阶剪切变形理论由于能有效描述中等厚度板的横向剪切变形且计算复杂度适中，已成为分析板结构动力学的理想选择（Mindlin, 1951）。基于一阶和高阶剪切变形理论以及Mindlin板理论，Tran等（Tran et al., 2020a, 2020b; Pham et al., 2021, 2023）研究了弹性或粘弹性基础上的功能梯度多孔板、夹心复合板和纳米板的自由振动和移动载荷响应。这些研究纯属力学范畴，主要关注位移、频率和动态响应。近年来，一些研究开始将机电耦合引入板振动分析。基于Kirchhoff板理论和高阶剪切变形板理论，Pham等（Pham et al., 2024a, 2024b; Do and Pham, 2023）分别考虑了弯电、压电和磁-电-弹耦合效应。他们分析了粘弹性基础上纳米薄片的自由振动、压电功能梯度多孔板的振动控制以及爆炸载荷下磁-电-弹复合板的动态响应。然而，这些工作主要关注可逆的力学-磁电耦合，不涉及不可逆的热弹耦合或载流子耦合。即使包含了热环境或粘弹性基础，其不可逆性也源于外部热载荷或基础的粘弹性，而非机电耦合本身。因此，这些研究无法在统一框架内捕捉热-电-力-载流子的耦合行为。此外，不可逆转热弹耦合也得到了研究。Pasternak支撑纳米梁在瞬态和振动响应中的尺度效应和热弛豫效应已被考察，其中时间微观尺度效应由分数阶Zener双相位迟滞热粘弹性模型或分数阶三相位迟滞热弹性模型描述，空间微观尺度效应由非局部理论捕捉（Zakria et al., 2025; Liu and Ma, 2026）。关于移动激光激发，Ma和Liu（2023）建立了20 nm × 20 nm × 1 nm矩形纳米板在移动激光载荷（建模为Dirac δ点源）下的非局部双相位迟滞模型。然而，仅考虑了从温度场到弹性场的单向耦合。

尽管上述理论在其各自领域取得了成功，但目前尚无研究系统地整合它们来解决考虑尺度效应和广义热传导的压电半导体板的振动问题。大多数现有研究聚焦于一个或两个物理场的孤立方面，缺乏统一理论框架来揭示非局部效应、热弹耗散和压电半导体之间的深层相互作用机制。近年来，一些研究开始探索更复杂的耦合行为。例如，Mei等（Mei et al., 2024）研究了热场对压电半导体纤维行为的影响。Liu等（2014）回顾了压电子学中多场耦合的理论进展。Sladek等（Sladek et al., 2022）利用数值方法探讨了应变梯度对压电半导体纳米结构的影响。Luo等（Yuhang et al., 2025; Luo et al., 2026）采用改进的勒让德多项式展开法研究了压电半导体纳米板中SH波和Lamb波的传播，考虑了表面和非局部效应。Song等（Song and Qing, 2026; Song et al., 2026）采用双相局部/非局部积分模型（TPNIM）来捕捉尺度效应，研究了压电半导体纳米棒/纳米梁的静力延伸、轴向振动、弯曲和屈曲行为，阐明了纳米尺度机电耦合中应变驱动型与应力驱动型TPNIM之间的差异。这些工作凸显了该领域向多物理场和跨尺度发展的趋势，然而其中没有任何一项提供了专门针对力-电-热-载流子耦合振动问题的建模和求解方法。

将非局部效应和广义热传导与压电半导体固有的力-电-载流子耦合相结合，将导致一组高度耦合的偏微分方程。求解如此复杂的多物理场问题对传统半逆法或数值方法提出了重大挑战。在此背景下，辛弹性方法作为基于哈密顿系统的强大数学工具，在解决此类复杂耦合问题方面展现出独特且巨大的潜力。尽管该方法在弹性、压电和复合材料领域已取得显著成功（Zhong and Williams, 1995; Yao and Zhong, 2022; Xu et al., 2021），但其在半导体多物理场建模中的应用，特别是在压电半导体动力学问题中的应用，仍处于萌芽阶段，代表着一个亟待探索的前沿领域。

本研究推导了电化学势与载流子浓度之间的关系，并利用哈密顿原理获得了控制方程。为TPES微板建立了辛弹性模型，分析了自由振动（固有频率和振型）以及在移动激光载荷作用下的受迫振动。不同于传统的纯数值解法和半数值方法（如拉普拉斯变换及其逆变换），本文通过共轭辛正交性获得了解析解，给出了位移、转角、电势和载流子密度的响应。此外，讨论了移动激光载荷情况下共振的临界速度。

## 本构方程与控制方程

本节建立了热-压电-半导体（TPES）微板的本构方程和控制方程。如图1所示，TPES微板的厚度为h。la和lb分别表示微板的长和宽。方程以笛卡尔坐标系表示。选取板的中面（z = 0）作为Oxy平面。假设u1、u2和u3分别为x、y和z轴方向的位移分量。

## 辛几何与通解

本节提供了针对本文TPES微板的辛框架的全面阐述。首先介绍辛几何的基本概念，包括状态向量的定义、辛内积和哈密顿算子矩阵。然后将第2.3节推导出的控制方程转化为一阶状态方程。利用分离变量法，得到齐次和非齐次……

## 数值结果与讨论

在呈现数值结果之前，总结本模型的假设和预期适用范围。本模型建立在以下假设基础上，并在相应范围内有效：（1）线性小变形；（2）一阶剪切变形板理论，要求h/la < 0.2~0.3；（3）非局部参数小于结构特征尺寸。目前尚无针对本文所考虑的全耦合模型的实验数据。

## 结论

本文系统地研究了放置在分数阶粘弹性Pasternak基础上并承受移动激光载荷的TPES微板的振动行为。基于半导体中的化学势表达式，首次推导了电化学势与载流子密度之间的关系。利用该关系并结合哈密顿变分原理，建立了微板振动的控制方程。

## CRediT作者贡献声明

赵丽娜：原创性草稿撰写、方法论。
魏培军：审阅与编辑、指导。

## 利益冲突声明

我们声明，我们与其他任何个人或组织不存在可能不当影响我们工作的财务或个人关系，也不存在任何性质或类型的专业或其他个人利益涉及任何产品、服务和/或公司，这些利益可被解释为会影响本手稿中呈现的观点或对其进行审阅。

## 致谢

本研究得到国家自然科学基金（No. 11872105, No. 12072022, No. 11911530176）、中央高校基本科研业务费专项资金（FRF-TW-2018-005, FRF-BR-18-008B）的资助。