带有自由边界的不可压缩流体在平面平行运动中毛细作用对累积射流数目的选择

《European Journal of Mechanics - B/Fluids》：Capillary selection of the number of cumulative jets in the plane-parallel motion of an incompressible fluid with a free boundary

　　

摘要 我们考虑带有携带毛细压力的自由边界的理想不可压缩流体的平面平行势流问题。初始域为一个圆盘，初始势Φ?=cos(mθ)/m产生m条全等的累积射流。该问题通过边界元方法求解，所用格林函数在基本对称扇区[0,2π/m]上导出，使得单步时间成本至少降低m2倍。在无表面张力时，射流尖端延伸量随模态数单调增长，不选取特征尺度；表面张力抑制短波模态并产生有限的最佳模态m*。通过对介于102与10?之间的8个韦伯数的计算，最大值遵循m*≈3.21We^0.255。随后为该幂律建立理论基础：当m?1时，射流邻域由单一参数We/m控制的普适局部问题支配，由此得到相似律J_tip=m?1J(mt,We/m)，并在共享相同相似变量的计算对中直接验证。该形式关于m取极值的条件平衡了累积带来的增益与毛细波积累的相位，并以两个可测局部指数表达该幂律的指数。精度通过运动不变量和直接灵敏度研究加以控制，后者表明保护所选模态的并非数值误差之小，而是其随模态数的均匀性。实验中扩散粒子环帧的角谱在角谐波m_exp=23处达到峰值，与有效韦伯数量级为2·103时的计算最优值相符。引言 自由边界上射流和指状结构的形成是非线性流体运动阶段的典型特征。扰动能否增长尚不能决定观察到的形状：关键问题在于哪种空间尺度被选取。在经典问题中，这一问题由特定物理机制解决。在射流的Rayleigh毛细不稳定性中，增长波长范围由表面张力决定[1]。在Rayleigh–Taylor不稳定性中，特征尺度与界面加速度相关[2]。在Hele–Shaw腔中的Saffman–Taylor问题中，零表面张力理论允许一参族指状结构[3]，而表面张力——无论多小——从中选取一个宽度[4]。该例子与下文研究机制最为接近的经典类比。对于拉普拉斯增长类型的自由边界，毛细项并非多种效应之一：没有它，问题不适定并发展有限时间奇异性[5]，正是表面张力恢复了适定性并固定了出现结构的尺度；Darcy自由边界保留毛细项的分析与数值结构已由复变量方法研究[6]。射流破裂理论现状及表面张力在尺度选择中的作用见综述[7]。在所有这些例子中均存在正规化机制；没有它，短波扰动将获得非物理优势，尺度越细增长越快。本研究的对象是带有自由边界的理想不可压缩流体的平面平行势流。对该类流动，Karabut及其合作者构造了具有强边界变形和累积舌状体形成的精确解和半解析解[8],[9]。数值求解采用[10]提出的边界元方法形式。该方法的优点是所有未知量仅定义在自由边界上，因此即使区域强烈拉长并形成细射流，效率依然保持。[10]表明对于单位圆盘边界上初始势Φ?=cos(mθ)/m，恰好发展出m条全等累积射流。1/m的归一化是关键的：它使初始法向速度V_n=cos(mθ)对所有m具有等幅，因此在比较不同m时，只有初始扰动的角尺度改变，初始速度幅值不变。本工作的核心问题如下：选取多少条射流？在惯性设置中，即无表面张力时，没有答案：累积射流尖端延伸量随m单调增长，不存在最佳射流数。对边界曲率敏感并抑制短波变形的物理参数是表面张力。一旦将毛细压力引入动力学边界条件，问题中出现一个控制参数，即韦伯数We，等于惯性压头与毛细压力之比。大We对应弱毛细作用，小We对应强毛细作用。自然预期的图景为：有限We下，尖端延伸量对m的依赖存在最大值；随We增大，最大值向更大m偏移；在惯性极限We→∞时趋向无穷，所选尺度消失。该图景的定量验证是本工作的主要目标。固体粒子层脉冲式扩散实验提供了额外动机，其中同样形成有限条射流：粒子爆发扩散[11],[12]，以及最便于比较的准二维设置中，Hele–Shaw腔中加速的粒子环分裂为有限条径向射流[13],[14]；针对此类系统已提出射流数对装载参数的经验幂律依赖[13],[15]。与势流体模型直接定量比较是不可能的，因为颗粒介质中摩擦、粒子间相互作用及与气体的相互作用至关重要，而有效表面张力并不预定。然而，形态学比较，即前沿类型和结构角尺度比较，是有意义的，本工作通过实验帧的角谱进行定量比较。同一问题——"水冠上有多少尖刺"——是液滴溅射文献的中心主题[16]。当液滴撞击液膜时，喷射片形成破裂为有限条方位分布尖刺的边缘，所选数目同样是惯性增长与毛细截断竞争的结果。那里讨论了两种选择途径。第一种是边缘在Rayleigh–Taylor意义上不稳定，或者对于脉冲加速在Richtmyer–Meshkov意义上[17]：最不稳定波数k～ρa_d/σ，其中a_d为减速度，通过自然估计a_d～V?2/R?得到尖刺数kR?～We^1/2[18]。第二种是边缘的横向Rayleigh–Plateau不稳定性选取与当前边缘半径成比例的波长，因此答案并非韦伯数的纯幂次，而是随边缘增粗而跟随；增长的扰动方位谱测量支持此途径[19]，限定自由片的边缘线性稳定性分析给出相应的长波机制[20]。液滴撞击干燥固体表面的指状结构数经验关联也已提出[21]。下文研究的问题是该族类的第三个更干净的成员：没有边缘也没有预定减速度，毛细截断通过射流增长过程中毛细波积累的相位起作用，并且如将在第6节所示，这给出指数1/4而非1/2，并产生所选尺度对经过时间的显式依赖。本工作解决五项任务。第一项是方法论的：对于通过角2π/m旋转对称的流动，在基本扇区[0,2π/m]上导出格林函数，将边界积分方程缩减到单扇区弧上。网格元素数因此减少m倍，组装和求解离散系统的成本至少减少m2倍；这种增益使得直至m=96的系统性参数系列计算可行。第二项是物理的：毛细压力纳入计算方案，在8个韦伯数（介于102与10?之间）的计算系列中，证明射流尖端延伸量对模态数的依赖出现最大值；最大值位置由幂律拟合m*(We)≈3.21We^0.255描述。第三项是理论的：为该幂律建立基础。证明当m?1时，射流邻域由普适局部问题支配，由此得到相似形式J_tip=m?1J(mt,We/m)，并在共享相同相似变量的计算对中直接验证；该形式关于m取极值的条件成为两条可测斜率之间的平衡，在计算最大值处得到确认，并以两个独立测量的局部指数表达该幂律的指数。第四项是控制性的：通过运动不变量——面积、质心和总能量——验证计算精度；确定数值能量漂移的幅度和来源；直接测量J_tip和m*对网格、时间步长和曲率滤波器的灵敏度。第五项是比较性的：扇区方案与全轮廓计算对比验证，并与实验[13]结果定量比较。本文其余部分组织如下：第2节表述连续问题并推导移动网格上势的演化方程。第3节描述数值方案：标准边界方程、扇区格林函数推导、离散化及时间步长。第4节将扇区方案与全轮廓计算对比验证。第5节给出参数系列结果并讨论模态选择。第6节专论选择的来源：推导支配射流邻域的局部相似律，与计算对比验证，并据此解释幂律的指数。第7节包含与实验的定量比较，第8节总结结果。两个附录承载数值证据：附录A通过运动不变量进行精度控制，附录B给出计算量对方案每个数值参数的响应。问题表述 我们表述随后将被数值求解的连续问题。流体占据单连通域S(t)??2，自由边界为Γ(t)。流动为势流：速度形式为v=?Φ，不可压缩条件?·v=0给出拉普拉斯方程ΔΦ=0，(x,y)∈S(t)。除势之外引入流函数Ψ，与Φ调和共轭；正是通过Ψ计算后续中的边界速度。由Cauchy–Riemann边界元方法 数值方案分三步构建，呈现顺序遵循构建顺序。首先，在全轮廓上表述标准边界积分方程（第3.1节）；它解释了为何所有计算都可在边界上进行。然后推导基本扇区上的格林函数（第3.2节）；它利用问题对称性将计算缩减m2倍。最后进行方程离散化及时间扇区方案验证 在将参数系列交付扇区方案之前，必须确认其在原问题全轮廓上重现解。为检验，选择无表面张力的三瓣问题：[8]为它构造了参考半解析解，其中边界变形大，故检验在刻意困难的区域进行。计算在每条射流相同分辨率下进行两次：在全边界元方法 数值方案分三步构建，呈现顺序遵循构建顺序。首先，在全轮廓上表述标准边界积分方程（第3.1节）；它解释了为何所有计算都可在边界上进行。然后推导基本扇区上的格林函数（第3.2节）；它利用问题对称性将计算缩减m2倍。最后进行方程离散化及时间步长（第3.3节）。第4节将扇区方案与全轮廓计算对比验证。第5节给出参数系列结果并讨论模态选择。第6节专论选择的来源：推导支配射流邻域的局部相似律，与计算对比验证，并据此解释幂律的指数。第7节包含与实验的定量比较，第8节总结结果。两个附录承载数值证据：附录A通过运动不变量进行精度控制，附录B给出计算量对方案每个数值参数的响应。结论 方法论部分完成：方案已构建、验证并配备精度控制。

我们转入物理内容，讨论带有表面张力的参数化系列。论述从定性图像到定量结果逐步展开：首先是边界形状的演化，然后是射流尖端延伸对模数的依赖关系、其最大值的位置以及随韦伯数的位移。

选取律的相似结构及指数的起源

定律（33）此前仅是一种拟合。在本节中，我们对其进行了推导。推导分为三步：首先证明单个射流附近的行为由一个单参数的普适局部问题控制，该参数确定了J_tip的相似形式；其次，写出该形式关于m取最大值的条件，并证明该条件蕴含一条单参数的主控曲线；最后，测量进入该条件的两个局部量，从而用它们表达指数。

实验及其与模型的关联

在文献[13]中，研究了在尺寸为1900 × 1500 × 4 mm的赫歇尔-肖（Hele-Shaw）腔中，特征直径约为10 μm的面粉颗粒环的弥散过程。该环由冲击管排气端发出的压力脉冲加速，入射波马赫数为1.16，脉冲从环中心发出。高速成像技术使得追踪结构发展的全过程成为可能。首先，内射流在环的内表面上以角度规律性地出现。随后，短寿命的……

结论

我们总结本研究的主要结果。

第一个结果是方法论方面的。对于具有自由边界的理想不可压流体的平面平行位势运动，我们构建了一种扇区实现的边界元方法：推导了基本扇区[0, 2π/m]中的格林函数（14），将边界积分方程约化为单个扇区的弧段。其正确性通过镜像求和的精确恒等式得到验证，通过极限情况m=1得到验证，并通过……

作者贡献声明

A.D. Sukhov：撰写——原稿、可视化、软件、方法论、调研。A.G. Petrov：撰写——审阅与编辑、监督、方法论、经费获取、概念设计。N.D. Baykov：撰写——审阅与编辑、软件、方法论。

生成式AI及AI辅助技术在手稿撰写过程中的声明

在本工作准备过程中，作者使用了生成式AI助手（Claude，Anthropic），将手稿从俄语翻译为英语，并协助进行语言编辑和LaTeX排版。使用该工具后，作者对所修改的内容进行了审阅和编辑，并对发表文章的内容承担全部责任。

资助

本工作得到了俄罗斯科学基金会资助，项目编号26-11-00110，https://rscf.ru/project/26-11-00110/。

利益冲突声明

作者声明不存在已知的可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

A.D. Sukhov | A.G. Petrov | N.D. Baykov

什林斯基力学问题研究所，俄罗斯科学院，莫斯科，维拉杰斯基大街101-1号，邮编119526，俄罗斯