面向高维不确定性结构设计的基于贝叶斯锚定潜在信赖域的分类优化

《Engineering Structures》：Categorical optimization via Bayesian anchored latent trust-regions for structural design under high-dimensional uncertainties

　　

•COBALT通过将离散潜在实例锚定到固定位置来避免搜索过程中的不可行解码。
•COBALT的信赖域图搜索可直接选出有效的目录设计方案，无需进行舍入处理。
•随机树分解可限制COBALT中加性代理模型的复杂度。
•全贝叶斯稀疏代理推理可建模带有噪声的随机仿真数据。
•结构基准测试展示了该方法从分组目录到高维目录的性能表现。

引言

在各种优化问题中，设计变量通常被分为连续变量、离散变量（包括整型变量）和类别变量[1]、[2]。与连续变量或整型变量不同，类别变量从一组预定义的有限实例集合中取值，而非任意实数[3]、[4]。一个典型的结构工程示例是从标准型材目录中选择梁的横截面。这些目录截面在形状、面积和惯性矩等方面可能同时存在差异，无法用一个标量索引来忠实表示。

经典类别优化方法通常将可用实例转化为人工的实数值编码或二进制字符串[5]、[6]，然后运用遗传算法等进化优化器在编码空间中进行搜索[7]、[8]、[9]、[10]。然而，人工编码之间的距离未必能反映目录条目之间的物理差异，这可能降低搜索效率并模糊最优结构设计的可解释性。

也有其他研究工作提出了以更具针对性的方式处理类别变量[11]、[12]。例如，在处理无序类别变量时，单纯形编码被广泛采用，该方法非常适合进化算法[3]、[13]、[14]。独热编码同样避免了人为引入的顺序关系，但在标准欧氏几何下，它将所有不同类别视为等距离分离[15]。对于带噪声的MC-FEA观测数据而言，该几何方法依据类别身份而非条目描述符或响应行为来关联目录条目。文献[16]提出了一种面向大规模混合类别结构优化问题的双层优化框架，将问题分解为连续从问题和离散主问题，后续扩展工作见文献[17]。

基于这种多维表示，可利用流形学习技术发现嵌入在目录高维属性空间中的低维内在流形。主要的线性流形学习技术包括主成分分析（PCA）[18]和多维标度（MDS）[19]。PCA通过对角分解保留降序空间中最多的协方差信息；MDS则侧重于保留样本点之间的欧氏距离。然而，它们缺乏将非线性流形映射到低维空间的能力[20]。典型的非线性流形学习技术包括局部线性嵌入（LLE）[21]、[22]、核主成分分析（KPCA）[23]、[24]和Isomap[20]、[25]。特别地，Isomap是MDS的一个变体，它将欧氏距离替换为由Dijkstra算法计算得到的测地距离[26]。

在此前的确定性优化框架中，降序表示会进一步通过连续多项式插值进行近似，从而使移动渐近线法（MMA）[27]、[28]等基于梯度的方法可在连续流形上应用。由于原始类别问题仅允许有限的目录实例，可通过最近邻搜索将连续最优解舍入到附近的可接受实例上[29]。然而，舍入后的设计可能在目标值、约束状态和物理解释方面与连续解存在差异。本文将这种不匹配称为解码失败（或舍入误差），当目录流形高度非线性或采样稀疏时，该问题尤为显著。

当结构设计中存在偶然不确定性时，上述困难将进一步加剧，例如制造公差、材料性能波动和环境荷载变化。从确定性类别优化过渡到不确定性优化（OUU）需要通过随机仿真评估鲁棒性能指标，例如基于蒙特卡洛的有限元分析（MC-FEA）。此时，每个可接受的目录组合不再对应单一的确定性响应，而是与昂贵的统计响应量相关联，且所得观测数据通常带有噪声并具有异方差性。这使得直接枚举、确定性连续优化器和传统启发式全局搜索[30]、[31]在高维类别OUU问题中效率低下。

贝叶斯优化（BO）[32]、[33]为昂贵且带噪声的评估提供了一种基于代理模型的原理化框架。通过维护一个概率代理模型（通常采用高斯过程（GP）[34]、[35]），贝叶斯优化在探索与利用之间取得平衡，同时在优化循环中传递预测不确定性[36]。然而，标准贝叶斯优化在高维组合空间中扩展性较差。借助降维增强的贝叶斯优化方法可紧凑地利用物理目录属性，但连续潜在空间优化需要将目录外的最优解解码，并可能改变目标值或可行性。直接的类别贝叶斯优化方法如CASMOPOLITAN[37]、Bounce[38]、COMBO[39]和BODi[40]避免了连续最近邻舍入。CASMOPOLITAN采用类别信赖域，Bounce逐步扩展嵌套嵌入，COMBO依赖图积扩散核，BODi采用基于字典的嵌入处理高维组合空间。COBALT面向一种互补的结构设计场景，在其中联合考虑物理目录描述符、不可变的目录身份、随机结构评估以及带约束的采集函数。

多材料拓扑优化提出了相关的组合分配问题。序贯整数规划结合经典松弛为拓扑优化提供了一种数学表述[41]。候选材料选择可纳入多材料拓扑优化[42]，而对称扩展水平集表示可减少材料顺序依赖[43]。随机离散最速下降法（RDSD）解决了多值整数规划问题[44]，其顺序无关扩展则处理总质量和成本约束下材料选择不良或冲突的问题[45]。这些方法利用了显式灵敏度、整型近似或拓扑导数信息。COBALT面向一种互补场景，其中目录选择通过昂贵的随机结构仿真进行评估，鲁棒响应被视为黑箱观测。

为解决高维类别OUU中的解码失败和维度挑战，本文提出了基于贝叶斯锚定潜在信赖域的类别优化（COBALT）框架。该框架将离散流形锚定与不确定性下的贝叶斯优化相结合。本文的主要贡献总结为以下三点：

• 从连续松弛到离散目录锚定。COBALT将映射后的目录实例锁定为一组固定的带标签锚点，并将每次采集查询限制在这些锚点构成的有限张量网格上。每个推荐点在进行结构分析之前即为有效的目录配置，从而消除了最近邻舍入及其相关的解码歧义。

• 数据无关的随机树分解。COBALT独立于观测响应采样一棵生成树，避免了从稀疏且带噪声的MC-FEA数据中学习脆弱的交互结构。所得的成对加性视角提供了有界复杂度的代理建模，同时SAAS先验可在异方差观测噪声下识别具有影响力的潜在特征。

• 带鲁棒MC-FEA的信赖域图采集。COBALT仅在动态缩放的信赖域内的锚定候选点上最小化带约束的下置信界，同时基于图的进化算子在不使用连续松弛的情况下进行搜索。所选配置通过MC-FEA进行评估，以获取鲁棒目标和约束裕度，进而更新代理模型、可行最优解和信赖域尺度。

本文的组织结构如下：第1节阐述背景与动机。第2节建立不确定性下的鲁棒类别结构优化问题。第3节提出COBALT框架：锚定离散潜在流形、数据无关的随机分解、SAAS-GP代理建模以及信赖域离散图采集。第4节报告不确定性条件下复杂结构的数值测试。第5节总结全文并展望未来工作。

分节摘要

符号说明

以下符号区分目录可接受性与结构可行性：Z∈ΩD表示所有选定条目均属于目录，而hr(Z)≤0表示不等式约束r得到满足。

| 符号 | 含义 |
|------|------|
| e, n, M, m, D | 变量数、目录条目数、物理属性维度、潜在坐标维度，D = e×m |
| Xi, xij, ci | 变量i的目录、条目j以及选定的目录标签 |
| ξ, ΦN | 偶然不确定性向量和标准正态累积分布函数 |
| J, Jrobust | 单次有限元响应及其鲁棒指标 |

方法

为减轻连续松弛带来的解码失败和高维类别OUU的计算不可行性，COBALT将目录离散性视为硬约束，而非采用连续松弛和舍入处理。图2展示了四个已实现的模块。首先，Isomap将归一化后的物理目录映射到低维表示，并将每个映射条目与其目录标签锁定。其次，数据无关的随机生成树定义了……

数值示例

考虑四个数值基准，如表1所述。不确定性向量ξ综合了截面属性、材料、荷载扰动以及几何缺陷。在每个基准中，比较方法的目录、不确定性模型、鲁棒目标定义和可行性检查保持一致。各随机种子的MC-FEA调用次数见表5。对于基于贝叶斯优化的方法，采用相同的代理模型族和超先验设置。关键……

结论

本文提出了COBALT，一种面向偶然不确定性下鲁棒类别结构设计的贝叶斯优化框架，旨在解决两个耦合难题：降维后保持目录可接受性以及控制大型组合设计空间中昂贵的不确定性感知有限元评估次数。COBALT将降维后的目录锁定为固定的离散锚点集而非连续域，使得采集搜索……

CRediT作者贡献声明

梁章勇：写作 – 审阅与编辑、写作 – 原创草稿、可视化、验证、软件、资源、方法论、调查研究、形式化分析、数据整理、概念构思。

侯杰：写作 – 审阅与编辑、写作 – 原创草稿、指导、项目管理、方法论、调查研究。

高环环：写作 – 审阅与编辑、写作 – 原创草稿、可视化、验证、指导、软件、资源、项目管理、方法论……

利益冲突声明

作者声明不存在已知的可能影响本文所报告工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢

作者衷心感谢国家自然科学基金委（12572138, 12272302）的资助支持。

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