基于物理信息神经网络的弯管脉动流重构

《European Journal of Mechanics - B/Fluids》：Reconstruction of pulsatile flow in curved pipes using physics-informed neural networks

　　

## 摘要

脉冲式管道流动构成了主动脉弓等弯曲血管中血流的基础，其中压力和壁面剪切应力是评估血管健康的关键指标。物理信息神经网络（PINNs）通过将Navier–Stokes方程嵌入损失函数，能够在无需压力测量数据的情况下同时重建速度和压力场。然而，现有的PINN研究主要集中于简单几何或稳态流动，对其在具有复杂二次流结构的脉冲流动中适用性的系统评估尚付阙如。本文利用计算流体力学（CFD）模拟数据，系统研究了PINNs在脉冲管道流动中的压力重建性能。首先，四种几何构型（二维和三维的直管与弯管）的对比表明，PINNs对几何变化具有鲁棒性，说明几何并非限制重建精度的主要因素。其次，在Re=1000的三维弯管中对Womersley数（Wo）和速度振幅比β进行参数扫描，证实重建误差仅对脉冲参数变化呈弱敏感性。第三，研究了训练数据空间覆盖对压力场重建的影响。全三维数据和正交横截面数据均能高精度重建中心线压降，而假设抛物面入口截面数据和单平面数据由于缺乏垂直于测量平面的空间约束，导致压力误差显著增大。这些发现为粒子图像测速（PIV）实验设计和血流动力学应用提供了数值预测：单平面测量不足以实现可靠的重建，正交横截面或三维测量对于脉冲管道流动中可靠的压力重建至关重要。

## 引言

弯管流动是自然界和工程领域中常见的流动现象[1]–[4]，包括人体主动脉中的血流[5]、汽车发动机管路中的传热[6]、油气井中的两相管道流动[7]以及微机电系统中的微纳尺度流动[8]。与直管流动不同，弯曲度引起的离心力驱动Dean涡的形成[9]，即在弯管横截面中发展出的对流涡旋对——当被离心作用推移的核心流体被推向弯道外壁时，补偿性的二次流沿管壁回流。这些涡旋显著改变了管道中的压力和速度分布[10]–[11]。在急弯管道中，可能出现包含三对甚至四对二次涡旋的复杂流动结构[12]。正如Berger等人在经典综述中所指出的[13]，弯管中的二次流增强了质量传递（包括颗粒输送）和与周围环境的换热，这一发现激发了大量后续研究[14]–[16]。弯管流动已通过高保真数值模拟和实验得到了广泛研究，包括壁面粗糙度对弯管二次流中颗粒沉积的影响[17]、90°弯曲微管中的压力驱动流动[18]、弯管流动对下游流场及相关水动力学损失的影响[19]以及弯管中的颗粒流动[20]。Hellstr?m等人[21]的时间分辨立体粒子图像测速（PIV）测量表明，90°弯头下游的湍流主要受双稳定态涡旋切换型二次流支配，而非稳态Dean涡。Ikarashi等人[22]结合PIV与 proper orthogonal decomposition（POD）方法，刻画出超临界雷诺数下短弯头内部及下游的不稳分离和周期性二次流振荡。Lupi等人[23]通过直接数值模拟（DNS）将空间发展的弯管中的涡旋切换归因于对称性破缺的剪切层不稳定性，为弯管区域提供了高保真的参考流场。这些弯管研究涉及壁面粗糙度和管道曲率对流动的影响、弯头的下游影响以及颗粒悬浮液中的质量传递，均与理解大血管和微循环中的血流相关。因此，主动脉弓——一种典型的急弯管道——中的血流已成为近期研究的热点。特别是，Saqr[24]最近表明，动脉几何构型主动调节Womersley脉冲流的频谱含量，进一步凸显了血管几何与循环中脉冲性之间的相互作用。心脏射血产生的脉冲流动与弯曲几何构型相互作用，产生以反旋转Dean涡旋对为主导的强二次流，其强度和空间排列随心脏周期相位变化[12]–[13]。这些结构显著影响壁面剪切应力、压梯度和振荡剪切指数等血流动力学参数[25]–[28]。特别是，异常的壁面剪切应力分布与腹主动脉的动脉粥样硬化[29]以及胸主动脉的夹层和破裂[30]等动脉疾病密切相关。因此，全面理解控制弯管中脉冲流动的物理机制对心血管疾病研究具有重要意义。重建完整的速度和压力场对于理解底层物理机制和实现临床应用都是不可或缺的。

然而，当前的非侵入式测量技术在准确获取三维速度和压力场方面存在显著局限性。四维（4D）血流心脏磁共振（CMR）成像可为心血管系统提供时间分辨的三维速度场[31]，并允许估算壁面剪切应力[32]和瓣膜反流评估[33]。然而，其空间分辨率仅限于1.5–3 mm（约为典型主动脉直径D≈25 mm的0.06–0.12倍），时间分辨率约为30–40 ms（约为心动周期T≈0.8 s的0.04–0.05倍），单次采集需要5–25分钟[34]。这种有限的分辨率不仅导致流量低估[35]，还降低了壁面剪切应力和压梯度等派生量的精度[36]–[37]。4D血流CMR共识声明将压差和壁面剪切应力确定为需要进一步开发和针对性验证以实现临床应用的高级血流动力学参数[31]–[34]。另一种在临床实践中常用于获取血流动力学参数的方法是超声，其时间分辨率更高，但空间分辨率和视场有限[38]。超声测量通常仅能获得沿超声束方向的一维速度分量[39]。尽管高级超声技术如横荡矢量流方法[40]、基于连续性方程的超声心动图[41]和心室内矢量流成像[42]能够实现角度无关的速度估计或二维流场重建，但其相对误差仍然较大（范围为0.3%至26%），且均无法替代常规的三维流场重建方法。超声的这些局限也使其难以重建三维速度和压力场以及估算壁面剪切应力分布。因此，开发融合有限测量数据与物理约束的高精度流场重建方法具有重要的实用意义。

对流场重建的需求不仅限于临床场景，也延伸至实验流体力学。粒子图像测速（PIV）能够提供具有高分辨率时空间分辨率的二维（2D）和三维（3D）速度场，已成为流动测量的基本工具。二维PIV可非侵入式地获取面内速度分量[43]，但无法捕获面外速度或完整的三维结构。三维测量技术如断层PIV[44]和Shake-the-Box[45]可获取三维速度场。然而，这些技术需要多台高分辨率相机和强脉冲照明[46]，导致装置复杂、成本高昂且数据处理困难。更为关键的是，现有PIV技术仅测量速度场[45]，无法直接提供压力信息[47]–[48]。从PIV数据重建压力是实验流体力学十多年来一个活跃且被认可的研究方向[49]。传统压力重建方法，如Poisson方程求解器[50]–[51]和路径积分法[52]–[53]，严重依赖精确的边界条件，在具有复杂边界的脉冲流动中存在显著误差[48]，在运动浸没固体边界附近报告的压力的误差可超过60%[54]。在脉冲弯管流动中，二次流结构随脉冲相位变化，使得常规二维PIV测量和压力重建方法面临高度不确定性。值得注意的是，医学影像和实验流体力学面临相同的核心挑战：非侵入式测量技术无法直接获取压力场信息。

为解决这一挑战，物理信息神经网络（PINNs）提供了一种有前景的方法：通过将Navier–Stokes方程嵌入损失函数，PINNs能够在不需要压力测量数据的情况下重建压力场，同时对速度测量中的噪声保持鲁棒性[47]。大量研究探讨了PINNs从不同类型数据重建压力场的能力。Duong等人[55]将PINNs应用于二维水槽实验中甲板内波浪的PIV测量，实现了速度和压力的同时重建。Calicchia等人[56]利用PINNs在Navier–Stokes方程约束和平面PIV测量条件下预测游泳鱼类体表的压力场。Cai等人[57]使用基于PINN的方法从断层背景取向纹影成像获得的温度场快照推断完整的三维速度和压力场。PINNs在血流动力学领域也得到了广泛应用。Kissas等人[58]使用一维脉冲血流模型从无创MRI获得的速度和血管面积测量推断动脉压力。Sarabian等人[59]将经颅多普勒速度测量和造影术获得的血管面积与一维物理信息框架相结合，推断脑血流动力学。这些研究表明，物理信息学习能够提供难以从测量中直接获得的具有重要临床意义的血流动力学信息。Zhang等人[60]将计算流体力学与基于点云数据和PINNs的深度学习方法相结合，降低了计算成本，提高了精度，并展示了泛化到不同维度血管内流场及相应临床指标建模的潜力。Du等人[25]提出了一种使用PINNs估计动脉内压力的新方法，并研究了PINNs对血管弹性、血液黏度和流速的敏感性。Wong等人[61]将PINN监督融入彩色多普勒测量，在局部时间窗口内精确重建左心室的详细三维流场。除了从测量中进行重建外，物理信息机器学习还被用于改进高雷诺数湍流模拟，例如修正壁面模型大涡模拟中对数律层的不匹配[62]，凸显了物理约束学习在计算流体力学中日益增长的作用。

然而，这些研究主要集中在简单几何或稳态流动上。对于具有复杂二次流结构的脉冲弯管流动，流动维度、几何曲率、脉冲参数和训练数据空间覆盖之间的耦合效应仍有待系统评估。此外，PINNs在脉冲弯管流动中的重建能力边界和影响因素尚未确立。因此，本研究系统考察了PINNs在弯管脉冲流动中的重建能力。特别关注二维平面数据能否准确重建压力场。研究沿三个不同层次展开。首先，比较四种几何构型：二维和三维、直管和弯管，旨在评估不同维度下几何对PINN精度的影响。其次，在三维弯管中对Womersley数（Wo=0–15）和速度振幅比（β=π/64–π/8）进行系统参数扫描，旨在揭示脉冲参数变化如何影响PINNs的鲁棒性。第三，比较全三维数据、正交横截面数据、假设抛物面入口截面数据和单平面数据的重建性能，以阐明训练数据选择对压力场重建的影响。通过这些研究，本工作旨在为PINNs在PIV实验数据和临床测量中的应用提供实用指导，同时澄清数据采集策略与重建精度之间的关系。需要强调的是，尽管实际动机源于PIV和临床测量，但所有结论均通过基于CFD的数值实验建立，从而将训练数据空间覆盖的影响与测量噪声等混杂实验因素隔离开来。所得到的定量预测为未来实验需要验证的期望提供了依据。

也有必要澄清本研究的贡献性质。本研究旨在推进PINN方法论；而是通过数值实验，建立了从测量数据中重建脉冲弯管流动压力场的定量准则，即在何时及如何可以实现压力场重建。

这些标准与粒子图像测速法和医学成像实践具有直接关联性。

**方法论**

本节介绍了物理信息神经网络和计算流体力学模拟的详细内容。首先介绍了PINN架构、损失函数和训练策略。然后描述了用于生成验证数据的数值模拟方法，包括控制方程、三维弯管模型和网格无关性验证。

**几何形状对PINN重建精度的影响**

为评估PINN在不同几何形状下对脉冲流的重建能力，本小节设计了四个模拟案例：二维直管、二维弯管、三维直管和三维弯管。入口具有完全发展的抛物线型（二维）或抛物面型（三维）速度剖面，如第2节所述。体积流量呈正弦振荡。所有案例共享相同

**总结**

本研究系统评估了PINN在脉冲管道流场重建中的适用性和影响因素，研究了几何鲁棒性、脉冲参数敏感性以及训练数据的空间覆盖范围。主要发现如下。首先，PINN对管道几何形状变化具有鲁棒性：在二维和三维的直管及弯管中，重建精度保持稳定，误差差异最大约为一个百分点。

**作者贡献声明**

张兴超：撰写初稿，验证，方法论，概念构思。吴帆：软件，方法论，调查研究。杨云帆：形式分析，数据整理。王宏平：撰写审阅与编辑，监督，概念构思。王世昭：监督，项目管理。

**代码可用性**

本研究中使用的PINN代码已公开共享，地址为 https://github.com/Moshern/PINNs-TF2.7-light-R4，以供复现。

**利益冲突声明**

作者声明不存在可能影响本论文所述工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

**致谢**

本工作得到国家自然科学基金"非线性力学中的多尺度问题"优秀研究小组项目（项目编号：12588201）、中国科学院战略先导研究计划（资助编号：XDB0620102）以及中国科学院青年科学家基础研究项目（资助编号：YSBR-136）的资助。在撰写过程中，作者使用DeepSeek改进了文本的语法流畅性。使用该工具后，作者对内容进行了审阅和编辑。

张兴超 | 吴帆 | 杨云帆 | 王宏平 | 王世昭

非线性力学国家重点实验室，中国科学院力学研究所，北京，100190，中国