加权网络中的结构集中度：一类拓扑感知指标

《European Journal of Operational Research》：Structural concentration in weighted networks: A class of topology-aware indices

　　

- 提出加权网络集中度的统一框架。
- 提出一族拓扑感知的集中度指标。
- 将网络集中度指标（NCI）定义为基础度量。
- 建立归一化、不变性和基准一致性性质。
- 证明相同权重在不同网络结构下产生不同的集中度。

## 引言

集中度是加权系统的基本特征，在经济、金融、社会、生物和技术结构的分析中发挥着重要作用（Gini, 1912, Hirschman, 1958, Wagstaff et al., 1991）。每当一组元素被赋予异质权重时，这些权重的集中或分散程度都会影响系统的韧性、暴露和功能组织。高度集中的权重分布往往增加对影响少数重要元素的冲击的脆弱性，而更为分散的分布可能提供更大的平衡性和稳健性。正因如此，集中度度量在产业组织、网络科学、风险分析和资源分配等诸多领域中发挥着核心作用。

最广泛使用的集中度度量仅基于权重的分布。经典例子包括赫芬达尔-赫希曼指数（HHI）（Hirschman, 1958），最初在产业组织研究中用于市场集中度的研究，以及其他不平等和离散度量，如基尼系数（Gini, 1912）和基于熵的指数（Fisher, 1970）。这些度量总结了权重在各元素间的离散程度，提供了简单且易于解释的集中度指标。由于其分析的简便性和解释的明确性，它们在经济学、金融学和监管分析中被广泛应用（Atkinson, 1987, Cowell, 2011, Rhoades, 1993 等众多学者）。

尽管传统集中度度量非常有用，但它们纯粹在权重空间中评估集中度，从而忽略了许多现实系统的一个本质维度：接收这些权重的元素之间的关系结构。两个具有相同权重分布的系统，如果其底层相互依赖结构不同，可能表现出截然不同的有效集中水平。一个权重最大的元素之间存在强互联关系的系统，可能比另一个权重离散程度相同但连接性较弱或更为碎片化的系统在结构上更为集中。

在系统行为不仅取决于权重分布，还取决于其组成部分之间交互拓扑的情境中，这一局限性变得日益重要。例如，在经济学和金融应用领域中，暴露和配置可能分布在企业、行业、机构或资产之间，而这些关系由依赖、相关或传导机制塑造。更一般地，在任何嵌入交互网络的加权系统中，有效集中度不仅取决于权重如何在节点间分布，还取决于这些节点如何相互连接。

网络科学提供了利用图论表示刻画相互依赖结构的强大工具（Brede, 2012, Jackson et al., 2008, Pósfai and Barabási, 2016）。在这些表示中，节点表示系统的元素，边表示交互关系，如依赖、相似性或传导渠道（H?jsgaard et al., 2012, Jordan et al., 2004, Riso and Guerzoni, 2022, Riso and Vacca, 2024, Riso et al., 2023 等众多学者）。网络方法已被广泛应用于经济学和金融学中，分析由相互关联的代理人组成的系统，包括生产网络（Acemoglu et al., 2012, Carvalho, 2014）、金融传染和系统性风险（参见 Allen and Gale, 2000, Banerjee et al., 2025, Elliott et al., 2014 对金融网络中传染问题的最新实证处理），以及金融市场中的依赖结构（Mantegna, 1999）。这些方法提供了识别复杂系统中簇群、核心节点和连接模式的有力工具（Pozzi et al., 2008）。

然而，现有的网络度量通常独立于节点上的权重分布来刻画交互网络的拓扑结构（Ruan et al., 2026, Ullah et al., 2025）。因此，它们不能直接度量与网络内特定权重配置相关的结构集中度。结果是，传统集中度度量忽略了网络结构，而网络统计忽略了权重分布。

本文提出了一个统一的加权网络集中度度量框架，在该框架中，通过结合权重分布和交互结构，基于一族观察到的交互矩阵构建了拓扑感知的集中度指标。本文不是引入单一度量，而是发展了一类不同的指标，它们在交互函数和归一化基准的设定上有所不同，从而允许从依赖关系的多个维度评估结构集中度。

该框架的核心是一个基础设定——网络集中度指标（NCI），它度量通过直接网络链路实现的潜在加权互联的比例。该指数被定义为涉及权重向量和经过筛选的网络的邻接矩阵的归一化二次型，可以解释为经典集中度度量的结构扩展。

在基础设定之上，该框架允许若干扩展。替代设定通过加权交互矩阵纳入链路强度，通过变换数据网络隔离特定的依赖特征，或在多层设定中聚合多个交互渠道。此外，不同的归一化方案允许相对于密度调整、随机或度约束的基准来评估集中度。综合来看，这些构造定义了一族灵活且内部一致的集中度指标，它们在保留归一化和不变性性质的同时，推广了传统的基于权重的度量。

所提出的框架有意保持通用性，可以在各种情境中应用，只要加权元素嵌入在交互网络中。这些情境包括产业和市场结构、生产和供应链网络、金融和银行间系统、资产配置问题以及社会或技术网络。在所有这些情况下，权重异质性与网络拓扑之间的交互作用在决定系统的有效结构中发挥着核心作用。NCI 还与运筹学文献的若干分支自然关联（Gómez et al., 2013, Inomata and Hanaka, 2024, Ouraga, 2021, Parsa et al., 2018）。在投资组合优化中，集中度度量作为均值-方差和风险平价模型中的约束或目标函数组成部分发挥着核心作用（Braga et al., 2025, Maillard et al., 2010, Scherer, 2007）：NCI 通过提供一个拓扑感知的分散化诊断工具扩展了这一工具箱，该工具不仅惩罚权重集中度，还惩罚大仓位在相关子图中的结构聚类。在供应链和网络设计中，沿关键链路的流量或容量的集中是系统性脆弱性的主要驱动因素（Hendricks and Singhal, 2005, Snyder et al., 2016）：NCI 为这种脆弱性提供了一个在不同网络拓扑和权重分布间可比的标量摘要。更广泛地，该指数可以作为目标或约束嵌入到网络优化问题中，例如寻找在满足性能约束条件下最小化结构集中度的权重配置，或识别在给定权重分布下最大化韧性的网络拓扑。网络优化、社区发现和多层网络韧性方面的最新发展进一步凸显了同时考虑节点权重和网络拓扑的目标函数的重要性（Cerqueti et al., 2026, Molnár et al., 2024, Prokop et al., 2024, Qing, 2025）。除这些应用之外，所提出的框架也有潜力被整合到更一般的网络优化问题中。例如，它可以与社区发现中的经典目标如模块度相结合，提供一个额外的判据，以考虑经济上或功能上重要的节点在检测到的社区内的集中度。探索此类基于优化的应用超出了本文的范围，代表了未来研究的一个有前景的方向。这些联系推动了开发一个理论上有据、计算上可行、整合权重异质性与网络结构的集中度度量的必要性。本文的主要贡献有三方面。第一，我们引入了一个整合权重分布与网络结构的集中度度量统一框架。第二，我们证明了基础设定——网络集中度指标——以自然且一致的方式扩展了经典二次集中度度量。第三，我们发展了一族扩展，允许在不同的依赖表示下度量结构集中度，包括基础依赖、高阶依赖和极端事件依赖。

本文其余部分组织如下。第2节回顾了集中度测量的主要方法，并讨论了它们在存在网络相互依赖时的局限性。第3节引入了网络集中度指标及其扩展，并建立了它们的主要分析性质。第4节通过模拟和蒙特卡洛实验研究所提出指标的行为，说明它们如何对不同网络拓扑和权重分布作出反应。第5节展示了基于世界投入产出数据库构建的生产和贸易网络的实证应用，而第6节利用基于股票市场数据构建的金融依赖网络来说明该方法。第7节进行总结。

## 各节摘要

### 集中度度量与网络结构

集中度的测量在经济学、统计学和网络科学中发挥着核心作用（Atkinson, 1987, Babutsidze et al., 2024, Jackson et al., 2008, Kv?lseth, 2018, Lorenz, 1905 等众多学者）。集中度指数被广泛用于量化某一数量（如市场份额、活动量、暴露或资源）在一组元素间分布的不均匀程度。传统方法关注权重的离散，而较新的研究则考察系统中的情况……

### 网络集中度指标的统一框架

基于上一节对现有集中度度量和网络统计的讨论，我们现在引入拓扑感知集中度指标的统一框架。与其提出孤立的度量，我们的目标是刻画一类将节点权重与网络拓扑在共同二次型表示中结合的指标，从而架起经典集中度分析与网络拓扑之间的桥梁。网络聚集性的相关性……

### 模拟研究

为说明所提出指标族的信息内容，我们从基础 NCI 开始，然后将其与扩展进行比较。为此，我们构建三个节点权重相同但交互拓扑不同的加权网络。由于权重向量被固定，赫芬达尔-赫希曼指数（HHI）（Herfindahl, 1997, Hirschman, 1958）在所有场景中保持恒定。因此 ψ 的任何变化都反映了网络拓扑之间的差异。

### 实证应用：世界投入产出数据库

在实证应用中，为了便于解释，我们重点关注基础 NCI，而第3节中发展的替代指标可以类似地应用。我们考虑将 NCI 应用于从世界投入产出数据库（WIOD, 2016 版；Timmer et al., 2015）构建的全球经济网络的两个应用，该数据库提供了44个国家及"世界其他地区"（ROW）汇总的56个部门的年度投入产出表，以现价（百万美元）表示。我们使用……

### 实证应用：股票依赖网络

本节说明 NCI 在金融市场背景下的实证相关性。我们利用从 Yahoo Finance 通过 R 语言中的 quantmod 包（Ryan et al., 2020）下载的日度调整后收盘价，为标普500指数中按市值排名最大的20个成分股构建依赖网络。样本覆盖2015年1月1日至2025年12月31日的期间，在对齐和删除后每只资产约有2764个日对数收益率观测值……

## 结论

本文发展了一个度量加权网络集中度的统一框架，其中网络集中度指标（NCI）作为基础设定出现。赫芬达尔-赫希曼指数等传统集中度度量仅依赖于权重的离散程度，因此忽略了经济上重要的节点在网络中的位置。本文提出的集中度指标通过将节点权重与邻接矩阵的拓扑相结合，解决了这一局限性……

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## CRediT 作者贡献声明

L. Riso：写作—审稿与编辑、写作—初稿撰写、可视化、验证、监督、软件、资源、项目管理、方法论、调查、资金获取、形式分析、数据管理、概念构思。M.G. Zoia：写作—审稿与编辑、写作—初稿撰写、可视化、验证、监督、软件、资源、项目管理、方法论、调查、资金获取、形式分析、数据管理、概念构思。

## 利益冲突声明

作者声明，他们不存在任何已知的竞争性经济利益或个人关系，这些可能影响本文所述工作的报告。

## 致谢

我们感谢编辑 Steffen Rebennack 对稿件的仔细处理，以及五位匿名审稿人的建设性建议，这些建议使全文得到了实质性的改进——包括对单调性和可分解性的公理分析、基于基准的实证结果解释的澄清，以及可扩展性和稳健性分析。任何遗留错误均为作者自身之责。L.

Riso｜M.G.佐亚